突出主干知識，強(qiáng)化核心素養(yǎng)

欒功 黎福慶

【摘 要】文章以2022年全國新高考I卷數(shù)學(xué)試題為例，分析試題命題特點(diǎn)與意圖，提出以考促教，助力教學(xué)方式變革；以生為本，突破數(shù)學(xué)運(yùn)算瓶頸；以減增質(zhì)，重視關(guān)鍵能力提升的新高考備考建議。

【關(guān)鍵詞】新高考I卷；數(shù)學(xué)試題；核心素養(yǎng)；主干知識

2022年教育部教育考試院命制了6套高考試卷，其中全國新高考I卷數(shù)學(xué)試題供廣東、福建、湖北等7個(gè)省份使用，試題基于《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱新課標(biāo)）和《中國高考評價(jià)體系》，依據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)質(zhì)量水平要求和“四層”“四翼”的考查要求，對引導(dǎo)教學(xué)和服務(wù)選才提出了新的要求。筆者以2022年全國新高考I卷數(shù)學(xué)試題為例，分析試題命題特點(diǎn)與意圖，以期為教師教學(xué)提供參考。

一、試題特點(diǎn)

1.試卷結(jié)構(gòu)趨于穩(wěn)定，“四層”“四翼”有機(jī)融合

隨著高考改革的不斷深入，新高考數(shù)學(xué)試卷結(jié)構(gòu)基本趨于穩(wěn)定，以8道單選題、4道多選題和6道解答題構(gòu)成，試題內(nèi)容融必備知識、關(guān)鍵能力、核心素養(yǎng)的考查為一體，例如試卷第1，2，3，5，9，13，14，17，19題考查基本概念、基本方法，第11，18，20題深入考查解決相關(guān)問題的通性通法，第7，12題綜合考查函數(shù)、方程、不等式問題，第4題以我國重大建設(shè)成就南水北調(diào)工程為情境考查學(xué)生直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)。整體來看，試題對“四層”“四翼”進(jìn)行有機(jī)融合，在強(qiáng)化基礎(chǔ)性和綜合性的同時(shí)體現(xiàn)對創(chuàng)新性和應(yīng)用性的考查。

2.模塊占比穩(wěn)中有變，主干知識更加突出

通過對2020年山東卷，以及2021 — 2022年全國新高考I卷的模塊占比比較分析（如圖1），發(fā)現(xiàn)2022年新高考I卷中六大基本模塊共計(jì)135分，占比達(dá)到90％。試題對主干知識的考查逐年增加，其中函數(shù)與導(dǎo)數(shù)所占比例從2020年的14％增加到2022年的21％，立體幾何從15％增加到18％左右，解析幾何穩(wěn)定在18％。主干知識的考查更加突出，這與新課程改革和對學(xué)生關(guān)鍵能力的考查要求相吻合。因此，教師在教學(xué)中應(yīng)引起重視。

3.服務(wù)高校人才選拔，核心素養(yǎng)凸顯水平

學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)是以本學(xué)科核心素養(yǎng)及其表現(xiàn)水平為主要維度，結(jié)合課程內(nèi)容，對學(xué)生學(xué)業(yè)成就表現(xiàn)的總體刻畫。依據(jù)喻平教授對數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)3個(gè)水平的劃分，筆者繪制了2022年新高考I卷考查的各個(gè)核心素養(yǎng)水平分布表（見表1）。從橫向看，在高考試題的考查中更凸顯數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象、直觀想象核心素養(yǎng)，即試題更注重考查學(xué)生的關(guān)鍵能力和思維品質(zhì)，以更精準(zhǔn)地服務(wù)高校選才。從縱向看，水平1和水平2共占85％，水平3占15％，符合數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)質(zhì)量水平與高考考試評價(jià)的要求。值得關(guān)注的是，數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)質(zhì)量水平3占15％，達(dá)到自主招生與各省市競賽水平的要求。核心素養(yǎng)的凸顯和對數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)質(zhì)量水平3考查比例的增大也是學(xué)生普遍反映試題偏難的原因之一，這也是新高考的變化，即重視學(xué)生關(guān)鍵能力和核心素養(yǎng)的考查。

二、試題評析

1.設(shè)置現(xiàn)實(shí)情境，發(fā)揮育人作用

高考評價(jià)體系最重要的創(chuàng)新之一，是通過“四層”考查內(nèi)容將學(xué)科能力考查與思想道德滲透有機(jī)結(jié)合，利用學(xué)科素養(yǎng)這一關(guān)鍵連接層實(shí)現(xiàn)融合知識、能力、價(jià)值的綜合測評，從而使立德樹人真正在高考評價(jià)實(shí)踐中落地生根。情境正是實(shí)現(xiàn)這種“價(jià)值引領(lǐng)、素養(yǎng)導(dǎo)向、能力為重、知識為基”的綜合考查的載體［1］。

例1 （2022年全國新高考I卷第4題）南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題，其中一部分水蓄入某水庫。已知該水庫水位為海拔148.5 m時(shí)，相應(yīng)水面的面積為140.0 km2；水位為海拔157.5 m時(shí)，相應(yīng)水面的面積為180 km2，將該水庫在這兩個(gè)水位間的形狀看作一個(gè)棱臺，則該水庫水位從海拔148.5 m上升到157.5 m時(shí)，增加的水量約為（[7]≈2.65）（? ）

A. 1.0×109 m3? ? ?B. 1.2×109 m3

C. 1.4×109 m3? ? ? ? ? D. 1.6×109 m3

評析：試題以現(xiàn)實(shí)生活中的水庫為載體，考查學(xué)生對立體幾何基礎(chǔ)知識的掌握情況，要求學(xué)生能在所給現(xiàn)實(shí)生活情境中抽象出棱臺的相關(guān)概念。如兩個(gè)海拔之間的高度即為棱臺的高，兩個(gè)海拔相應(yīng)的水面面積其實(shí)是棱臺的兩個(gè)底面積。在抽象出棱臺的相關(guān)概念后，學(xué)生便能順利求出體積。試題以我國重要建設(shè)成就南水北調(diào)工程為載體，考查學(xué)生直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注社會(huì)主義建設(shè)成果，增強(qiáng)社會(huì)責(zé)任感。

2.加強(qiáng)教考銜接，發(fā)揮引導(dǎo)作用

《中國高考評價(jià)體系》明確指出高考必須堅(jiān)持引導(dǎo)教學(xué)，以理順教考關(guān)系，增強(qiáng)“以考促學(xué)”的主動(dòng)意識，完善德智體勞美全面培養(yǎng)的育人體系。高考命題逐漸淡化技巧，回歸數(shù)學(xué)本質(zhì)，重視基本概念、定理、原理的考查，旨在引導(dǎo)教學(xué)回歸教材，夯實(shí)必備知識。

例2 （2022年全國新高考I卷第3題）在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，BD=2DA，記[CA]=m，[CD]=n，則[CB]=（? ）

A. 3m-2n? ? ? B. -2m+3n

C. 3m+2n? ? ? D. 2m+3n

評析：該題主要考查平面向量的概念、平面向量的運(yùn)算、平面向量的基本定理等基礎(chǔ)知識和基本方法，解法靈活多樣。試題源于新人教A版高中數(shù)學(xué)必修第二冊第26頁例1：“如圖2，[OA]，[OB]不共線，且[AP]=t[AB]（t∈R），用[OA]，[OB]表示[OP]?！保?］，該例題的答案為[OP]=（1-t）[OA]+t[OB]。當(dāng)t=3時(shí)，[OP]=-2[OA]+3[OB]，便是該試題的答案。當(dāng)然，學(xué)生也無須死記硬背結(jié)論，只要掌握例題所揭示的問題本質(zhì)，便可從多個(gè)視角輕松解答。試題源于教材例題，旨在理順教考關(guān)系，引導(dǎo)教學(xué)回歸本原，尤其能去除高三復(fù)習(xí)備考中“重教輔、輕教材”的功利化傾向。

3.提升邏輯推理，關(guān)注思維品質(zhì)

新課標(biāo)明確指出，在數(shù)學(xué)高考的考試命題中，要適度增加試題的思維含量，關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中思維品質(zhì)的形成［3］。在新高考I卷中，這一要求體現(xiàn)得更加明顯。

例3 （2022年全國新高考I卷第7題）設(shè)a=0.1e0.1，b=[19]，c=-ln0.9，則（? ）

A. a

評析：試題以指數(shù)、對數(shù)運(yùn)算為背景，將運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的考查融入比較函數(shù)值的大小問題中。該問題解決的關(guān)鍵是如何建立起a，b，c三個(gè)數(shù)之間的聯(lián)系。我們觀察到，a是與0.1有關(guān)的數(shù)值，那么，b和c能否改寫成與0.1有關(guān)的形式呢？可以看出，b=[19]=[0.10.9]=[0.11-0.1]，c=-ln（1-0.1），于是，a，b，c三個(gè)數(shù)的值可以看作三個(gè)函數(shù)f（x）=xex，g（x）=[x1-x]，h（x）=-ln（1-x）在x=0.1處的函數(shù)值。因此，比較a，b，c的大小，只需考查函數(shù)f（x），g（x），h（x）在x∈（0，0.1］的圖象變化。試題聚焦學(xué)生的邏輯推理能力、數(shù)學(xué)運(yùn)算求解能力，對學(xué)生的思維品質(zhì)提出了較高的要求。

例4 （2022年全國新高考Ⅰ卷第8題）已知正四棱錐的側(cè)棱長為l，其各頂點(diǎn)都在同一球面上，若該球的體積為36π，且3≤l≤3[3]，則該正四棱錐體積的取值范圍是（? ）

A.[18，814] B.[274，814] C.[274，643] D.［18，27］

評析：試題以學(xué)生熟悉的正四棱錐的外接球?yàn)楸尘?，設(shè)計(jì)動(dòng)態(tài)情境下求四棱錐體積的范圍問題。試題的正確解決必須依靠邏輯推理構(gòu)建體積V與側(cè)棱長l之間的函數(shù)關(guān)系，并且選擇合適的視角求解目標(biāo)函數(shù)的最值。下面具體分析解答過程中兩個(gè)關(guān)鍵的思維過程。

如圖3，記點(diǎn)O為該正四棱錐外接球的球心，PO1=h，BO1=r，則OP=OB=R=3，則l2-h2=r2，R2-[h-R]2=r2，從而可得h=[16]l2，r2=l2-[136]l4，V=[13]Sh=[1182]l4（36-l2），目標(biāo)函數(shù)V=[13]Sh=[1182]l4（36-l2）取值范圍的求解思路源于教材，學(xué)生可以從多個(gè)角度進(jìn)行求解，讓不同層次的學(xué)生都有發(fā)揮能力的機(jī)會(huì)。

視角1：利用三元均值不等式，即V=[181]·[l22]·[l22]（36-l2）≤[181]×[13l22+l22+36-l2]=[643]，當(dāng)[l22]=36-l2，即l=2[6]∈［[3，3]］時(shí)取等號，又V（3）=[274]，V（3[3]）=[814]，故選C。

視角2：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，令l2=t，t∈［9，27］，V（t）=[1182]（36t2-t3），V′=[1108]（24t-t2），當(dāng)t∈［9，24］時(shí)，V′>0，當(dāng)t∈［24，27］時(shí)，V′<0，從而V在［9，24］單調(diào)遞增，在［24，27］單調(diào)遞減，且又V（9）=[274]，V（27）=[814]，V（24）=[643]，故選C。

以上設(shè)計(jì)面向全體學(xué)生，有效檢測了學(xué)生的立體幾何基礎(chǔ)知識，以及邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，起到了壓軸小題甄別學(xué)生思維層次的作用。

4.注重通性通法，凸顯數(shù)學(xué)運(yùn)算

新課標(biāo)在高考命題建議中明確指出，考查內(nèi)容應(yīng)圍繞數(shù)學(xué)內(nèi)容主線，注重?cái)?shù)學(xué)本質(zhì)、通性通法、淡化技巧，凸顯數(shù)學(xué)運(yùn)算。數(shù)學(xué)運(yùn)算作為解決數(shù)學(xué)問題的基本手段和數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)之一，在2022年的新高考Ⅰ卷中明顯增加，下面以解析幾何模塊的考查為例進(jìn)行分析。

解析幾何模塊在以往的考試中都是以“兩小一大”的題量呈現(xiàn)，其中兩道小題主要考查圓錐曲線的定義、性質(zhì)，學(xué)生只要熟練掌握便可解決問題。但2022年新高考Ⅰ卷中解析幾何模塊試題明顯有了變化，兩道小題均出現(xiàn)在選擇題和填空題“壓軸”的位置，都考查了直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，要解決該題需聯(lián)立直線方程與圓錐曲線方程，這使得運(yùn)算量增大，問題的難度驟增。

例5 （2022年全國新高考Ⅰ卷第11題）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A（1，1）在拋物線C：x2=2py（p>0）上，過點(diǎn)B（0，-1）的直線交C于P，Q兩點(diǎn)，則（? ）

A. C的準(zhǔn)線為y=-1? ?B.直線AB與C相切

C.[OP]·[OQ]>[OA]2? D.[BP]·[BQ]>[BA]2

評析：試題以多項(xiàng)選擇題的形式呈現(xiàn)，考查拋物線的定義，以及直線與拋物線的位置關(guān)系，注重通性通法。A選項(xiàng)考查拋物線方程、準(zhǔn)線的基本概念；B選項(xiàng)考查直線的方程，以及直線與拋物線的相切的位置關(guān)系，其既可以聯(lián)立通過判別式求解，也可以通過導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解；C、D兩個(gè)選項(xiàng)以直線與拋物線的位置關(guān)系為背景，設(shè)計(jì)了與兩點(diǎn)間距離有關(guān)的問題，考查學(xué)生用坐標(biāo)法解決解析幾何問題的一般程序，對學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)有一定的要求?？梢钥闯?，前兩個(gè)選項(xiàng)考查基礎(chǔ)知識與基本方法，面向全體學(xué)生；后兩個(gè)選項(xiàng)考查學(xué)生運(yùn)用坐標(biāo)法求解直線與拋物線相交弦長等問題的基本經(jīng)驗(yàn)和關(guān)鍵能力，有利于高校人才的選拔。

例6 （2022年全國新高考I卷第16題）已知橢圓C：[x2a2]+[y2b2]=1（a>b>0），C的上頂點(diǎn)為A，兩個(gè)焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，離心率為[12]，過F1且垂直于AF2的直線與C交于D，E兩點(diǎn)，[DE]=6，則△ADE的周長是? ? ? ? 。

評析：試題以橢圓的定義為背景，設(shè)計(jì)了與焦點(diǎn)三角形有關(guān)的周長問題。問題的解決始于構(gòu)圖轉(zhuǎn)化，把△ADE的周長問題轉(zhuǎn)化為橢圓的定義，最后回歸到求解a的值，即依靠弦長[DE]=6求解a。該解題過程并沒有太多的解題技巧，而是從通性通法入手，考查學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)。

5.創(chuàng)新試題設(shè)計(jì)，考查關(guān)鍵能力

任子朝指出，全新的考試?yán)砟詈涂荚嚹繕?biāo)需要全新的題型去實(shí)現(xiàn)和完成，設(shè)置開放性試題，通過設(shè)置不唯一的答案，鼓勵(lì)學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)知識，啟發(fā)多角度認(rèn)識和分析問題，把學(xué)生從標(biāo)準(zhǔn)答案中解放出來，給學(xué)生充分思考與發(fā)揮的空間，使其能展示能力發(fā)展的水平［4］。

例7 （2022年全國新高考Ⅰ卷第14題）寫出與圓x2+y2=1和（x-3）2+（y-4）2=16都相切的一條直線的方程________。

評析：試題貫徹高考改革內(nèi)容，創(chuàng)新命題方式，設(shè)置不唯一的答案，甄別學(xué)生思維層次，考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力。如圖4，不難發(fā)現(xiàn)兩圓外切，均與直線x=-1相切，當(dāng)然，學(xué)生也可以根據(jù)直線與圓相切的性質(zhì)求得另外兩條切線的方程。

6.圍繞知識主干，加強(qiáng)縱向聯(lián)系

由前文分析可知，2022年全國新高考Ⅰ卷加大了對主干知識的考查。仔細(xì)研究，發(fā)現(xiàn)圍繞主干知識命制綜合性試題成了一大新的特點(diǎn)。例如第7題以指數(shù)對大小比較為知識情境，綜合考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的能力；第8題圍繞立體幾何為背景，以動(dòng)態(tài)情境命制了四棱錐體積的最值問題，將立體幾何與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式融合在一起，深入考查學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)；第18題以三角函數(shù)為背景，將正余弦定理、三角恒等變換、基本不等式等知識融合，考查學(xué)生的必備知識和關(guān)鍵能力。相比歷年試題，新高考圍繞主干知識間的聯(lián)系命制綜合性問題已成為新的熱點(diǎn)。

三、教學(xué)建議

1.以考促教，助力教學(xué)方式變革

在新舊高考過渡階段，部分高中仍然存在以教師為主的“滿堂灌”、大量機(jī)械重復(fù)的刷題應(yīng)試和忽視學(xué)生高階能力發(fā)展等問題。從近2年新高考試題的命制來看，旨在破解當(dāng)前以“考分”為目標(biāo)的刷題應(yīng)試的困局，助力課程教學(xué)方式的改革，引導(dǎo)一線教師大膽實(shí)踐，勇于創(chuàng)新教學(xué)方式，如基于“生本理念”的小組合作交流，以“問題為導(dǎo)向”的自主學(xué)習(xí)等能驅(qū)動(dòng)學(xué)生內(nèi)生力，激發(fā)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的教學(xué)方式，從根本上解決教與學(xué)的問題。因此，高考備考不是高三才做的應(yīng)試準(zhǔn)備，而是長期基于教與學(xué)的積累。在教學(xué)中，教師要以考促教，改進(jìn)教學(xué)方式，優(yōu)化學(xué)生學(xué)習(xí)習(xí)慣，提升學(xué)生的核心素養(yǎng)。

2.以生為本，突破數(shù)學(xué)運(yùn)算瓶頸

2022年新高考數(shù)學(xué)試卷的特點(diǎn)之一是明顯加大了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的考查，這也是學(xué)生普遍認(rèn)為試題偏難的原因之一。數(shù)學(xué)運(yùn)算是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本功，如何提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力成了一線教師在高考備考中要突破的重點(diǎn)問題。西北師范大學(xué)張定強(qiáng)教授在解析數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)中的理解運(yùn)算對象、掌握運(yùn)算法則、探究運(yùn)算思路、求得運(yùn)算結(jié)果的表現(xiàn)形態(tài)，提出了相應(yīng)的教學(xué)建議［5］。結(jié)合新高考對數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的考查要求和對張定強(qiáng)教授提出的教學(xué)建議的理解，在課堂教學(xué)中，我們要堅(jiān)持以生為本，從教師講、教師算、教師演練轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生做、學(xué)生討論、學(xué)生解決，教師在學(xué)生的爭論點(diǎn)和疑難點(diǎn)適當(dāng)介入引導(dǎo)。在學(xué)習(xí)活動(dòng)中，教師應(yīng)充分展示學(xué)生解題的思維過程，暴露學(xué)生運(yùn)算的關(guān)鍵卡點(diǎn)，讓學(xué)生尋找運(yùn)算失敗的根源，探索突破運(yùn)算的途徑，在交流互動(dòng)中逐漸剖析運(yùn)算背后的數(shù)學(xué)本質(zhì)。

3.以減增質(zhì)，重視關(guān)鍵能力提升

在高考結(jié)束后，很多學(xué)生反映試題偏難，仔細(xì)分析，原因在于試題加大了對學(xué)生關(guān)鍵能力的考查。例如第7題，如果學(xué)生不能建立起a，b，c之間的聯(lián)系，問題將很難解答；第8題通過正四棱錐和外接球中截面圓的性質(zhì)建立V與l的函數(shù)關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵所在。像這樣的例子很多，比如第6、16、18、21題等，需要學(xué)生具備分析問題和解決問題的關(guān)鍵能力，才能驅(qū)動(dòng)整個(gè)問題的解答。在新一輪高考備考中，學(xué)生切忌大量的刷題，建議圍繞主干知識深入挖掘試題價(jià)值，通過一題多解、一題多變、多題一解等高階思維活動(dòng)，剖析問題的數(shù)學(xué)本質(zhì)，提升解決問題的能力，減輕學(xué)生的學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)。

參考文獻(xiàn)：

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［5］閆佳潔，張定強(qiáng).高考試題中的“數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)”解析：以近五年新課標(biāo)全國理科卷Ⅱ?yàn)槔跩］.中學(xué)數(shù)學(xué)雜志（高中版），2018（6）：49-53.

（責(zé)任編輯：陸順演）