關(guān)于數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)與思考

摘要：數(shù)學(xué)教育的問題并不在于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的最好方式是什么，而在于數(shù)學(xué)到底是什么，如果不正視數(shù)學(xué)的本質(zhì)問題，便解決不了關(guān)于教學(xué)上的爭議。基于簡單的文獻(xiàn)梳理，管窺邏輯主義、形式主義、直覺主義、經(jīng)驗(yàn)主義、理性主義、社會(huì)建構(gòu)主義、數(shù)學(xué)文化本質(zhì)觀，以及當(dāng)代的自然主義與物理主義等各種流派對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)。由此，結(jié)合新課標(biāo)中的定位，得到啟示：數(shù)學(xué)是現(xiàn)實(shí)世界和人類心靈的產(chǎn)物;數(shù)學(xué)不是絕對(duì)的“真理”，只是可誤和發(fā)展著的“相對(duì)真理”;數(shù)學(xué)是一種人類特有的基于社會(huì)建構(gòu)而形成的文化;數(shù)學(xué)最核心的價(jià)值就在于引導(dǎo)并促進(jìn)人們理性地認(rèn)識(shí)并改造客觀世界。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)本質(zhì);數(shù)學(xué)哲學(xué);數(shù)學(xué)文化;社會(huì)建構(gòu);理性精神

美國數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家赫斯認(rèn)為：“數(shù)學(xué)教育的問題并不在于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的最好方式是什么，而在于數(shù)學(xué)到底是什么，如果不正視數(shù)學(xué)的本質(zhì)問題，便解決不了關(guān)于教學(xué)上的爭議?！盤aul Ernest.數(shù)學(xué)教育哲學(xué)[M].齊建華，張松枝，譯.上海：上海教育出版社，1998：67。數(shù)學(xué)的本質(zhì)問題（數(shù)學(xué)是什么），是數(shù)學(xué)哲學(xué)研究中長期爭論不休的話題。本文嘗試基于簡單的文獻(xiàn)梳理，管窺各種流派對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，并結(jié)合最新頒布的義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中的定位，淺談對(duì)“數(shù)學(xué)是什么”的思考，希望對(duì)讀者有所啟發(fā)。

一、 三種經(jīng)典數(shù)學(xué)觀的偉大貢獻(xiàn)與歷史局限

基于對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)問題的不同解答而形成的傳統(tǒng)的三大數(shù)學(xué)流派，邏輯主義、形式主義和直覺主義分別代表著三種不同的數(shù)學(xué)哲學(xué)觀，代表人物分別有羅素、希爾伯特和克勞威爾。筆者查閱文獻(xiàn)，認(rèn)為三種流派的觀點(diǎn)、主張并沒有嚴(yán)格的區(qū)分與界定。其區(qū)別與其說是對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)存在鮮明差異，不如說是對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展中起著決定作用的某些特征的尊崇與倡導(dǎo)不同而已。邏輯主義強(qiáng)調(diào)“數(shù)理即邏輯”，既是對(duì)數(shù)學(xué)的邏輯特性的深刻認(rèn)識(shí)，又是對(duì)邏輯（集合論公理體系）的極度推崇。形式主義則是對(duì)數(shù)學(xué)進(jìn)行形式化、符號(hào)化的極致表達(dá)，也是對(duì)建立數(shù)學(xué)“自系統(tǒng)”的理性化追求。直覺主義既有對(duì)數(shù)學(xué)真理的“神賦”的無比崇拜，也有對(duì)人為構(gòu)造的數(shù)學(xué)的執(zhí)著探求。三種數(shù)學(xué)哲學(xué)觀沒有本質(zhì)上的對(duì)錯(cuò)之分，它們都在一定的歷史時(shí)期對(duì)社會(huì)的進(jìn)步、科學(xué)的發(fā)展以及數(shù)學(xué)自身的繁榮與演化作出了偉大的貢獻(xiàn)，數(shù)學(xué)這座堅(jiān)固而美麗的大廈不能缺少它們?nèi)魏我环N基石。但它們也不可避免地存在一定的歷史局限性，而這些局限性恰恰為數(shù)學(xué)后續(xù)的發(fā)展提供了探索出路或革新契機(jī)。

二、 經(jīng)驗(yàn)主義與理性主義數(shù)學(xué)觀的相輔相成

哲學(xué)史上的一大爭論，就是所謂的“經(jīng)驗(yàn)主義者”與“理性主義者”之間的爭論。羅素.哲學(xué)問題[M].何兆武，譯.北京：商務(wù)印書館，2007：59。經(jīng)驗(yàn)主義數(shù)學(xué)哲學(xué)的核心觀點(diǎn)包括：強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)是人類的實(shí)踐活動(dòng);數(shù)學(xué)對(duì)象是可靠的經(jīng)驗(yàn)創(chuàng)造的客觀事實(shí);數(shù)學(xué)實(shí)在通過經(jīng)驗(yàn)加以認(rèn)識(shí);數(shù)學(xué)命題是經(jīng)驗(yàn)的一般化，是直接經(jīng)驗(yàn)的歸納。而理性主義數(shù)學(xué)觀一般認(rèn)為：“數(shù)學(xué)的形成與發(fā)展依賴高度的邏輯化與形式化，數(shù)學(xué)在本質(zhì)上是觀念科學(xué)。數(shù)學(xué)的研究結(jié)論是自足的，不需要經(jīng)驗(yàn)世界來證明。自然科學(xué)理論是否成立需要實(shí)驗(yàn)與觀察事實(shí)的支持，而數(shù)學(xué)就不一樣，無論是否有現(xiàn)實(shí)基礎(chǔ)，只要邏輯推論沒有錯(cuò)誤，就具有一定的合理性。也就是說，數(shù)學(xué)是純粹思維的產(chǎn)物。對(duì)數(shù)學(xué)的真理性而言，最重要的不是符合現(xiàn)實(shí)，而是邏輯自洽;最關(guān)鍵的也不在于實(shí)用性能，而是思維理性?！痹佬涝?，董宏建.數(shù)學(xué)教育“生活化”還是“數(shù)學(xué)化”——基于數(shù)學(xué)教育哲學(xué)的思考[J].教育學(xué)報(bào)，2017（3）：4147。這里主要注意的是，理性主義是一種哲學(xué)的觀念，和通常所說的理性精神并不等同。

重視與強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的聲音從古至今從未被淹沒：從古埃及、古巴比倫的先哲到亞里士多德、穆勒，再到萊曼、赫什，從霍布斯的懷疑論的經(jīng)驗(yàn)主義到洛克對(duì)知性的批判，以及貝克萊和休謨的延續(xù)，盡管有時(shí)頻發(fā)強(qiáng)音，有時(shí)相對(duì)微弱，但其哲學(xué)的光芒一直在閃爍。而始于笛卡兒的理性主義路線，經(jīng)過馬勒伯朗士、斯賓諾莎、萊布尼茲和沃爾夫?qū)W派，直到康德這個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)，發(fā)展成為一些宏大的思想體系胡塞爾.歐洲的科學(xué)危機(jī)與超越論的現(xiàn)象學(xué)[M].王炳文，譯.北京：商務(wù)印書館，2001：109。，并成為近代以來西方比較尊崇的一種數(shù)學(xué)哲學(xué)觀。筆者認(rèn)為，將經(jīng)驗(yàn)主義與理性主義對(duì)立是不可取的。沒有哪一種傾向經(jīng)驗(yàn)的能夠站得住腳的認(rèn)識(shí)是毫無理性可言的，同時(shí)也不存在具有超越一切經(jīng)驗(yàn)效力的理性主義的東西。經(jīng)驗(yàn)主義本身就是理性的思考，理性主義也從來都承認(rèn)數(shù)學(xué)起源于現(xiàn)實(shí)生活需要。二者只能是相互促進(jìn)、相輔相成。

三、 社會(huì)建構(gòu)主義數(shù)學(xué)觀與數(shù)學(xué)文化本質(zhì)觀的相通相融

社會(huì)建構(gòu)主義者將數(shù)學(xué)視作社會(huì)建構(gòu)的產(chǎn)物，認(rèn)為人類的知識(shí)、規(guī)則和約定對(duì)數(shù)學(xué)真理的確定和判定起著關(guān)鍵作用。數(shù)學(xué)是在一定的社會(huì)文化背景下不斷發(fā)展變化、不斷修正的知識(shí)觀念。以歐內(nèi)斯特為代表的社會(huì)建構(gòu)主義者的數(shù)學(xué)觀打破了“數(shù)學(xué)是可靠性知識(shí)”的神話。數(shù)學(xué)知識(shí)不再具有一種內(nèi)在的、永恒的、單純抽象的“本質(zhì)”，而是一種在特定歷史框架中的建構(gòu)，蘊(yùn)含深刻的人性價(jià)值。這種新的數(shù)學(xué)觀對(duì)數(shù)學(xué)教育具有深遠(yuǎn)的意義。從本質(zhì)上看，歐內(nèi)斯特等人的數(shù)學(xué)教育哲學(xué)屬于可誤主義數(shù)學(xué)觀、大眾數(shù)學(xué)教育哲學(xué)觀，是同我們努力倡導(dǎo)的數(shù)學(xué)素質(zhì)教育理論相合拍的。齊建華.數(shù)學(xué)教育的哲學(xué)思考——我譯《數(shù)學(xué)教育哲學(xué)》[J].河南教育學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），1999（1）：1215。

與之款曲相通，都強(qiáng)調(diào)人文背景與動(dòng)態(tài)發(fā)展的，是美國著名的應(yīng)用數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家、數(shù)學(xué)史家和數(shù)學(xué)哲學(xué)家莫里斯·克萊因倡導(dǎo)的數(shù)學(xué)文化本質(zhì)觀?？巳R因的《古今數(shù)學(xué)思想》《西方文化中的數(shù)學(xué)》《數(shù)學(xué)：確定性的喪失》等著作已成為數(shù)學(xué)研究者和數(shù)學(xué)教育者學(xué)習(xí)的經(jīng)典，在學(xué)術(shù)界產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響。特別是他關(guān)于“數(shù)學(xué)精神”的論述，指引著眾多數(shù)學(xué)教育者孜孜不倦地探索數(shù)學(xué)的育人價(jià)值。克萊因?qū)⑵鋽?shù)學(xué)史觀作為數(shù)學(xué)哲學(xué)的出發(fā)點(diǎn)，對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問題、數(shù)學(xué)本體論問題、數(shù)學(xué)真理性問題、數(shù)學(xué)文化等一系列數(shù)學(xué)哲學(xué)基礎(chǔ)進(jìn)行了深入研究，形成了較為完整的數(shù)學(xué)文化哲學(xué)觀。

在數(shù)學(xué)史觀方面，克萊因認(rèn)為，“數(shù)學(xué)家的思想應(yīng)該是數(shù)學(xué)史的核心，因?yàn)樗菙?shù)學(xué)課題的主要的、真正富有活力的、反映數(shù)學(xué)本來面目的組成部分”莫里斯·克萊因.古今數(shù)學(xué)思想（第二冊(cè)）[M].張理京，張錦炎，江澤涵，譯.上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，2001：285。。其數(shù)學(xué)史著作《古今數(shù)學(xué)思想》被評(píng)論為：“就數(shù)學(xué)史而言，這是迄今為止最好的一本?！雹堍茛?莫里斯·克萊因.西方文化中的數(shù)學(xué)[M].張祖貴，譯.北京：商務(wù)印書館，2013：譯者前言7，10，431，25。

關(guān)于數(shù)學(xué)本體論，克萊因認(rèn)為，數(shù)學(xué)命題是按照一定的法則組成的符號(hào)系列，數(shù)學(xué)家有創(chuàng)造數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的自由。他對(duì)實(shí)在論，即數(shù)學(xué)的研究對(duì)象是一種獨(dú)立于人類認(rèn)識(shí)的客觀存在的觀點(diǎn)持明確的反對(duì)態(tài)度。他認(rèn)為，數(shù)學(xué)是與自然界里的概念和法則全然不同的;數(shù)學(xué)具有一定程度的人為性;數(shù)學(xué)能夠引進(jìn)并研究一些相當(dāng)任意的概念和理念，它們或者像四元數(shù)那樣沒有直接的物理解釋，但卻是有用的，或者像n維空間幾何那樣，滿足一種普遍性的要求;數(shù)學(xué)與其他領(lǐng)域的區(qū)別在于它自由地創(chuàng)造自己的概念，而無須顧及是否實(shí)際存在。④“數(shù)學(xué)確乎是人造的、易犯錯(cuò)誤的思想的產(chǎn)物，而不是獨(dú)立于人的永恒世界中的東西;數(shù)學(xué)并不是建立在客觀現(xiàn)實(shí)基礎(chǔ)上的一座鋼筋結(jié)構(gòu)，而是人在思想領(lǐng)域中進(jìn)行特別探索時(shí)，與人的玄想連在一起的蜘蛛網(wǎng)?！雹?/p>

除了對(duì)數(shù)學(xué)本體論與數(shù)學(xué)真理性的探討，克萊因?qū)?shù)學(xué)文化的洞徹分析，與對(duì)數(shù)學(xué)思想史梳理的鴻篇巨制一樣令人震撼。他認(rèn)為，數(shù)學(xué)是人類最偉大和最富理性的藝術(shù)。在人類文明中，數(shù)學(xué)如果脫離了其豐富的文化基礎(chǔ)，就會(huì)被簡化成一系列的技巧，其形象也就完全被歪曲了。數(shù)學(xué)文化應(yīng)該包括兩個(gè)方面：一方面是作為人類文化子系統(tǒng)的數(shù)學(xué)文化，所涉及的是數(shù)學(xué)與其他文化、與整個(gè)文明的關(guān)系;另一方面就是數(shù)學(xué)本身作為一個(gè)文化系統(tǒng)，包含它的發(fā)生、發(fā)展及其結(jié)構(gòu)。⑥

20世紀(jì)著名拓?fù)鋵W(xué)家懷爾德提出：“數(shù)學(xué)是一種不斷進(jìn)化的子文化體系?！眲Ⅸi飛，徐乃楠，王濤.懷爾德的數(shù)學(xué)文化研究[M].北京：清華大學(xué)出版社，2021：8。我國學(xué)者南京大學(xué)鄭毓信教授多年從事數(shù)學(xué)哲學(xué)研究，其學(xué)術(shù)著作以及哲學(xué)思想引領(lǐng)國內(nèi)數(shù)學(xué)教育及數(shù)學(xué)哲學(xué)的研究。鄭教授也曾提出，數(shù)學(xué)是相對(duì)獨(dú)立的文化系統(tǒng)，而且是整個(gè)人類文化的一個(gè)子系統(tǒng)。數(shù)學(xué)是模式的科學(xué)，數(shù)學(xué)家通過模式的建構(gòu)并以此為直接對(duì)象來從事客觀世界量的規(guī)律性研究。鄭毓信.數(shù)學(xué)教育哲學(xué)[M].成都：四川教育出版社，2001：228229。

四、 當(dāng)代的自然主義與物理主義數(shù)學(xué)觀

以蒯因?yàn)橹饕珜?dǎo)者的自然主義與物理主義，是當(dāng)代英美哲學(xué)界較為推崇的哲學(xué)理論。我國學(xué)者在這方面的學(xué)術(shù)研究成果相對(duì)較少。首都師范大學(xué)葉峰教授應(yīng)該是國內(nèi)將數(shù)學(xué)哲學(xué)研究建立在自然主義與物理主義基礎(chǔ)上的探索者和引領(lǐng)者。在《為什么相信自然主義與物理主義》一文中，葉教授詳細(xì)論述了當(dāng)代對(duì)自然主義與物理主義的認(rèn)識(shí)。自然主義與物理主義者一般認(rèn)為，科學(xué)方法是認(rèn)識(shí)事物最可靠的方法，沒有優(yōu)于科學(xué)方法的其他方法。人類自身是自然事物，是生物系統(tǒng)，是生物進(jìn)化與個(gè)體發(fā)育的結(jié)果;人類的認(rèn)知過程也是自然過程，即大腦中的神經(jīng)元活動(dòng)及其與環(huán)境相互作用的過程。心智具有大腦中的神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)等廣義的物理屬性——心理學(xué)最終要走向神經(jīng)科學(xué)。他們堅(jiān)定地反對(duì)那些預(yù)設(shè)了靈魂、先驗(yàn)自我（transcendental ego）、意識(shí)之流（stream of consciousness）、絕對(duì)精神等超自然的事物或立場(chǎng)。③ 葉峰.從數(shù)學(xué)哲學(xué)到物理主義[M].北京：華夏出版社，2016：281345，139。

葉教授基于自然主義和物理主義的認(rèn)識(shí)，探討了“數(shù)學(xué)真理是什么”，但是對(duì)于數(shù)學(xué)本質(zhì)和數(shù)學(xué)真理，沒有給出具體而明確的結(jié)論。在《數(shù)學(xué)真理是什么》一文中，葉教授言明：“本文的目的是簡要介紹歷史上哲學(xué)家對(duì)數(shù)學(xué)真理本質(zhì)的思考，考察它們是否提供了對(duì)這個(gè)問題的答案?！睂?duì)于從恩格斯、康德到弗雷格、哥德爾等對(duì)數(shù)學(xué)真理的定位，葉教授都提出了質(zhì)疑，并做了啟發(fā)性意義的探討。更難能可貴的是，葉教授澄清了數(shù)學(xué)哲學(xué)中最關(guān)鍵的難題，即數(shù)學(xué)實(shí)踐主體（也就是認(rèn)知主體）到底是什么，主體能不能認(rèn)識(shí)抽象數(shù)學(xué)（尤其是實(shí)無窮抽象數(shù)學(xué)）對(duì)象的真實(shí)性。認(rèn)知主體最終是一個(gè)復(fù)雜的物理系統(tǒng)，而認(rèn)知過程也最終是一個(gè)物理過程。物理主義框架下的數(shù)學(xué)哲學(xué)，是唯名論的、嚴(yán)格有窮主義的數(shù)學(xué)哲學(xué)。③

五、 新課標(biāo)對(duì)“數(shù)學(xué)是什么”的定位

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱“新課標(biāo)”）在第一部分“課程性質(zhì)”中，以恩格斯對(duì)數(shù)學(xué)的定義開宗明義地對(duì)義務(wù)教育階段“數(shù)學(xué)”的概念做了清晰的界定：“數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)?！本o接著，就對(duì)數(shù)學(xué)的本質(zhì)構(gòu)成（研究使命）做了進(jìn)一步闡述：“數(shù)學(xué)源于對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的抽象，通過對(duì)數(shù)量和數(shù)量關(guān)系、圖形和圖形關(guān)系的抽象，得到數(shù)學(xué)的研究對(duì)象及其關(guān)系;基于抽象結(jié)構(gòu)，通過對(duì)研究對(duì)象的符號(hào)運(yùn)算、形式推理、模型構(gòu)建等，形成數(shù)學(xué)的結(jié)論和方法，幫助人們認(rèn)識(shí)、理解和表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界的本質(zhì)、關(guān)系和規(guī)律?！睌?shù)學(xué)的研究使命是什么呢？抽象地認(rèn)識(shí)、理解和表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界。認(rèn)識(shí)、理解和表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界的哪些方面呢？本質(zhì)、關(guān)系和規(guī)律。以什么方法進(jìn)行呢？抽象的、推理的、模型的方法。新課標(biāo)在這一段中，還對(duì)數(shù)學(xué)的價(jià)值、意義與作用做了簡明的分析：“數(shù)學(xué)不僅是運(yùn)算和推理的工具，還是表達(dá)和交流的語言。數(shù)學(xué)承載著思想和文化，是人類文明的重要組成部分。數(shù)學(xué)是自然科學(xué)的重要基礎(chǔ)，在社會(huì)科學(xué)中發(fā)揮著越來越重要的作用，數(shù)學(xué)的應(yīng)用滲透到現(xiàn)代社會(huì)的各個(gè)方面，直接為社會(huì)創(chuàng)造價(jià)值，推動(dòng)社會(huì)生產(chǎn)力的發(fā)展。”數(shù)學(xué)既具有思維工具價(jià)值，又具有人文思想價(jià)值，更有著發(fā)展創(chuàng)造價(jià)值。

六、 對(duì)“數(shù)學(xué)是什么”的思考

中小學(xué)數(shù)學(xué)教師的數(shù)學(xué)觀，無疑會(huì)直接影響數(shù)學(xué)教學(xué)行為，同時(shí)會(huì)間接影響學(xué)生數(shù)學(xué)觀念的形成。下面，基于上述“數(shù)學(xué)觀”，闡述筆者對(duì)“數(shù)學(xué)是什么”的思考，希望對(duì)數(shù)學(xué)教育同行有所助益。

數(shù)學(xué)是什么？數(shù)學(xué)是現(xiàn)實(shí)世界和人類心靈的產(chǎn)物。義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)科研究的是數(shù)量關(guān)系和空間形式，盡管現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展早已遠(yuǎn)非“數(shù)量關(guān)系和空間形式”所能涵蓋，但是它畢竟是數(shù)學(xué)最強(qiáng)大的基石和主干。數(shù)學(xué)研究（學(xué)習(xí)）是人腦的認(rèn)知實(shí)踐，是神經(jīng)元的活動(dòng)，是心智的一種抽象的、靈活的、神奇的功能，其內(nèi)生動(dòng)力，既有好奇心和求知欲的吸引和驅(qū)使，也有對(duì)“用”和“美”的追求。

同時(shí)，不能把數(shù)學(xué)的地位拔高到如柏拉圖主義者們所認(rèn)為的“數(shù)學(xué)是真實(shí)存在的獨(dú)立于物質(zhì)世界與我們心靈的抽象實(shí)體”。物質(zhì)世界里沒有獨(dú)立于物質(zhì)世界的存在。人類是經(jīng)過自然選擇的物質(zhì)世界的一部分，是一個(gè)進(jìn)化的解決方案。不可能存在獨(dú)立于物質(zhì)世界的“數(shù)學(xué)實(shí)在”。所謂的“心靈”，只不過是人腦的機(jī)能，是心智器官組成的系統(tǒng)。數(shù)學(xué)是人腦的產(chǎn)物，是心智器官的一種“計(jì)算”，不可能存在一個(gè)獨(dú)立于“心靈”之外的數(shù)學(xué)的靈異世界。

數(shù)學(xué)是什么？并不是絕對(duì)的“真理”，哪怕是康德加了限定的“先天的綜合真理”也是值得商榷的。數(shù)學(xué)發(fā)展史上，大浪淘沙地過濾掉了多少曾經(jīng)的“真理”？今人發(fā)現(xiàn)的“真理”，孰能料想后人會(huì)如何作出揚(yáng)棄？今人認(rèn)為的“常識(shí)”，又怎么知道前人經(jīng)過了怎樣的磨難和探索方才“頓悟”？前人奉若神明的“真理”，又怎可想見今人如此“理所當(dāng)然”地視之？即使是我們今天看來無可驗(yàn)證的“真理”，又怎能確定未來依然是“先驗(yàn)”？誰能百分之百地確定那些“先驗(yàn)”，即使如康德所說的“完全不依賴任何經(jīng)驗(yàn)所發(fā)生的知識(shí)”康德.純粹理性批判[M].鄧曉芒，譯.北京：人民出版社，2004：B3。也一定沒有經(jīng)歷過人類成百上千年的不可計(jì)數(shù)的“經(jīng)驗(yàn)”智慧的累積？

數(shù)學(xué)教師千萬不可給數(shù)學(xué)戴上至高無上的皇冠，雖然這有可能讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)心生景仰與崇拜。數(shù)學(xué)只是可誤和發(fā)展著的“相對(duì)真理”。同時(shí)，只是人類社會(huì)的一個(gè)組成元素，且是人類生存與繁衍中不可或缺的追求與探索。數(shù)學(xué)不是某一類人或某一階級(jí)的標(biāo)簽，而是人人都可擁有、人人皆可應(yīng)用的工具。數(shù)學(xué)能力的好壞絕不是人的“優(yōu)劣”的證明，教師切不可心生“丑陋”思想——就如柏拉圖在《法律篇》中所言，“不知道數(shù)學(xué)的基本應(yīng)用是荒唐而無恥的，更多的是豬的而非人類的特征”歐文·埃爾加·米勒.柏拉圖哲學(xué)中的數(shù)學(xué)[M].覃方明，譯.杭州：浙江大學(xué)出版社，2017：4。。

數(shù)學(xué)是什么？邏輯主義、形式主義和直覺主義都只是數(shù)學(xué)大廈堅(jiān)固無比的基石，但絕不是數(shù)學(xué)的全部。過分糾纏于它們中的任何一種，都只能越走越狹窄，難以見到光明。認(rèn)為數(shù)學(xué)是純粹的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)或純粹的思維理性或純粹的符號(hào)分析、語言約定等都不可取。數(shù)學(xué)的產(chǎn)生和發(fā)展進(jìn)程與人類社會(huì)的進(jìn)步歷程同步同行，作為科學(xué)的數(shù)學(xué)這座宏偉的大廈亦是在人類智慧創(chuàng)造的基石上搭建起來，在悠遠(yuǎn)的歷史長河中不斷地添磚加瓦，不斷地革新再生，逐漸地建構(gòu)起來，并將繼續(xù)遵從人類社會(huì)的建構(gòu)發(fā)展下去的。雖然數(shù)學(xué)是社會(huì)建構(gòu)的，但是數(shù)學(xué)的價(jià)值不限于社會(huì)意義，不能單純地將數(shù)學(xué)的作用狹隘地指向服務(wù)社會(huì)生活。

數(shù)學(xué)是什么？數(shù)學(xué)的知識(shí)、數(shù)學(xué)的思想以及數(shù)學(xué)的文獻(xiàn)、數(shù)學(xué)的活動(dòng)、數(shù)學(xué)的應(yīng)用等，都毫無例外地具備文化的屬性，數(shù)學(xué)的價(jià)值與意義也就是數(shù)學(xué)作為文化的價(jià)值與意義。數(shù)學(xué)的本質(zhì)是一種文化，一種人類特有的基于社會(huì)建構(gòu)而形成的文化。這一文化最核心的價(jià)值就在于引導(dǎo)并促進(jìn)人們理性地認(rèn)識(shí)并改造客觀世界。也可以說，最能體現(xiàn)數(shù)學(xué)對(duì)于人類發(fā)展的價(jià)值的，就是其永遠(yuǎn)閃爍的“理性精神”的光芒。數(shù)學(xué)因理性而“解放”（“自由”）和“有力”（“強(qiáng)大”）（張景中語）。

七、 結(jié)語

數(shù)學(xué)教師若要教好數(shù)學(xué)，就要真正認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)。對(duì)數(shù)學(xué)哲學(xué)的學(xué)習(xí)與探究應(yīng)該伴隨教師教育職業(yè)生涯甚至終身。盡管這一過程是艱難的，但也是幸福的。筆者一段時(shí)間以來粗略地閱讀了一些哲學(xué)書籍，真切地感受到每一種數(shù)學(xué)哲學(xué)觀點(diǎn)都有其偉大且令人著迷之處。但令筆者困惑的是，每一種論述似乎又都不完美，或多或少地讓人覺得有所偏頗或遺憾。也許，產(chǎn)生這種想法的原因只是筆者并沒有真正深入地研究和理解這些觀點(diǎn)及理念，是自身學(xué)識(shí)和素養(yǎng)限制了思考，也限制了發(fā)現(xiàn)真理的能力。但是，如果有誰認(rèn)為某一種觀點(diǎn)就是“永恒的真理”，這豈不更為荒謬。筆者猜想，可以用一種發(fā)展的、全面的、綜合的數(shù)學(xué)哲學(xué)觀，而不是靜止的、片面的、對(duì)立的數(shù)學(xué)哲學(xué)觀來認(rèn)識(shí)上述“真理性”問題。如，我們可以充滿理想地認(rèn)為，數(shù)學(xué)的“真理”是不斷發(fā)展變化著的“綜合真理”。作為人類智能核心成分之一的數(shù)學(xué)發(fā)展，是時(shí)刻伴隨著“經(jīng)驗(yàn)”的，是一代一代、幾百萬年幾千萬年自然選擇的結(jié)果。而作為當(dāng)下個(gè)體或群體的數(shù)學(xué)，則是“超驗(yàn)”的。其在運(yùn)用時(shí)，又必然地符合“分析真理”和“邏輯真理”……當(dāng)然，我們也可以詩意地去描述數(shù)學(xué)“真理”：也許數(shù)學(xué)之“真理”——萌發(fā)于現(xiàn)實(shí)物質(zhì)“世界”，形成于感知抽象“世界”，創(chuàng)造于文化語言“世界”，應(yīng)用于社會(huì)生活“世界”，遨游于自由哲學(xué)“世界”，棲息于美妙心靈“世界”，幻化于浩瀚自然“世界”。這難道不是數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育令人心動(dòng)的理由嗎？還是“盲人摸象”的比喻最為經(jīng)典：站在不同的位置，每個(gè)人都有可能發(fā)現(xiàn)部分的真理，但是綜合起來，才能得到完整的認(rèn)識(shí)。

盡管上述思考是極為稚嫩的，真正有著執(zhí)著信仰和追求的數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)哲學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家可能對(duì)本文荒謬的論述嗤之以鼻，或認(rèn)為只是“大雜燴”“和稀泥”，但是，筆者依然認(rèn)為這種思考是必要的，尤其是對(duì)于中小學(xué)教師來說：即使我們沒有掌握“真理”，致力于探索和發(fā)現(xiàn)真理的努力依然值得肯定，因?yàn)樘剿鞅旧碜羁少F。（鄭義富，廣東省中山市西區(qū)中心小學(xué)校長。特級(jí)教師，正高級(jí)教師。廣東省名校長工作室主持人，廣東省中小學(xué)校長培訓(xùn)中心兼職教授，華南師范大學(xué)教育科學(xué)學(xué)院博士生，華南師范大學(xué)碩士研究生導(dǎo)師，“國培計(jì)劃”專家?guī)鞂＜页蓡T。）