聚焦核心素養(yǎng)關注數學應用考查關鍵能力

摘要：新高考對概率統(tǒng)計的考查更加關注數學的應用性.試題創(chuàng)設真實問題情境，理論聯系實際，聚焦核心素養(yǎng)，關注數學應用，突出理性思維，考查關鍵能力，發(fā)揮了選拔功能. 其中函數模型視角下的概率統(tǒng)計倍受關注，這類試題主要考查綜合應用概率、方程、函數等知識和方法解決實際問題的能力.

關鍵詞：新高考；函數模型；概率統(tǒng)計；核心素養(yǎng)；數學應用

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2022）28-0063-04

收稿日期：2022-07-05

作者簡介：楊曉（1986.7-），女，貴州省余慶人，碩士，中學一級教師，從事高中數學教學研究.

中國高考評價體系提出基礎性、應用性、綜合性、創(chuàng)新性考查要求，2021年新高考Ⅱ卷21題全面落實了這4個方面的考查要求，并在應用性上進行了重點探索.該題聚焦核心素養(yǎng)，關注數學應用，突出理性思維，考查關鍵能力，發(fā)揮了選拔功能. 該題屬于函數模型視角下的概率統(tǒng)計試題，其倡導理論聯系實際，學以致用，體現數學的應用價值.

1 真題研究

例題（2021年新高考Ⅱ卷） 一種微生物群體可以經過自身繁殖不斷生存下來.設一個這種微生物為第0代，經過一次繁殖后為第1代，再經過一次繁殖后為第2代，……，該微生物每代繁殖的個數是相互獨立的且有相同的分布列.設X表示1個微生物個體繁殖下一代的個數，P（X=i）=pi（i=0，1，2，3）.

（1）已知p0=0.4，p1=0.3，p2=0.2，p3=0.1，求E（X）.

（2）設p表示該種微生物經過多代繁殖后臨近滅絕的概率，p是關于x的方程p0+p1x+p2x2+p3x3=x的一個最小正實數根，求證：當E（X）≤1時，p=1；當E（X）>1時，p<1.

（3）根據你的理解，說明第（2）問結論的實際含義.

解析 （1）根據題意，E（X）=0×0.4+1×0.3+2×0.2+3×0.1=1.

（2）根據題意E（X）=p1+2p2+3p3.

設fx=p3x3+p2x2+p1-1x+p0，因為p3+p2+p1+p0=1，故f0=p0>0，f（1）=p3+p2+p1-1+p0=0.

f ′（x）=3p3x2+2p2x+p1-1，f ″（x）=6p3x+2p2>0，所以y=f ′（x）在（0，+）上單調遞增.

f ′（1）=3p3+2p2+p1-1=E（X）-1.

①若E（X）≤1，可得f ′（1）≤0.當x∈（0，1）時，f ′（x）<0，即f（x）在（0，1）上單調遞減.故x=1為f（x）的最小正零點，即p=1.

②若E（X）>1，可得f ′（1）>0.因為f ′（0）=p1-1<0，所以在（0，1）上，f ′（x）存在唯一零點，設為x0.

當x∈（0，x0）時，f ′（x）<0，f（x）在（0，x0）上單調遞減；當x∈（x0，1）時，f ′（x）>0，f（x）在（x0，1）上單調遞增.

故f（x）的最小零點在（0，x0）上，即p<1.

綜上所述，當E（X）≤1時，p=1；當E（X）>1時，p<1.

（3）實際含義：當1個微生物個體繁殖下一代的個數的期望值小于或等于1時，該種微生物經過多代繁殖后必然滅絕；當1個微生物個體繁殖下一代的個數的期望值大于1時，該種微生物經過多代繁殖后也不會滅絕.

注該題的第（1）問是隨機變量期望的直接計算.第（2）問是從函數的視角解決零點（方程的根）問題.第（3）問則是根據數據結果說明概率問題，屬于開放性問題，反映出該生物多代繁殖后，期望值越小，臨近滅絕的概率越大；期望越大，臨近滅絕的概率越小，與我們提倡的三胎政策相吻合.

2 變式訓練

函數模型視角下的概率統(tǒng)計試題創(chuàng)設真實問題情境，體現數學思想方法在解決實際問題中的價值和作用，考查利用數學工具解決實際問題的能力.再看下面三道變式題.

變式1（2022屆高三第一次八校聯考）元旦將至，學校文學社擬舉辦“品詩詞雅韻，看俊采星馳”的古詩詞挑戰(zhàn)賽.初賽階段有個人晉級賽和團體對決賽.個人晉級賽為“信息連線”題，每位參賽者只有一次挑戰(zhàn)機會.比賽規(guī)則為：電腦隨機給出錯亂排列的五句古詩詞和五條相關的詩詞背景（如詩詞題名、詩詞作者等），要求參賽者將它們一一配對，有三對或三對以上配對正確即可晉級.團體對決賽為“詩詞問答”題，為了比賽的廣泛性，要求以班級為單位，各班級團隊的參賽人數不少于30人，且參賽人數為偶數.為了避免答題先后的干擾，當一個班級團隊全體參賽者都答題完畢后，電腦會依次顯示各人的答題是否正確，并按比賽規(guī)則裁定該班級團隊是否挑戰(zhàn)成功.參賽方式有如下兩種，各班可自主選擇其中之一參賽.

方式一：將班級團隊選派的2n個人平均分成n組，每組2人.電腦隨機分配給同一組兩個人一道相同的試題，兩人同時獨立答題，若這兩人中至少有一人回答正確，則該小組闖關成功.若這n個小組都闖關成功，則該班級團隊挑戰(zhàn)成功.

方式二：將班級團隊選派的2n個人平均分成2組，每組n人.電腦隨機分配給同一組n個人一道相同的試題，各人同時獨立答題，若這n個人都回答正確，則該小組闖關成功.若這兩個小組至少有一個小組闖關成功，則該班級團隊挑戰(zhàn)成功.

（1）甲同學參加個人晉級賽，他對電腦給出的五組信息有且只有一組能正確配對，其余四組都只能隨機配對，求甲同學能晉級的概率；

（2）在團體對決賽中，如果你班每位參賽的同學對給出的試題回答正確的概率均為常數p（0< p<1），為使本班團隊挑戰(zhàn)成功的可能性更大，應選擇哪種參賽方式？說明你的理由.

解析（1）設甲同學正確配對3對為事件A，正確配對5對為事件B，甲同學能晉級為事件C，則C=A+B，且A，B互斥.因為甲同學只有一組能正確配對，其余四組都隨機配對，則P（A）=C24A44=14，P（B）=1A44=124.從而P（C）=P（A）+P（B）=14+124=724，所以甲同學能晉級的概率為724.

（2）設選擇方式一、二的班級團隊挑戰(zhàn)成功的概率分別為P1，P2.

當選擇方式一時，因為兩人都回答錯誤的概率為（1-p2），則兩人中至少有一人回答正確的概率為1-（1-p）2.所以P1=［1-（1-p）2］n=pn（2-p）n.

當選擇方式二時，因為一個小組闖關成功的概率為pn，則一個小組闖關不成功的概率為1-pn，所以P2=1-（1-pn）2=pn（2-pn）.

所以P1-P2=pn（2-p）n-pn（2-pn）=pn［（2-p）n+pn-2］.

設f（n）=（2-p）n+pn-2，則

f（n+1）-f（n）=（2-p）n+1+pn+1-（2-p）n-pn

=（2-p）n（1-p）+pn（p-1）

=（1-p）［（2-p）n-pn］.

因為00，2-p>1，從而（2-p）n>1，pn<1，所以f（n+1）-f（n）>0，即f（n+1）>f（n），所以f（n）單調遞增.

因為f（2）=（2-p）2+p2-2=2p2-4p+2=2（p-1）2>0，則當n≥15時，f（n）>0，從而P1-P2>0. 即P1>P2.

所以為使本班挑戰(zhàn)成功的可能性更大，應選擇方式一參賽.

變式2（2022屆廣州市高三調研）某校開展“學習中國史”的主題學習活動. 為了調查學生對新中國史的了解情況，需要對學生進行答題測試，答題測試的規(guī)則如下：每位參與測試的學生最多有兩次答題機會，每次答一題，第一次答對，答題測試過關，得5分，停止答題測試；第一次答錯，繼續(xù)第二次答題，若答對，答題測試過關，得3分；若兩次均答錯，則答題測試不過關，得0分. 某班有12位學生參與答題測試，假設每位學生第一次和第二次答題答對的概率分別為m，0.5，兩次答題是否答對互不影響，每位學生答題測試過關的概率為p.

（1）若m=0.5，求每一位參與答題測試的學生所得分數的數學期望；

（2）設該班恰有9人答題測試過關的概率為f（p），當f（p）取最大值時，求p，m.

解析（1）設每一位參與答題測試的學生所得分數為隨機變量X，則X的可能取值為5，3，0. 則

P（X=5）=0.5，P（X=3）=（1-0.5）×0.5=0.25，P（X=0）=（1-0.5）（1-0.5）=0.25.

故每一位參與答題測試的學生所得分數的數學期望為

E（X）=5×0.5+3×0.25+0×0.25=3.25.

（2）由題意得f（p）=C912p9（1-p）3（0

則f ′（p）=C912［9p8（1-p）3-3p9（1-p）2］

=3C912p8（1-p）2（3-4p）.

由f ′（p）=0，得p=0.75；由f ′（p）>0，得0

所以p=0.75是f（p）的極大值點，也是f（p）的最大值點.

由題意得p=1-（1-m）（1-0.5）=0.5+0.5m，所以0.5+0.5m=0.75，解得m=0.5.

所以f（p）取得最大值時，p=0.75，m=0.5.

變式3（2021年山東省廣饒市）為落實立德樹人根本任務，堅持五育并舉全面推進素質教育，某學校舉行了乒乓球比賽，其中參加男子乒乓球決賽的12名隊員來自3個不同校區(qū)，三個校區(qū)的隊員人數分別是3，4，5.本次決賽的比賽賽制采取單循環(huán)方式，即每名隊員進行11場比賽（每場比賽都采取5局3勝制），最后根據積分選出最后的冠軍.積分規(guī)則如下：比賽中以3∶0或3∶1取勝的隊員積3分，失敗的隊員積0分；而在比賽中以3∶2取勝的隊員積2分，失敗的隊員積1分.已知第10輪張三對抗李四，設每局比賽張三取勝的概率均為p0

（1）比賽結束后冠亞軍恰好來自不同校區(qū)的概率是多少？

（2）第10輪比賽中，記張三3∶1取勝的概率為fp.

①求出fp的最大值點p0；

②若以p0作為p的值，這輪比賽張三所得積分為X，求X的分布列及期望.

解析（1）比賽結束后冠亞軍恰好來自不同校區(qū)的概率是p=C13C14+C14C15+C13C15C212=4766.

（2）①由題可知fp=C23p31-p=3p31-p，

f ′p=33p21-p+p3×-1

=3p23-4p，

令f ′p=0，得p=34，

當p∈0，34時，f ′p>0，則fp在0，34上單調遞增；

當p∈34，1時，f ′p<0，則fp在34，1上單調遞減.

所以fp的最大值點p0=34.

②X的可能取值為0，1，2，3.

PX=0=1-p3+C13p1-p3

=1-343+C13×34×1-343=13256；

PX=1=C24p21-p3

=C24×（34）2×1-343=27512；

PX=2=C24p21-p2p

=C24（34）2×1-342×34=81512；

PX=3=p3+pC23p21-p

=（34）3+C23（34）2×1-34×34=189256.

所以X的分布列為

X0123P

132562751281512189256

X的期望為EX=0×13256+1×27512+2×81512+3×189256=1323512.

3 復習備考建議

函數模型視角下的概率統(tǒng)計試題創(chuàng)設真實問題情境，理論聯系實際，聚焦核心素養(yǎng)，關注數學應用，突出理性思維，考查關鍵能力，發(fā)揮了選拔功能.我們從以下三點來談談在高三的復習備考中如何突破這一類試題.

3.1 注重對歷年高考真題的研究

高考真題是高考命題專家智慧的結晶，很經典而且具有很好的代表性和預見性，是高三復習必備的素材.例如2018年全國Ⅰ卷理科第20題，2017年全國Ⅲ卷理科第18題，2016年全國Ⅰ卷理科第18題，2012年全國課標卷理科第18題等都是以生活實際問題為背景，考查函數思想在概率統(tǒng)計中的應用.熟悉這些高考真題，對解決新的概率問題具有很好的借鑒與指導意義.

3.2 掌握概率的相關知識與函數知識

要做好一道綜合題，需要掌握很多的知識與思想方法.要解決一道與函數模型有關的概率統(tǒng)計題，則需要掌握古典概型、概率分布（超幾何分布、二項分布和正態(tài)分布）、隨機事件的概率計算與數學期望、互斥事件與對立事件的概率計算等.此外還需掌握作差法比較兩個數的大小，利用導數求函數的單調性、極值與最值等.3.3 聚焦核心素養(yǎng)，關注數學應用.

新高考對概率統(tǒng)計試題的考查更加關注數學的應用性，注重結合生活實際，創(chuàng)設真實問題情境，考查數學核心素養(yǎng)與關鍵能力，同時也綜合考查了高中數學常見的數學思想方法.

作為一線教師，在平時的教學尤其是在高三的復習備考中，千萬不能忽略對學生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，同時也要培養(yǎng)學生綜合應用概率、方程、函數等知識和方法解決實際問題的能力，這樣才能適應新高考.

參考文獻：

［1］彭海燕，張瑞.概率統(tǒng)計的秘密[M].杭州：浙江大學出版社，2021.

[2] 李鴻昌，楊春波，程漢波.高中數學一點一題型[M].合肥：中國科學技術大學出版社，2021.