高中階段的排列組合問題

摘要：計數(shù)原理是數(shù)學(xué)研究的重要問題之一，更是高考中的?？?本文將對排列組合問題的一些常見題型以及其相應(yīng)的解題策略進(jìn)行比較全面的總結(jié).

關(guān)鍵詞：計數(shù)原理；排列；組合；高考；解題策略

中圖分類號：G632文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1008-0333（2022）28-0095-03

收稿日期：2022-07-05

作者簡介：梁佳殷（1999-），男，黑龍江省齊齊哈爾人，碩士研究生，從事高中數(shù)學(xué)解題研究.

1 特殊元素和特殊位置

這類問題的主要特征是具有特殊元素或者特殊位置.這時我們應(yīng)優(yōu)先安排它們的位置.

例1由0，1，2，3，4，5可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)？

解析題目要求組成四位奇數(shù)，則末位只能是1，3，5其中一個，且0不能在首位出現(xiàn)，所以優(yōu)先考慮末位和首位.末位共有C13種，除去末位數(shù)字和0，首位只能從剩余4個數(shù)字中選擇一個，共有C14種，最后是中間兩位，從剩余的4個數(shù)字中選擇兩個，且其順序會對結(jié)果造成影響，共有A24種，由分步乘法計數(shù)原理求出答案為C13C14A24=144.

2 元素之間相鄰

這類問題的主要特征是有某幾個元素必須相鄰.這時我們先將它們捆綁在一起，視為一個元素，先求捆綁外部的排列，再求捆綁內(nèi)部的排列，稱為捆綁法.

例2A，B，C，D，E，F(xiàn)，G七個人站在一排拍照，其中A，B，E三人想站在一起，D，G二人想站在一起，求一共有多少種不同的站法？

解析A，B，E三人想站在一起，D，G二人想站在一起，故將A，B，E三人捆綁在一起視作一個新的元素，將D，G二人捆綁在一起也視作一個新的元素，先求捆綁外部的排列，即ABE，DG，C，F(xiàn)四個元素進(jìn)行排列，共A44種站法，再求捆綁內(nèi)部的排列，A，B，E三人共A33種站法，D，G二人共A22種站法，由分步乘法計數(shù)原理可得，共有A44A33A22=288種站法.

3 元素之間不相鄰

這類問題的主要特征是有某幾個元素必須不相鄰.這時我們可以先將沒有特殊要求的元素進(jìn)行排列，再將必須不相鄰的元素進(jìn)行插空，稱為插空法.

例3（改自2021年理科甲卷10）將4個1和2個0隨機(jī)排成一行，若2個0不相鄰，共有多少種不同的排法？

解析2個0不相鄰，則選用插空法.先將4個1進(jìn)行排列，其順序并不影響結(jié)果，共有1種排法，再將2個0進(jìn)行插空，四個元素五個空，其順序也不影響結(jié)果，共有C25種排法，由分步乘法計數(shù)原理可得，共有C25=10種不同的排法.

4 元素之間順序固定

這類問題的主要特征是有某幾個元素的前后順序固定，這時我們共有三種做法.其一，先將其他元素安排進(jìn)空位中，再考慮順序固定的幾個元素；其二，先將順序固定的幾個元素列出，用其他元素進(jìn)行插空；其三，對所有元素進(jìn)行全排列，再除去順序固定元素的排列數(shù).

例4學(xué)校迎新晚會共有A，B，C，D，E，F(xiàn)，G七個節(jié)目，考慮到節(jié)目效果，節(jié)目G必須在節(jié)目A之前，節(jié)目A必須在節(jié)目D之前，求一共能安排多少種不同的節(jié)目順序？

解法1先將其他元素安排進(jìn)空位中，即先將B，C，E，F(xiàn)安排進(jìn)7個空位中，共A47種排法，再考慮順序固定的幾個元素，現(xiàn)在只剩下3個空位，且A，D，G三個節(jié)目的順序固定，只有1種排法，由分步乘法計數(shù)原理可得，共有A47×1=840種不同的節(jié)目順序.

解法2先將順序固定的幾個元素列出，由于其順序固定，只有1種排法，即GAD，再將剩余的4個元素進(jìn)行插空，放入第一個元素時有4個空位，放入第二個元素時有5個空位，放入第三個元素時有6個空位，放入第四個元素時有7個空位，由分步乘法計數(shù)原理可得，共有1×4×5×6×7=840種不同的節(jié)目順序.

解法3先對所有元素進(jìn)行全排列，7個不同的元素，共有A77種排法，再除以順序固定元素的排列數(shù)，已知A，D，G三個節(jié)目的先后順序固定，而在全排列中，考慮了它們?nèi)齻€的排列順序問題，故用全排列數(shù)A77除以A，D，G三個節(jié)目的排列數(shù)A33得出結(jié)果為840種.

5 分配問題

這類問題的主要特征是將元素分配到不同的位置中，且每個位置要求至少有幾個元素.這時我們先按照要求進(jìn)行選擇，再進(jìn)行分配.

例5將5名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個項目進(jìn)行培訓(xùn)，每名志愿者只分配到1個項目，每個項目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（）.

A.60種B.120種C.240種D.480種

解析4個位置5個人，且每個位置至少1人，則其中必有一個位置有2個人，故先選擇出2個人分為一組，共有C25種方法，再將4組分配到4個位置上，由于其順序會影響結(jié)果，則共有A44種分配方法，由分步乘法計數(shù)原理可得，共有C25A44=240種，故選C.

6 分組問題

這類問題的主要特征是將元素進(jìn)行分組，且對每組的數(shù)量有要求.這時我們先按照題目要求進(jìn)行分組，再除以組數(shù)的全排列Ann（n為要求數(shù)量相同的組數(shù)）.

例6將A，B，C，D，E，F(xiàn)，G七個人分為3組，一組3個人，另外兩組2個人，求共有多少種分法？

解析7個人分為人數(shù)為2，2，3的三組，先按要求進(jìn)行選人分組，共有C37C24C22種分法，由于有兩組同為2人的分組，故再除以A22，得出結(jié)果共有C37C24C22A22=105種分法.

7 元素相同問題

這類問題的主要特征是元素之間沒有任何區(qū)別，再將它們進(jìn)行分組，且每組至少一個元素.這時我們先將全部元素列出，以插板的方式將其分組，即用（m-1）個隔板將全部n個相同元素分為m段，稱為隔板法.

例7把10個相同的小球放入7個不同的盒子中，每個盒子至少放1個球，共有幾種不同的放法？

解析10個小球完全相同，先將它們排成一排，由于小球完全相同，共有1種排法，再用6個隔板插在它們中間的9個空之中，分為7組，則共有C69=84種不同的放法.

8 復(fù)雜問題

之所以稱為復(fù)雜問題，是因?yàn)檫@類問題一般都不太容易理解，給的條件很復(fù)雜，學(xué)生在遇到這種題后第一反應(yīng)一般是分類，就很容易出現(xiàn)多算、漏算的現(xiàn)象.這時我們可以將問題轉(zhuǎn)化為上述7類問題中的一種便于解答.

例8現(xiàn)有排成一排的十把椅子，若A，B，C，D四人都要入座，且每個人的左右兩邊都想留有一個空位，則一共有多少種不同的坐法？

解析4個人10把椅子，每個人身邊都要留有空位，我們不妨將問題轉(zhuǎn)化成“現(xiàn)有排成一排的6個空位，A，B，C，D每人帶著一把椅子排入其中，且他們之間互不相鄰，共有多少種坐法？”.對于這樣的不相鄰問題，我們就可以選擇插空法，6個椅子之間5個空，由于其順序會影響結(jié)果，則共有A45=120種坐法，復(fù)雜的問題就得到了解決.

9 分情況討論問題

這應(yīng)該是學(xué)生最喜歡的一類問題，沒有什么特殊的技巧和解法，僅是討論各種可能的情況就能夠得出答案.

例9現(xiàn)要求在4名男生和3名女生中選擇4人作為班會的主持人，且要求必須有男生也有女生，求有多少種不同的選法？

解析這是一道很常見的需要討論的問題.需要4人，且既要有男生又要有女生，我們可以分為3男1女、2男2女、1男3女三種情況.由分步乘法計數(shù)原理可得，3男1女共C34C13=12種選法，2男2女共C24C23=18種情況，1男3女共C14C33=4種情況，再由分類加法計數(shù)原理可得，共12+18+4=34種不同的選法.

注：有時運(yùn)用窮舉法或者畫樹狀圖的方式，可能會得到意想不到的效果.

10 染色問題

染色問題是一種復(fù)雜的分情況討論問題，做法一般是先選擇其中一個位置，再跳格進(jìn)行討論.

圖1例10如圖1，一環(huán)形花壇分成A，B，C，D四塊，現(xiàn)有4種不同的花供選種，現(xiàn)在要求在花壇的每一塊都要種且只能種1種花，且相鄰的2塊所種的花顏色不能相同，則不同的種法總數(shù)為.

解析我們可以按照使用花種類的數(shù)量進(jìn)行分類，分為用2種、用3種和用4種.用2種顏色的情況為A，C同色且B，D同色，共有A24=12種種法；用3種顏色的情況為A，C同色或B，D同色，共有2×A34=48種種法；用4種顏色的情況為A，B，C，D互不同色，共有A44=24種種法.由分類加法計數(shù)原理可得，共有12+48+24=84種不同的種法.

這類問題也存在著通解，若一個圓被分為n個扇形，想用m種不同的顏色進(jìn)行染色，每個小扇形只能染一種顏色且相鄰的兩個扇形顏色不能相同，則其共有（m-1）n+（-1）n（m-1）種不同的染色方法.

排列組合這一節(jié)對學(xué)生的數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等核心素養(yǎng)要求較高，但只要多加練習(xí)，能夠認(rèn)準(zhǔn)題型并熟練運(yùn)用對應(yīng)的方法，注意細(xì)節(jié)，就可以輕松解決.

參考文獻(xiàn)：

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［3］ 吳高妙.計數(shù)原理常用解題策略[J].中學(xué)生數(shù)理化（高考數(shù)學(xué)），2021（11）：35-36.