2022年新高考Ⅱ卷數(shù)學(xué)試題評(píng)析

羅文軍

摘? ?要：2022年新高考Ⅱ卷以《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2017年版2020年修訂本）和《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》為依據(jù)，著重考查了考生對(duì)高中數(shù)學(xué)必備知識(shí)、基本方法和基本技能的掌握情況，突出考查考生的獨(dú)立思考能力、閱讀理解能力、運(yùn)算求解能力、邏輯思維能力、空間想象能力、數(shù)學(xué)建模能力、創(chuàng)新能力、分析問題和解決問題的能力。試題涉及的高中數(shù)學(xué)必備知識(shí)面廣，保持了2021年新高考Ⅱ卷突出對(duì)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、三角函數(shù)與解三角形、解析幾何、立體幾何、概率與統(tǒng)計(jì)和數(shù)列等高中數(shù)學(xué)主干知識(shí)重點(diǎn)考查的特色，彰顯基礎(chǔ)性、綜合性、創(chuàng)新性和選拔性，整套試卷落實(shí)了《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》中的“一核、四層、四翼”的考查要求，落實(shí)了立德樹人的根本任務(wù)，有利于高校選拔優(yōu)秀人才，對(duì)中學(xué)素質(zhì)教育的實(shí)施具有積極的導(dǎo)向作用，對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)開展教育教學(xué)改革具有很好的促進(jìn)作用。

關(guān)鍵詞：高考;評(píng)析;素養(yǎng)

中圖分類號(hào)：G633.6? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? ? 文章編號(hào)：1009-010X（2022）26-0009-08

一、整體評(píng)價(jià)

2022年使用教育部考試院命制的新高考Ⅱ卷的省市有海南、遼寧和重慶。2022年新高考Ⅱ卷以《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2017年版2020年修訂本）和《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》為依據(jù)，著重考查了考生對(duì)高中數(shù)學(xué)必備知識(shí)、基本方法和基本技能的掌握情況，突出考查考生的獨(dú)立思考能力、閱讀理解能力、運(yùn)算求解能力、邏輯思維能力、空間想象能力、數(shù)學(xué)建模能力、創(chuàng)新能力、分析問題和解決問題的能力。試題涉及的高中數(shù)學(xué)必備知識(shí)面廣，保持了2021年新高考Ⅱ卷突出對(duì)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、三角函數(shù)與解三角形、解析幾何、立體幾何、概率與統(tǒng)計(jì)和數(shù)列等高中數(shù)學(xué)主干知識(shí)重點(diǎn)考查的特色，彰顯基礎(chǔ)性、綜合性、創(chuàng)新性和選拔性，整套試卷落實(shí)了《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》中的“一核、四層、四翼”的考查要求，落實(shí)了立德樹人的根本任務(wù)，有利于高校選拔優(yōu)秀人才，對(duì)中學(xué)素質(zhì)教育的實(shí)施具有積極的導(dǎo)向作用，對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)開展教育教學(xué)改革具有很好的促進(jìn)作用。

二、數(shù)學(xué)卷試題布局及特征分析

從附表可以看出，2022年新高考Ⅱ卷共有8道單項(xiàng)選擇題、4道多項(xiàng)選擇題、4道填空題和6道解答題。選擇題第1、2、4、5、6、9、11題，填空題第13題，解答題第18題、第19題源于課本或者歷年高考真題，注重基礎(chǔ)，注重對(duì)基本方法的考查。第3題、7題、8題、9題、10題、12題、15題、16題、17題、18題、20題、21題、22題都考到了函數(shù)與方程思想。第3題、7題、10題、11題、15題、16題、20題和21題都考查了數(shù)形結(jié)合思想。第6題、7題、8題、9題、12題、15題、17題、18題、21題和22題都考查了化歸與轉(zhuǎn)化思想。第14題、17題、21題和22題都考查了分類討論思想。解答題的考查內(nèi)容和順序有所調(diào)整，2021年新高考Ⅱ卷解答題的順序?yàn)榈?7題數(shù)列、18題解三角形、19題立體幾何、20題解析幾何、21題概率與統(tǒng)計(jì)、22題函數(shù)與導(dǎo)數(shù)，2022年新高考Ⅱ卷解答題的順序?yàn)榈?7題數(shù)列、18題解三角形、19題概率與統(tǒng)計(jì)、20題立體幾何、21題解析幾何、22題函數(shù)與導(dǎo)數(shù)，調(diào)整了立體幾何、解析幾何和概率與統(tǒng)計(jì)試題的順序。

三、部分試題賞析

例1（3題）圖1是中國(guó)古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)AA′、BB′、CC′、DD′，是桁，相鄰桁的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉.圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖，其中DD1、CC1、BB1、AA1是舉，OD1、DC1、CB1、BA1是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為■=0.5，■=k1，■=k2，■=k3，已知k1、k2、k3成公差為0.1的等差數(shù)列，且直線OA的斜率為0.725，則k3=（? ?）

A.0.75? ? ?B.0.8? ? ?C.0.85? ? ?D.0.9

解：由題設(shè)OD1=DC1=CB1=BA1=d，由題設(shè)CC1=k1DC1=k1d=（k3-0.2）d，BB1=k2CB1=（k3-0.1）d，AA1=k3BA1=k3d，又因?yàn)椋?/p>

kOA=■

=■=0.725

解得k3=0.9，故選答案D.

【賞析】本題以中國(guó)古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)為背景，以探索創(chuàng)新情境為載體，考查了等差數(shù)列的定義、直線斜率的定義和解直角三角形，考生在讀懂題目的基礎(chǔ)上，抓住題目中的關(guān)鍵信息，設(shè)這些相等的步的數(shù)值為d，再根據(jù)舉步之比把舉用步表示，運(yùn)用等差數(shù)列的定義把k1和k2都用k3表示，再根據(jù)直線的斜率定義表示出直線OA的斜率，最后通過運(yùn)算可以求出k3的值。本題以中國(guó)建筑藝術(shù)文化為情境，以舉架結(jié)構(gòu)為載體，設(shè)計(jì)新穎，面向全體考生，重基礎(chǔ)、重創(chuàng)新、重生產(chǎn)和生活實(shí)際，考查了考生的直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。試題的設(shè)計(jì)讓考生感受到我國(guó)古代建筑文化的博大精深，體會(huì)到中國(guó)古建筑的對(duì)稱美與和諧美以及其中蘊(yùn)含的“注重現(xiàn)實(shí)和天人合一”的哲學(xué)思想。本題還可以引導(dǎo)考生通過了解中國(guó)古代建筑文化，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)方法在認(rèn)識(shí)改造現(xiàn)實(shí)世界中的重要作用，體現(xiàn)了理性思維、數(shù)學(xué)文化的學(xué)科素養(yǎng)和數(shù)學(xué)的人文價(jià)值，落實(shí)了應(yīng)用性和創(chuàng)新性的考查要求，落實(shí)了數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵的整體育人功能，落實(shí)了立德樹人的根本任務(wù)。

例2（7題）已知正三棱臺(tái)的高為1，上、下底面邊長(zhǎng)分別為3■和4■，其頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為（? ?）

A.100π B.128π C.144π D.192π

解：由題意得，上底面所在平面截球所得圓的半徑為■=3，下底面所在平面截球所得圓的半徑為■=4，如圖3，

設(shè)球的半徑為R，則軸截面中由幾何知識(shí)可得■+■=1或■-■=1，解得R=5，所以該球的表面積為4πR2=4π×25=100π.

故選：A.

【賞析】試題以正三棱臺(tái)的外接球?yàn)楸尘?，以課程學(xué)習(xí)情境為載體，棱臺(tái)的外接球問題在近五年的全國(guó)各省市高考題中均沒出現(xiàn)過，因此說本題背景具有一定的新穎性，需要考生將學(xué)過的處理棱錐的外接球的方法遷移過來，即將空間問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題，最后將幾何量集中在一個(gè)梯形中。本題考查了正弦定理、正三棱臺(tái)的幾何性質(zhì)、球的幾何性質(zhì)以及球的表面積公式，體現(xiàn)了高考試題注重在知識(shí)交匯處命題的特點(diǎn)，難度比較大。本題以課程學(xué)習(xí)情境為載體，對(duì)考生分析問題和解決問題的能力有比較高的要求，具有很好的區(qū)分度和選拔功能。

例3（8題）已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，且f（x+y）+f（x-y）=f（x）f（y），f（1）=1，則■f（k）

A.-3? ? ?B.-2? ? C.0? ? ?D.1

解：令y=1，則f（x+1）+f（x-1）=f（x），

即f（x+1）=f（x）-f（x-1），

f（x+2）=f（x-1）-f（x），

f（x+3）=f（x+2）-f（x+1），

f（x+3）=f（x），

則f（x+6）=-f（x+3）=f（x），f（x）的周期為6，

令x=1，y=0得f（1）+f（1）=f（1）×f（0），

解得f（0）=2，又f（x+1）=f（x）-f（x-1），

f（2）=f（1）-f（0）=-1，f（3）=f（2）-f（1）=-2，

f（4）=f（3）-f（2）=-1，f（5）=f（4）-f（3）=1，

f（6）=f（5）-f（4）=2，

■f（k）=1-1-2-1+1+2=0，

■f（k）3×0+f（19）+f（20）+f（21）+f（22）

=f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=-3.故選：A.

【賞析】本題是一道抽象函數(shù)問題，以探索創(chuàng)新情境為載體，要求考生在讀懂題目的基礎(chǔ)上，通過推理論證得出函數(shù)f（x）的周期，計(jì)算出該抽象函數(shù)的部分函數(shù)值，從而得出解答.本題考查了考生的邏輯思維能力與運(yùn)算求解能力，具有很好的區(qū)分度。

例4（10題）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過拋物線C：y2=2px（p>0）焦點(diǎn)F的直線與C交于A、B兩點(diǎn)，其中A在第一象限，點(diǎn)M（p，0）.若AF=AM，則（? ）

A.直線AB的斜率為2■

B.OB=OF

C.AB>4OF

D.∠OAM+∠OBM<180°

解法1：如圖4，

∵F（■，0），M（p，0），且AF=AM，

由題設(shè)可得xA=■=■，

∴A（■，■），

由拋物線焦點(diǎn)弦的性質(zhì)可得xA·xB=■，

則xB=■，則B（■，-■），

∴kAB=kAF=■2■，故A正確;

OB=■=■，

OF=■，OB≠OF，

故B錯(cuò)誤;

AB=■+■+p=■>2p=4OF，

故C正確;

因?yàn)椤觯?■p，-■p），

■（■p，-■p），

■·■=-■+■>0

所以∠OAM為銳角，

■=（-■p，■p），

■=（■p-，■p），

■·■=-■+■>0

∠OAM，∠OBM均為銳角，

可得∠OAM+∠OBM<180°，故D正確.

故選：ACD.

解法2：同解法1可得，xA=■，

由拋物線焦半徑公式可得，

AF=xA+■=■+■=■，

由拋物線焦點(diǎn)弦性質(zhì)，■+■=■，

可得■+■=■，

所以解得BF=■，

所以AB=AF+BF

=■+■=■，4OF=2p，

所以AB>4OF，

故答案C正確;

設(shè)直線AB的傾斜角為α，由題設(shè)0<α<■，由拋物線焦半徑公式可得

AF=■=■，

解得cosα=■，

所以k=tanα=■=■2■，

故答案A正確;

在△OBF，由余弦定理可得，

OB=■

=■≠OF，

故答案B錯(cuò)誤;

在△OAF中，由余弦定理可得，

OA2=AF2+

OF2-2AFOFcos（π-α）=■，

在△BFM中，由余弦定理可得，

BM2=BF2+FM2-2BFFMcos（π-α）=■，

OA2+OB2-AB2

=■+■-■<0，

故∠AOB>■，

AM2+BM2-AB2

=■+■-■<0，

故∠AMB>■，

所以∠AOB+∠AMB>π，

所以∠OAM+∠OBM<π，

故答案D正確.

【賞析】試題考查了拋物線的焦點(diǎn)弦和焦半徑的性質(zhì)，以課程學(xué)習(xí)情境為載體，考查了考生對(duì)直線與拋物線的通性通法的掌握情況;考查了數(shù)形結(jié)合思想及化歸與轉(zhuǎn)化思想;考查了運(yùn)算求解能力、邏輯思維能力;考查了考生分析問題和解決問題的能力。拋物線的焦點(diǎn)弦問題在課本中有相關(guān)例子，本題立足于對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法的考查，注重對(duì)關(guān)鍵能力的考查，突出對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理和直觀想象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，試題解法多樣，有利于不同學(xué)習(xí)程度的考生作答，試題具有很好的區(qū)分度和選拔功能。

例5（14題）曲線y=lnx過坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條切線的方程為_____________，___________.

解：當(dāng)x>0時(shí)，y=lnx，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（x0，lnx0），y′=■，切線的斜率k=■，切線方程為y-lnx0=■（x-x0），又切線過原點(diǎn)，-lnx0=-1，x0=e，切線方程為y-1=■（x-e），即x-ey=0，當(dāng)x<0時(shí)，y=ln（-x），與y=lnx的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，切線方程也關(guān)于y軸對(duì)稱，切線方程為x+ey=0.綜上所述，曲線y=lnx經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條切線方程分別為x-ey=0，x+ey=0，故答案為：x-ey=0，x+ey=0.

【賞析】試題考查利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義研究曲線的切線方程，以課程學(xué)習(xí)情境為載體，考查了分類討論思想、函數(shù)的對(duì)稱性、運(yùn)算求解能力、邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)。試題設(shè)計(jì)了兩空，加大了試題的區(qū)分度，題目側(cè)重于對(duì)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)知識(shí)的理解和應(yīng)用，對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的教學(xué)具有積極的引導(dǎo)作用。

例6（17題）已知an是等差數(shù)列，bn是公比為2的等比數(shù)列，且a2-b2=a3-b3=b4-a4.

（1）證明：a1=b1;

（2）求集合k∣bk=am+a1，1≦m≦500中元素的個(gè)數(shù).

解：（1）證明：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，

an=a1+（n-1）d，bn=b1qn-1=2n-1b1，

由題設(shè)可得a1+d-2b1=a1+2d-4b1（i）a1+2d-4b1=8b1-a1-3d（ii），

由（i）可得，d=2b1，

代入（ii）可得a1+4b1-4b1=8b1-a1-6b1，

得a1=b1;

（2）由（1）知，d=2b1=2a1，

am=a1+（m-1）d=a1+（m-1）2a1=（2m-1）a1，

bk=2k-1b1=2k-1a1，因?yàn)閎k=am+a1，

所以2k-1a1=（2m-1）a1+a1=2ma1，

即2k-1=2m，即m=2k-2，又1≦m≦500，

故1≦2k-1≦500，

又因?yàn)閗∈N*，28=216，29=512，

所以1≦2k-2≦28，所以2≦k≦10，

故集合k∣bk=am+a1，1≦m≦500

=2，3，，4，5，6，7，8，9，10，

所以k∣bk=am+a1，1≦m≦500，中元素個(gè)數(shù)為9個(gè).

【評(píng)析】本題以課程學(xué)習(xí)情境為載體，考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、集合以及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性?？疾榭忌鷮?duì)數(shù)列、集合與函數(shù)等高中數(shù)學(xué)必備知識(shí)的掌握程度和靈活應(yīng)用能力。本題體現(xiàn)了高考試題注重在知識(shí)交匯處命題的特點(diǎn)，考查了運(yùn)算求解能力和邏輯思維能力，對(duì)高中數(shù)學(xué)數(shù)列部分的教學(xué)有積極的導(dǎo)向作用。

例7（19題）在某地區(qū)進(jìn)行流行病學(xué)調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了100位某種疾病患者的年齡，得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：

（1）估計(jì)該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）;

（2）估計(jì)該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間[20，70）的概率;

（3）已知該地區(qū)這種疾病的患者的患病率為，該地區(qū)年齡位于區(qū)間[40，50）的人口占該地區(qū)總?cè)丝诘?6%.從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間[40，50），求此人患這種疾病的概率（以樣本數(shù)據(jù)中患者的年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間的概率，精確到0.0001.）.

解：（1）由頻率分布直方圖得該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡為：■=5×0.001×10+15×0.002×10+25×0.012×10+45×0.023×10+55×0.020×10+65×0.017×10+75×0.006×10+85×0.002×10=47.9歲.

（2）該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間【20，70）的頻率為：（0.012+0.017+0.023+0.020+0.017）×10=0.89，

∴估計(jì)該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間【20，70），的概率為0.89.

（3）設(shè)從該地區(qū)中任選一人，此人的年齡位于區(qū)間【40，50）為事件B，此人患這種疾病為事件C，則P（C∣B）=■=■≈0.0014.

【賞析】試題以某地區(qū)進(jìn)行流行病學(xué)調(diào)查為背景，體現(xiàn)了命題以社會(huì)生活實(shí)踐情境為載體。第（1）問和第（2）問旨在考查考生對(duì)頻率分布直方圖的理解和掌握情況以及用樣本數(shù)字特征估計(jì)總體數(shù)字特征、用頻率估計(jì)概率的方法。第（3）問考查了條件概型的應(yīng)用，著力考查了考生的閱讀理解能力、分析和處理數(shù)據(jù)的能力、運(yùn)算求解能力;考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng);考查了考生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)。本題可以使考生體會(huì)到概率與統(tǒng)計(jì)知識(shí)在社會(huì)生活實(shí)踐中的應(yīng)用價(jià)值，對(duì)概率與統(tǒng)計(jì)學(xué)的教學(xué)改革具有促進(jìn)作用。

例8（21題）已知雙曲線C：■-■=1（a>0，b>0）的右焦點(diǎn)為C（2，0），漸近線方程為y=±■x.

（1）求C的方程;

（2）過F的直線與C的兩條漸近線分別交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P（x1，y1），Q（x2，y2）在C上，且x1>x2>0，y>0.過P且斜率為-■的直線與過Q且斜率為■的直線交于點(diǎn)M.從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立.

①M(fèi)在AB上;②PQ∥AB;③MA=MB.

注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.

解：（1）由題意可得■=■，■=2，

解得a=1，b=■，

因此C的方程為■-y2=1，

（2）設(shè)直線PQ的方程為y=kx+b，（k≠0），將直線PQ的方程代入■-y2=1可得（3-k2）x-2kbx-b2-3=0，

∴x1+x2=■，x1x2=-■，

∴x1-x2=■

=■，

設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（xM，yM），

則yM-y1=■（xM-x1）yM-y2=■（xM-x2），

兩式相減可得y1-y2=2■xM-■（x1-x2），

∴y1-y2=k（x1-x2），

∴2■xM=■（x1+x2）+k（x1-x2），

解得xM=■，

兩式相減可得2yM-（y1+y2）=■（x1-x2），

∵y1+y2=k（x1+x2）+2b，

∴2yM=■（x1-x2）+k（x1+x2）+2b，

解得yM=■，

yM=■xM，其中k為直線PQ的斜率;

若選擇①②：設(shè)直線AB的方程為y=k（x-2），并設(shè)A的坐標(biāo)為（x3，y3），B的坐標(biāo)為（x4，y4），

則y3=k（x3-2）y3=■x3，

解得x3=■，y3=■，

同理可得x4=■，y4=■，

∴x3+x4=■，y3+y4=■，

此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足yM=k（xM-2）yM=■xM，

解得xM=■=■（x3+x4），

yM=■=■（y3+y4）

∴M為AB的中點(diǎn)，即MA=MB;

若選擇①③：

當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，點(diǎn)M即為點(diǎn)F（2，0），此時(shí)不在直線y=■x上，矛盾，當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)AB直線的方程為y=m（x-2）（m≠0），并設(shè)A的坐標(biāo)為（x3，y3），B的坐標(biāo)為（x4，y4），

則y3=m（x3-2）y3=■x3，

解得x3=■，y3=■

同理可得x4=■，y4=■，

此時(shí)xM=■（x3+x4）=■，

∴yM=■（y3+y4）=■，

由于點(diǎn)M同時(shí)在直線y=■x上，

故6m=■·2m2，解得k=m，

因此PQ∥AB.

若選擇②③：設(shè)直線AB的方程為y=k（x-2），并設(shè)A的坐標(biāo)為（x3，y3），B的坐標(biāo)為（x4，y4），

則y3=k（x3-2）y3=■x3，

解得x3=■，y3=■，

同理可得x4=■，y4=■，

設(shè)AB的中點(diǎn)C（xC，yC），

則xC=■（x3+x4）=■，

yC=■（y3+y4）=■，

由于MA=MB，故M在AB的垂直平分線上，即點(diǎn)M在直線y-yC=■（x-xC）上，

將該直線y=■x聯(lián)立，

解得xM=■=xC，yM=■=yC

即點(diǎn)M恰為AB中點(diǎn)，故點(diǎn)M在直線AB上.

【賞析】本題是一道結(jié)構(gòu)不良試題，以探索創(chuàng)新情境為載體。這道題的模式是給出三個(gè)條件，讓考生選擇把其中兩個(gè)作為條件，另一個(gè)作為結(jié)論，并進(jìn)行證明。本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)、直線與雙曲線的位置關(guān)系;考查了設(shè)而不求思想、方程思想以及化歸與轉(zhuǎn)化思想;考查了運(yùn)算求解能力和邏輯思維能力，具有很好的選拔功能，落實(shí)了服務(wù)選才的功能。