對一道系數(shù)和為定值試題的探究

摘要：本文對一道江蘇地區(qū)高三期中測試中的向量系數(shù)和為定值問題進(jìn)行了解法探究，推廣得到了橢圓中的一般性結(jié)論，并將相關(guān)結(jié)果引申到了雙曲線和拋物線中，最后變換視角進(jìn)行了拓展探究.

關(guān)鍵詞：系數(shù)和；定值；探究；橢圓；雙曲線

中圖分類號：G632文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1008-0333（2022）28-0019-04

收稿日期：2022-07-05

作者簡介：高繼浩（1987-），男，四川省天全人，碩士，中學(xué)一級教師，從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

1 試題呈現(xiàn)

題目（2021年10月江蘇地區(qū)高三上學(xué)期期中測試）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1a>b>0的離心率為22，短軸一個端點到右焦點F的距離為2.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過點F的直線l交橢圓于A，B兩點，交y軸于點P，設(shè)PA=λ1AF，PB=λ2BF，試判斷λ1+λ2是否為定值？請說明理由.2 解法探究

易得試題第（1）問橢圓方程為x22+y2=1，下面解答第（2）問.

視角1（設(shè)線法）設(shè)出直線l的方程并與橢圓方程聯(lián)立，通過向量關(guān)系將λ1，λ2用兩根表示，再借助韋達(dá)定理求解.

解法1（正設(shè)直線）顯然直線l的斜率存在，F(xiàn)1，0，設(shè)Ax1，y1，Bx2，y2，直線l的方程為y=kx-1，與橢圓方程聯(lián)立消去y，得

1+2k2x2-4k2x+2k2-2=0.

由韋達(dá)定理，得

x1+x2=4k21+2k2，x1x2=2k2-21+2k2.

而P0，-k，則

PA=x1，y1+k，AF=1-x1，-y1.

由PA=λ1AF，得x1=λ11-x1.

即λ1=x11-x1.

同理可得λ2=x21-x2.

故λ1+λ2=x11-x1+x21-x2

=x1+x2-2x1x21-x1+x2+x1x2

=4k21+2k2-4k2-41+2k21-4k21+2k2+2k2-21+2k2=-4.

解法2（反設(shè)直線）易知F1，0.當(dāng)直線l的斜率不為零時，設(shè)Ax1，y1，Bx2，y2，直線l的方程為x=my+1m≠0.

與橢圓方程聯(lián)立消去x，得

m2+2y2+2my-1=0.

由韋達(dá)定理，得

y1+y2=-2mm2+2，y1y2=-1m2+2.

而P0，-1m，則PA=x1，y1+1m，AF=1-x1，-y1.

由PA=λ1AF，得

y1+1m=-λ1y1.

即λ1=-my1+1my1.

同理可得λ2=-my2+1my2.

故λ1+λ2=-my1+1my1-my2+1my2=-y1+y2+2my1y2my1y2

=--2mm2+2-2mm2+2-mm2+2=-4.

當(dāng)直線l的斜率為零時，設(shè)A-2，0，

B2，0，而P0，0，則PA=-2，0， AF=1+2，0.

由PA=λ1AF，得λ1=-21+2=2-2.

同理可得λ2=-2-2.

故λ1+λ2=-4.

綜上，λ1+λ2=-4.

視角2（代點法）直接設(shè)出A，B，P三點的坐標(biāo)，通過向量關(guān)系解出A，B兩點的坐標(biāo)并代入橢圓方程，再借助韋達(dá)定理求解.

解法3易知F1，0.設(shè)Ax1，y1，Bx2，y2，P0，n，則

PA=x1，y1-n，AF=1-x1，-y1.

由PA=λ1AF，得

x1=λ11-x1，y1-n=-λ1y1.

顯然λ1≠-1，故x1=λ11+λ1，y1=n1+λ1.

代入橢圓方程，得

λ21+4λ1+2-2n2=0.

同理可得

λ22+4λ2+2-2n2=0.

所以λ1，λ2是關(guān)于x的方程x2+4x+2-2n2=0的兩根，故λ1+λ2=-4.

視角3（參數(shù)法）借助橢圓參數(shù)方程設(shè)出A，B兩點的坐標(biāo)，通過向量關(guān)系得到參數(shù)關(guān)系，再利用和差化積與積化和差公式求解.

解法4易知F1，0.設(shè)A2cosα，sinα，B2cosβ，sinβ，P0，n，則

PA=2cosα，sinα-n，AF=1-2cosα，-sinα.

由PA=λ1AF，得

2cosα=λ11-2cosα.

即λ1=2cosα1-2cosα.

同理可得λ2=2cosβ1-2cosβ.

故λ1+λ2=2cosα1-2cosα+2cosβ1-2cosβ

=2cosα+cosβ-4cosαcosβ1-2cosα+cosβ+2cosαcosβ.

因為BF=1-2cosβ，-sinβ，A，B，F(xiàn)三點共線，

所以-sinβ1-2cosα=-sinα1-2cosβ.

即sinα-sinβ=2sinα-β.

故cosα+β2=2cosα-β2.

所以cosαcosβ=12cosα+β+cosα-β

=122cos2α+β2+2cos2α-β2-2

=3cos2α-β2-1，

cosα+cosβ=2cosα+β2cosα-β2

=22cos2α-β2.

故λ1+λ2=4-8cos2α-β22cos2α-β2-1=-4.

3 推廣引申

將試題第（2）問進(jìn)行一般化推廣得到：

命題1已知F為橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦點，過點F的直線交橢圓于A，B兩點，交y軸于點P，若PA=λ1AF，PB=λ2BF，則λ1+λ2=2e2-1（其中e為橢圓的離心率）.

前面的四個解法中，解法3較為簡潔，下用此法證明命題1.

證明設(shè)Ax1，y1，Bx2，y2，P0，n，F(xiàn)c，0，則

PA=x1，y1-n，AF=c-x1，-y1.

由PA=λ1AF，得

x1=λ1c-x1，y1-n=-λ1y1.

顯然λ1≠-1，故x1=λ1c1+λ1，y1=n1+λ1.

代入橢圓方程，得

b4λ21+2a2b2λ1+a2b2-n2=0.

同理可得

b4λ22+2a2b2λ2+a2b2-n2=0.

所以λ1，λ2是關(guān)于x的方程b4x2+2a2b2x+a2b2-n2=0的兩根.

故

λ1+λ2=-2a2b2b4=2e2-1.

將命題1中右焦點改為x軸上一點后得到：

命題2已知橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0和點Eta，0t≠0，t≠±1，過點E的直線交橢圓于A，B兩點，交y軸于點P，若PA=λ1AE，PB=λ2BE，則λ1+λ2=2t2-1.

將命題1、命題2引申到雙曲線中，得到：

命題3已知F為雙曲線x2a2-y2b2=1a>0，b>0的右焦點，過點F的直線交雙曲線于A，B兩點，交y軸于點P，若PA=λ1AF，PB=λ2BF，則λ1+λ2=2e2-1（其中e為雙曲線的離心率）.

命題4已知雙曲線x2a2-y2b2=1a>0，b>0和點Eta，0t≠0，t≠±1，過點E的直線交雙曲線于A，B兩點，交y軸于點P，若PA=λ1AE，PB=λ2BE，則λ1+λ2=2t2-1.

命題2至4的證明過程與命題1類似，略.

在拋物線中有：

命題5已知拋物線y2=2pxp>0和點Et，0t≠0，過點E的直線交拋物線于A，B兩點，交y軸于點P，若PA=λ1AE，PB=λ2BE，則λ1+λ2=-1.

證明設(shè)Ax1，y1，Bx2，y2，P0，n，則

PA=x1，y1-n，AE=t-x1，-y1.

由PA=λ1AE，得

x1=λ1t-x1，y1-n=-λ1y1.

顯然λ1≠-1，故x1=λ1t1+λ1，y1=n1+λ1.

代入拋物線方程，得

2ptλ21+2ptλ1-n2=0.

同理可得

2ptλ22+2ptλ2-n2=0.

所以λ1，λ2是關(guān)于x的方程2ptx2+2ptx-n2=0的兩根，故λ1+λ2=-2pt2pt=-1.

4 對偶拓展

受文[1]啟發(fā)，將命題2和命題4中點E的位置改為y軸上，分別得到：

命題6已知橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0和點E0，tbt≠0，t≠±1，過點E的直線交橢圓于A，B兩點，交x軸于點P，若PA=λ1AE，PB=λ2BE，則λ1+λ2=2t2-1.

證明設(shè)Ax1，y1，Bx2，y2，Pm，0，則

PA=x1-m，y1，AE=-x1，tb-y1.

由PA=λ1AE，得

x1-m=-λ1x1，y1=λ1tb-y1.

顯然λ1≠-1，

故x1=m1+λ1，y1=λ1tb1+λ1.

代入橢圓方程，得

a21-t2λ21+2a2λ1+a2-m2=0.

同理可得

a21-t2λ22+2a2λ2+a2-m2=0.

所以λ1，λ2是關(guān)于x的方程a21-t2x2+2a2x+a2-m2=0的兩根.

故

λ1+λ2=-2a2a21-t2=2t2-1.

命題7已知雙曲線x2a2-y2b2=1a>0，b>0和點E0，tbt≠0，過點E的直線交雙曲線于A，B兩點，交x軸于點P，若PA=

λ1AE，PB=λ2BE，則λ1+λ2=-2t2+1.

命題7的證明過程與命題6類似，略.

5 方法運用

我們對命題的證明采用了前面的解法3進(jìn)行，借助同構(gòu)方程思想使得問題的解決過程簡潔明了，運算量小.下面給出兩個變式練習(xí)題，供參考.

練習(xí)1過橢圓x24+y23=1右焦點F的直線交橢圓于A，B兩點，交直線x=4于點P，若PA=λ1AF，PB=λ2BF，求證：λ1+λ2為定值.

證明易知F1，0，設(shè)Ax1，y1，Bx2，y2，P4，n，則

PA=x1-4，y1-n，AF=1-x1，-y1.

由PA=λ1AF，得

x1-4=λ11-x1，y1-n=-λ1y1.

顯然λ1≠-1，

故x1=4+λ11+λ1，y1=n1+λ1.

代入橢圓方程，得9λ21-4n2-36=0.

同理可得9λ22-4n2-36=0.

所以λ1，λ2是關(guān)于x的方程9x2-4n2-36=0的兩根.

故λ1+λ2=0.

練習(xí)2過x軸上一點E（異于原點）的直線交拋物線x2=4y于A，B兩點，交y軸于點C，若EA=λ1EC，EB=λ2EC，求λ1·λ2的值.

解析設(shè)Et，0t≠0，Ax1，y1，Bx2，y2，C0，n，則

EA=x1-t，y1，EC=-t，n.

由EA=λ1EC，得

x1-t=-λ1t，y1=λ1n.

代入拋物線方程，得

t2λ21-2t2+2nλ1+t2=0.

同理可得t2λ22-2t2+2nλ2+t2=0.

所以λ1，λ2是關(guān)于x的方程t2x2-2t2+2nx+t2=0的兩根.

故λ1·λ2=1.

參考文獻(xiàn)：

［1］高繼浩.探究一道斜率之比為定值的聯(lián)考試題[J].數(shù)學(xué)通訊，2021（19）：36-37.

[2] 高繼浩.揭開“蝴蝶”的面紗——對一道2021年重慶市預(yù)賽題的探究[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，2021（06）：30-32.