數(shù)學物理方法教學中“串聯(lián)式”方法探索

曹寧　歐念森　薛宇峰

［摘 要］數(shù)學物理方法課程是數(shù)學和物理的橋梁，在理工類本科教育中極為重要。長期以來，數(shù)學物理方法都背負著“難教、難學”的評價，亟須通過教學改革改變現(xiàn)狀。課程組結(jié)合多年來針對大氣科學本科生的教學實踐，以解決問題為導向，提出了“串聯(lián)式”教學方法，在教學實踐中顯著提升了數(shù)學物理方法課程的教學質(zhì)量和效果。

［關(guān)鍵詞］數(shù)學物理方法;串聯(lián)式;問題導向;教學改革

［中圖分類號］ G642 ［文獻標識碼］ A ［文章編號］ 2095-3437（2022）09-0125-04

數(shù)學物理方法是高等院校理工科專業(yè)學生的一門重要基礎(chǔ)課，是在高等數(shù)學、大學物理等課程基礎(chǔ)上開設(shè)的一門重要的應(yīng)用數(shù)學類課程，為專業(yè)課程的深入學習提供所需的數(shù)學方法和工具。數(shù)學物理方法所涉及的范圍非常廣泛、內(nèi)容極為豐富，其物理背景直接來源于自然現(xiàn)象和工程技術(shù)中的實際問題[1]。這些物理學、力學、工程學、大氣科學等學科中的實際問題，經(jīng)常會提出大量的偏微分方程，反映了描述系統(tǒng)的未知函數(shù)關(guān)于時空變量的導數(shù)及其之間的制約關(guān)系，同時刻畫了物理現(xiàn)象和過程的基本規(guī)律。

該課程是以物理、工程技術(shù)和其他科學中出現(xiàn)的偏微分方程為主要研究對象，主要介紹求線性偏微分方程精確解方法的一門數(shù)學基礎(chǔ)課程[1]，在大學基礎(chǔ)課和專業(yè)課程中起到承前啟后的橋梁銜接作用。通過本課程的學習，學生應(yīng)知道如何將各種物理問題翻譯成數(shù)學的定解問題，并了解、掌握求解定解問題的若干方法，如行波法、分離變量法、傅里葉變換法、拉普拉斯變換法、數(shù)值差分法等，為學習以后的專業(yè)課，以及從事專業(yè)相關(guān)的科研和業(yè)務(wù)工作奠定基礎(chǔ)。

新時代對高等教育人才培養(yǎng)提出了新的要求，數(shù)學物理方法課程的教學也要適應(yīng)時代變化，體現(xiàn)新時代的特色。對此，已有許多教師探索了適應(yīng)新時代人才培養(yǎng)需求的教學改革，譬如引入實際專業(yè)問題、開展專業(yè)創(chuàng)新實驗、改革考試機制等，在有限學時內(nèi)實現(xiàn)理工各專業(yè)教學目的，形成了培養(yǎng)新工科人才和應(yīng)用型人才的新模式[2]，結(jié)合新工科教育理念，從教學內(nèi)容、教學方法、考核模式等方面提出了改革措施[3]，合理利用多媒體技術(shù)等新的教學手段[4]，側(cè)重計算機仿真的數(shù)學物理方程教學探索[5]。這些改革舉措為我們開展新時代數(shù)學物理方法教學提供了有益的借鑒。

一、存在的問題

筆者在廣東海洋大學（以下簡稱“我校”）承擔數(shù)學物理方法課程的教學任務(wù)已4年，教授的學生包括大氣科學、數(shù)學等專業(yè)學生400余人。在教學實踐中，筆者發(fā)現(xiàn)該課程的教學存在以下兩個較為典型的問題。

（一）基礎(chǔ)不牢，難學難教

高等院校教育教學改革過程中，因?qū)I(yè)結(jié)構(gòu)調(diào)整以及寬口徑人才培養(yǎng)的需要，本科專業(yè)人才培養(yǎng)方案不斷調(diào)整和優(yōu)化，理論課程被壓縮學時已成為較為普遍的現(xiàn)象[6]，于是在新的時期就出現(xiàn)了較多教學內(nèi)容和較少課內(nèi)學時的矛盾。而數(shù)學物理方法的課程特點就意味著，若學生沒有較為深厚的物理知識背景和較為豐富的數(shù)學知識積累，則很難在較短的課時內(nèi)掌握該課程的核心內(nèi)容，這也導致本課程被大家公認為大學本科階段教和學難度最高的課程之一[7]，“難教、難學”的評價在學生中廣泛流傳。這就導致學生在學習的過程中入門難度較大，學習勁頭不足。我校數(shù)學物理方法課程僅有56個學時，亦凸顯了此問題。

（二）內(nèi)容碎片，各自孤立

我校數(shù)學物理方法課程的教學內(nèi)容雖然不是太多，且盡量不涉及復變函數(shù)等知識，只是在基礎(chǔ)物理和高等數(shù)學范疇內(nèi)介紹三類基本方程及其經(jīng)典解法。三類基本方程各自描述了一類物理現(xiàn)象或過程，而且經(jīng)典的數(shù)學物理方法（如行波法、分離變量法、積分變換法、數(shù)值差分法等）又是針對不同的定解問題，有一定的獨立性。因此，在授課過程中，就有不少學生反映課程內(nèi)容呈現(xiàn)碎片化，似乎各成一個體系，孤立地存在。這對于學生掌握數(shù)學物理方法的整體理論體系并有針對性地將其應(yīng)用到實際案例中是極為不利的。即便是在較為注重基礎(chǔ)的期末考核中，也會出現(xiàn)學生張冠李戴，把不適用的求解方法套用到某個具體的定解問題中的現(xiàn)象，導致一步錯步步錯、結(jié)果與正確答案南轅北轍。究其原因就是學生沒有把各類方法有效地貫通起來，而僅僅是孤立地去學習或記憶單個方法，忽略了它們之間的連接。

二、教學改革嘗試

針對以上存在的問題，為了改善目前的教、學現(xiàn)狀，適應(yīng)新時代的人才培養(yǎng)要求，在有限的學時內(nèi)，既保持原有的教學內(nèi)容框架，又能體現(xiàn)“以本為本、體系教學”的特點，筆者在課程教學過程中進行了一些教學改革的探索，以期提升數(shù)學物理方法課程的教學質(zhì)量和效果。

（一）精心設(shè)計“入門第一課”

承擔過本科教學的教師都知道，作為“入門第一課”，緒論教學在整個課程教學中極為重要，是必不可少的教學環(huán)節(jié)。從教師的角度來說，緒論課對教師的要求很高，包括專業(yè)能力、教學水平、個人儀表和風范等方面的要求[8]；而從學生角度來說，緒論課也是學生最先接觸的部分，應(yīng)使學生在較短時間內(nèi)對課程有個整體的認識，了解課程背景、課程內(nèi)容、重點難點、考核要求等。因此，緒論課是真正的“入門第一課”。數(shù)學物理方法素有“難教、難學”的評價，我校開設(shè)的數(shù)理基礎(chǔ)課程也無法保證學生具備足夠扎實的數(shù)理基礎(chǔ)，因此能否上好這至關(guān)重要的“入門第一課”，直接決定了學生是否有信心完成本課程的學習。筆者在緒論課的教學實踐中采取了一些舉措，來提升緒論課的上課效果。

1.增加學時，打牢基礎(chǔ)

在課程教學大綱中，緒論部分一般為2個學時。本次課改，為了加強緒論課的地位、提升學生學習本課程的信心和興趣，筆者將緒論部分學時增加了1倍，達到4個學時。除了對傳統(tǒng)的課程架構(gòu)、內(nèi)容、要點、考核等進行介紹，還花更多時間用于復習高等數(shù)學的一些背景知識，對微分、積分、級數(shù)、常微分方程求解等進行了系統(tǒng)性的回顧。雖然只是對這些知識進行概覽性的介紹，但足以在學生心目中搭建起高等數(shù)學的理論架構(gòu)體系，使學生了解自己學習基礎(chǔ)中不太扎實的地方，也知道該如何進行針對性的復習。通過這樣的方法，打牢學生的數(shù)學基礎(chǔ)，為后續(xù)學習奠定基礎(chǔ)，使學生有信心完成課程。

2.明確地位，提升信心

本課程在數(shù)學和物理中的橋梁作用、在基礎(chǔ)課和專業(yè)課之間的橋梁地位是毋庸置疑的，這需要教師在緒論課上加以強調(diào)。而更值得一提的，或許也是更為有用的一點是這門課程還是國內(nèi)許多高校和科研院所的考研專業(yè)課之一，涉及專業(yè)如海洋科學、大氣科學、物理學、工程學等。我校學生大多有考研的志向，考研工作是歷年來學校工作的重中之重。因此，筆者在課堂上對國內(nèi)相關(guān)高校和科研院所將數(shù)學物理方法定為考研專業(yè)課的情況進行了綜述，并挑選了一些院校考研大綱，概括性地為學生做了介紹。很顯然，這是一個很多學生都比較關(guān)注的話題，在課后依然有許多學生咨詢相關(guān)信息。通過這種方法，增強了學生對這門課程的重視程度，學生了解了考研所涉及的考試要點，做到心中有數(shù)，顯著提升了學習這門課的決心。

3.問題導向，提高興趣

本課程之所以被認為“難教、難學”，很大一部分原因就在于數(shù)學公式的推導太多了，這是事實。然而，數(shù)學物理方程畢竟不是純粹的數(shù)學問題，它是有明確的物理背景的，因此在緒論課中就要明確本課程學習過程中應(yīng)當以實際問題為導向，把解決問題作為最終的目的，而數(shù)學公式的推導只是達成此目的的手段，再結(jié)合接下來要介紹的“串聯(lián)式”教學手段搭建起整體的課程內(nèi)容框架，將學生對本課程的認識提升到更高層次。站在課程整體架構(gòu)之上來看，學生目光就不再僅僅盯著數(shù)學公式了，而是明白了“解決問題”才是這門課的終極奧義。學生此時再去看那些公式，就不會有那么強烈的排斥心理了，知道這只是解決問題的過程而已，學習的興趣也就得到了提高。

（二）串聯(lián)教學法的探索與實踐

在實際的教學過程中，筆者經(jīng)常給學生畫如圖1所示的以求解問題為導向的流程示意圖。通常情況下，我們所面對的是“原問題”，想要求解之，得到“原解”，此直接求解過程我們稱之為“Solution A”。如果“Solution A”比較難，或者沒有頭緒，或者無法求解，那么我們就要換個思路，采用間接求解的方法，這就是由“原問題→Flow1→像問題→Solution B→像解→Flow2→原解”所描述的迂回的求解思路。圖1可以用來描繪本課程中許多的內(nèi)容，教師可根據(jù)不同的內(nèi)容進行不同的解讀。以下就按照解決問題的順序、思路展開討論。

1.問題導向，串聯(lián)實際（原問題）

實際的工程、技術(shù)、科學等問題，通常需要轉(zhuǎn)換為物理問題，然后利用物理原理翻譯為數(shù)學問題，進一步求解該數(shù)學問題，再將得到的數(shù)學結(jié)果翻譯成物理問題，即討論所得結(jié)果的物理意義。如圖1所示，“原問題”指的是實際的工程、技術(shù)、科學問題，經(jīng)過理想化假設(shè)、物理歸納、數(shù)學翻譯（Flow1），得到數(shù)學語言描述的定解問題（“像問題”），求解定解問題（Solution B）得到數(shù)學解（“像解”），再結(jié)合物理背景對數(shù)學解進行物理上的解釋和說明（Flow2），從而給出原問題的解（“原解”）。這個流程就明確了“問題導向”，將求解定解問題Solution B作為解決問題的途徑而非目的。學生通過對此流程圖的解析，也可以將“問題導向”作為學習本課程的根本遵循，不再孤立地看待數(shù)學物理方法，而是將其與實際問題串聯(lián)起來，這樣就使學習的意義更加清楚了。

2.物理描述，數(shù)學翻譯（Flow1）

得益于前人如牛頓等的貢獻，我們得以在經(jīng)典世界內(nèi)探討和分析許多實際問題。在教授物理描述時，教師通過與學生的課堂互動，綜合回顧、概覽教授了經(jīng)典物理中的物理現(xiàn)象、物理規(guī)律、物理模型等，如牛頓第二定律、能量守恒定律、熱傳導定律、胡克定律等，列舉和介紹提出這些定律的大師，將經(jīng)典物理中與本課程有關(guān)的碎片化內(nèi)容“串聯(lián)起來”，順便帶領(lǐng)學生進行了科學史的了解和學習。而教學數(shù)學翻譯也因?qū)W生掌握了物理規(guī)律，顯得簡單多了。因為數(shù)學物理方程就是物理規(guī)律的數(shù)學表達，它反映的是此點此時刻的物理量與其臨近點和臨近時刻物理量之間的聯(lián)系，體現(xiàn)在數(shù)學上就是常微分或偏微分方程，這些方程能夠描述一大類廣泛物理現(xiàn)象的共性。

3.泛定方程，初邊條件（像問題）

很多學生在掌握了物理規(guī)律的數(shù)學翻譯之后，可以很輕松地給出某一特定物理現(xiàn)象的數(shù)學方程，如波動方程、熱傳導方程、泊松方程。而基于“問題導向”，在實際的問題中，系統(tǒng)內(nèi)部的物理規(guī)律可以用這些方程來描述（稱為泛定方程），但這些微分方程一般有無窮多個解，在求解具體問題時還需要一些定解條件，這些定解條件就是對系統(tǒng)時間和空間的約束。比如，系統(tǒng)的初始狀態(tài)，需要初始條件給出；系統(tǒng)在邊界上的情況，則需要由邊界條件給出。因此，泛定方程和初邊值條件一起時，才能給出對一個具體問題的完整的數(shù)學描述。了解了它們之間的關(guān)系，學生才不會把泛定方程、定解條件視為零散的知識點，而是把定解問題作為一個整體，串聯(lián)著泛定方程、定解條件，以及與之相對應(yīng)的具體問題。

4.對癥下藥，方法為王（Solution B）

數(shù)學語言描述的定解問題的準確給出無疑是非常重要的，它是我們使用數(shù)學物理方法進行求解的基礎(chǔ)。有了定解問題，我們就可以根據(jù)具體的情況選擇合適的方法對其進行求解，此過程可稱之為“對癥下藥”。這里僅舉三例，使用圖1分別闡釋之。

行波法，亦稱為特征變換法，其思路也可以用圖1來描繪。對于雙曲型方程，進行自變量變換（特征變換，F(xiàn)low1），將方程化簡，對簡化的方程求通解（Solution B），然后對通解進行自變量的逆變換（Flow2），得到原方程的通解，再結(jié)合定解條件給出精確解。對于無限長弦振動的初值問題，通過此方法得到達朗貝爾公式，描述了初始擾動在空間無限傳播形成的“行波”。

分離變量法，又稱為傅里葉級數(shù)法，是解數(shù)學物理方程定解問題最常用和最基本的方法之一。它能夠求解相當多的定解問題，特別是對一些常見區(qū)域（有限區(qū)間、矩形域、圓域、長方體、球面、圓柱體等）上的混合問題和邊值問題。其基本思路也可以用圖1來描述，原問題是待求定解問題，通過變量分離（Flow1），變?yōu)槌Ｎ⒎址匠潭ń鈫栴}（本征值問題，“像問題”），求解本征值問題及其他常微分方程（Solution B），得到“像解”，然后進行變量分離的逆過程，合并起來、線性疊加（Flow2）、確定系數(shù)得到原問題的傅里葉級數(shù)解。對于有限長弦振動的初邊值問題，通過此方法得到駐波解，描述了無窮多列駐波的疊加效果，與行波法遙相呼應(yīng)。

積分變換法，包括傅里葉變換、拉普拉斯變換。用圖1的流程來描述積分變換法的步驟再恰當不過了?！霸瓎栴}”經(jīng)積分變換（Flow1）變?yōu)椤跋駟栴}”，對其進行求解（Solution B）得到“像解”，再經(jīng)積分變換的逆變換（Flow2）得到“原解”。其中傅里葉變換可以視為是將有限區(qū)間上的分離變量擴展到無限區(qū)間上，在滿足傅里葉積分定理的條件下，將級數(shù)解變?yōu)榉e分形式。而拉普拉斯變換則主要針對時域上的信號進行變換。

5.回眸一觀，豁然而解（Flow2）

通過選擇合適的數(shù)學物理方法，我們得到了定解問題的解（數(shù)學上的解析解或形式解）?；凇皢栴}導向”，我們的目的是解決實際問題，因此最后一步就是結(jié)合物理背景對這個數(shù)學語言的解進行物理上的解析，也就是需要我們“回眸一觀”，用物理語言將數(shù)學解描述出來，此時才算是達成我們的初衷：解決實際問題。

綜上，在教學過程中，筆者基于一張流程示意圖（圖1）串聯(lián)起了本課程的整體內(nèi)容框架，明確了“解決實際問題”的課程導向，堅持“串聯(lián)法”教學，使方程、定解條件、求解方法等不再是孤立存在的，而是密切聯(lián)系起來，彼此互為補充的。同時，這種教學方法在學生心目中形成了一個很重要的認知，那就是實現(xiàn)了“物理”與“數(shù)學”的串聯(lián)，這是基于“問題導向”而實現(xiàn)的非常重要的一點。

三、效果及展望

筆者在大氣科學和數(shù)學專業(yè)的數(shù)學物理方法課程中實施了本文所提到的“串聯(lián)式”教學方法。一個學期下來，根據(jù)反饋，學生對課程內(nèi)容框架和系統(tǒng)架構(gòu)方面的理解確實有所改善，尤其是求解方法（如行波法、分離變量法、積分變換法）不再是孤立的，而是彼此之間緊密聯(lián)系的，“碎片化”知識被成功地“串聯(lián)”起來。各種求解方法也不再僅僅是數(shù)學方法，而是結(jié)合“物理問題”，以問題為導向的針對性的解法。在課程考核中，筆者也有意地淡化了對求解方法的強調(diào)，而是更直觀地給出物理描述，考查學生是否能夠基于“串聯(lián)”起來的課程內(nèi)容框架，把物理問題翻譯歸納成數(shù)學語言描述的定解問題，然后根據(jù)初邊值條件，判斷使用哪種合適的求解方法進行求解，最后再對解進行物理上的解釋。考核結(jié)果證明，這種考核思路是可行的。

除此之外，本課程教研小組其他教師還針對課程考核的其他方面進行了改革，具體舉措包括：加強平時考核、半自動化考核系統(tǒng)開發(fā)、題庫建設(shè)等。

雖然“串聯(lián)式”教學改革有一定的成效，但其在教學過程中依然存在一些問題：

一是課程教學以板書為主，沒有有效發(fā)揮多媒體教學的優(yōu)勢。板書雖然促使大部分學生認真聽講并適當做筆記，但也有極少部分學生完全放棄，上課不聽或者干脆缺課。針對此問題，在未來的授課中，可適當使用多媒體技術(shù)，將一些方程和解進行可視化，結(jié)合物理背景，提升課程的趣味性和形象性。

二是課程內(nèi)容與其他專業(yè)課程的結(jié)合不夠。本課程的本質(zhì)是提供一種使用數(shù)學方法求解物理問題的視角和思路，因此筆者在后續(xù)同時承擔數(shù)學物理方法課程和流體力學課程的教學的時候，會將這兩門課的內(nèi)容進行一定程度的結(jié)合，從而加強物理背景、物理意義的探討。

［ 參 考 文 獻 ］

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[3］ 牟海寧.新工科背景下“數(shù)學物理方程”課程教學改革探索[J].科教文匯，2020（29）：65-66，72.

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［責任編輯：鐘 嵐］