培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算能力 落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

馬海嬌

[摘 ?要] 在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，部分教師為了追求“容量和速度”，常常形成思路后就不了了之，忽視了學(xué)生運(yùn)算能力的培養(yǎng). 這樣不僅影響了學(xué)生成績(jī)的提升，而且限制了學(xué)生思維能力的發(fā)展，影響了學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的落實(shí). 在實(shí)際教學(xué)中，教師應(yīng)把培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力落到實(shí)處，通過(guò)適時(shí)講解、適當(dāng)練習(xí)、有效思考，切實(shí)培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力，提升學(xué)生的解題效率.

[關(guān)鍵詞] 運(yùn)算能力;思維能力;解題效率;核心素養(yǎng)

會(huì)運(yùn)算是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本任務(wù)之一，是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中必須養(yǎng)成的基本素質(zhì)和能力. 運(yùn)算能力的高低直接關(guān)系著解決問(wèn)題的效果，因此對(duì)運(yùn)算能力的培養(yǎng)應(yīng)引起師生的共同關(guān)注. 不過(guò)在現(xiàn)實(shí)教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)運(yùn)算并沒(méi)有引起師生的高度重視，不少教師認(rèn)為數(shù)學(xué)運(yùn)算是不需要思考的，思維價(jià)值較低，然課堂時(shí)間是有限的，應(yīng)該將精力放在探尋解決問(wèn)題的思路上，因此教學(xué)中教師常常帶領(lǐng)學(xué)生找到解題思路后就草草了事. 由于教師的不重視自然也就難以引起學(xué)生重視，很多學(xué)生認(rèn)為只要記住運(yùn)算公式和運(yùn)算法則，考試時(shí)能夠認(rèn)真計(jì)算就可以了. 為了做更多的題，大多數(shù)學(xué)生很少將運(yùn)算進(jìn)行到底，常常用計(jì)算器代替心算和筆算，最終使得學(xué)生算理混亂、算法模糊，考試時(shí)常因運(yùn)算出現(xiàn)問(wèn)題而失分，影響了考試效果. 筆者結(jié)合一些具體案例，淺談幾點(diǎn)對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算能力培養(yǎng)的認(rèn)識(shí)，以期拋磚引玉，引起共鳴.

[?]抓基礎(chǔ)重落實(shí)，培養(yǎng)運(yùn)算能力的前提

熟練地、準(zhǔn)確地掌握數(shù)學(xué)運(yùn)算所需的概念、公式、定理、法則是培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算能力的前提. 教師需要從解題過(guò)程中發(fā)現(xiàn)學(xué)生運(yùn)算錯(cuò)誤的癥結(jié)，以便采取有針對(duì)性的教學(xué)策略加以引導(dǎo)，從而達(dá)到梳理、鞏固和強(qiáng)化的目的. 另外，教師要鼓勵(lì)學(xué)生將運(yùn)算進(jìn)行到底，切勿走馬觀花，以此培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)解題習(xí)慣.

例1 已知數(shù)列{a}是等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為S，若S，S，S成等差數(shù)列，則公比q的值為_(kāi)_____.

解此題時(shí)，大多數(shù)學(xué)生直接從等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式出發(fā)，試圖通過(guò)“硬算”來(lái)解決，但因?yàn)檫\(yùn)算過(guò)程煩瑣，最終無(wú)功而返. 另外，在解題中發(fā)現(xiàn)，部分學(xué)生應(yīng)用公式時(shí)容易忽視公比q=1的情形，可見(jiàn)他們對(duì)概念的理解還不夠深刻.

為了幫助學(xué)生順利解決問(wèn)題，教師引導(dǎo)如下：列出等式2S=S+S，回顧數(shù)列前n項(xiàng)和公式，于是有2S=S+a+S+a+a，整理得2a+a=0，所以q=-2. 這樣應(yīng)用概念靈活地化解了復(fù)雜的運(yùn)算，讓學(xué)生體驗(yàn)到了數(shù)學(xué)概念在運(yùn)算中的價(jià)值.

對(duì)于學(xué)生運(yùn)算能力的培養(yǎng)并不是讓學(xué)生經(jīng)歷多么復(fù)雜的運(yùn)算過(guò)程，而是讓學(xué)生能夠靈活應(yīng)用知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)巧妙地解決問(wèn)題. 在解題過(guò)程中，要避免盲目運(yùn)算，應(yīng)多觀察、多分析，靈活調(diào)整運(yùn)算方案，以此高效解決問(wèn)題.

[?]突出數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)運(yùn)算能力的關(guān)鍵

雖然數(shù)學(xué)問(wèn)題是抽象且復(fù)雜的，但是數(shù)學(xué)問(wèn)題中蘊(yùn)含著一定的規(guī)律、方法. 在解題教學(xué)中，應(yīng)重視學(xué)生觀察能力、分析能力、推理論證能力等綜合能力的培養(yǎng)，突出數(shù)形結(jié)合、由特殊到一般和由一般到特殊等數(shù)學(xué)思想方法的價(jià)值，培養(yǎng)學(xué)生良好的解題習(xí)慣. 數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)發(fā)展和創(chuàng)造的源泉，其關(guān)系著學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解層次，是培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算能力的關(guān)鍵.

例2 設(shè)t∈R，若x>0時(shí)，均有（tx-1）[x2-（t+1）x-1]≥0，則實(shí)數(shù)t的值為_(kāi)_____.

對(duì)于例2，若單純從解不等式的角度去思考，則需要進(jìn)行分類討論，對(duì)中間環(huán)節(jié)的理解以及涉及的運(yùn)算都比較煩瑣，對(duì)運(yùn)算能力的要求較高. 因此解題時(shí)不妨引導(dǎo)學(xué)生多觀察，從式子的結(jié)構(gòu)特征出發(fā)進(jìn)行解決：不等式左邊為兩個(gè)因式相乘，由此可以將其轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的函數(shù)，借助數(shù)形結(jié)合思想使問(wèn)題變得直觀起來(lái)，這樣解題自然就變得流暢了. 令f（x）=tx-1，g（x）=x2-（t+1）x-1，設(shè)g（x）的兩個(gè)零點(diǎn)是x1，x2，且x<00，f（x）的零點(diǎn)也為x時(shí)，不等式恒成立，將x=代入g（x）=0，得

t-

（t+1）=0，故t=.

從以上分析過(guò)程可以看出，對(duì)于同一問(wèn)題可以有不同的解決方案，不同的解決方案對(duì)運(yùn)算量的要求有所不同，因此在解題教學(xué)中，教師要告訴學(xué)生不要急于落筆，應(yīng)多觀察、多分析，以便學(xué)生發(fā)現(xiàn)適合自己的最優(yōu)解題方案，有效提高解題效率. 同時(shí)，在解題教學(xué)中，講授知識(shí)的同時(shí)應(yīng)關(guān)注數(shù)學(xué)思想方法的訓(xùn)練和培養(yǎng)，這對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)研究都有重要的指導(dǎo)意義，有利于提升教學(xué)品質(zhì)和學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

[?]強(qiáng)化目標(biāo)意識(shí)，是提升運(yùn)算能力的重要舉措

無(wú)論是平時(shí)測(cè)驗(yàn)還是大考，都經(jīng)常發(fā)現(xiàn)試卷上有很多刪改的痕跡，出現(xiàn)這一現(xiàn)象的主因就是學(xué)生在解題時(shí)沒(méi)有明確的運(yùn)算方向和運(yùn)算路徑，常常是想到哪里就算到哪里，最終不僅浪費(fèi)了時(shí)間，而且可能一無(wú)所獲. 因此，在解題教學(xué)中，必須強(qiáng)化學(xué)生的目標(biāo)意識(shí)，這樣在目標(biāo)的指引下才能少走彎路，有效提高解題效率.

例3 如圖1所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓+=1（a>b>0）的左頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F（c，0），點(diǎn)P（x，y）為橢圓上一點(diǎn)，且PA⊥PF. 求證：以F為圓心，F(xiàn)P為半徑的圓與橢圓的右準(zhǔn)線x=相切.

題目給出后，學(xué)生很快寫(xiě)出了如下解題過(guò)程：由PA⊥PF，得·=-1，即y=-（x+a）（x-c）①. 又+=1②，聯(lián)立①②，消去y，整理得關(guān)于x的二次方程（b2-a2）x-a2（a-c）x+a3c-a2b2=0. 下一步學(xué)生準(zhǔn)備利用求根公式解方程，但是這無(wú)疑陷入了復(fù)雜運(yùn)算，很多學(xué)生計(jì)算到這里望而卻步. 教師及時(shí)捕捉到了學(xué)生的問(wèn)題后，讓學(xué)生思考這樣兩個(gè)問(wèn)題：①你到底要求什么？②怎么求？這樣引導(dǎo)學(xué)生深入觀察需要研究的問(wèn)題，及時(shí)調(diào)整運(yùn)算路徑，以便達(dá)成目標(biāo).

通過(guò)深入觀察易于發(fā)現(xiàn)，以AF為直徑的圓與橢圓除了點(diǎn)P這個(gè)公共點(diǎn)外，還有一個(gè)公共點(diǎn)A（-a，0）. 這樣在關(guān)于x的二次方程中，一定有（x+a）這個(gè)因式，于是消去y后得b2x+a2[-（x+a）（x-c）]-a2b2=0，即b2（x+a）（x-a）+a2[-（x+a）（x-c）]=0，有（x+a）

x+

=0，解得x=或x=-a（舍去）.

這樣，在解題時(shí)放慢腳步，挖掘特征，讓學(xué)生擺脫復(fù)雜的運(yùn)算，不僅讓學(xué)生的解題技巧得以提高，而且讓學(xué)生的思維水平也獲得了較大程度的提升. 可見(jiàn)，想得好才能算得好，因此在運(yùn)算前設(shè)計(jì)好運(yùn)算路徑，可以有效規(guī)避復(fù)雜運(yùn)算所帶來(lái)的錯(cuò)解風(fēng)險(xiǎn)，有利于提高解題準(zhǔn)確率.

[?]樹(shù)立求簡(jiǎn)意識(shí)，是提升解題效率的“助推器”

數(shù)學(xué)運(yùn)算除了關(guān)注運(yùn)算的結(jié)果外，還要重視運(yùn)算方向的確定和運(yùn)算路徑的選擇. 在解題教學(xué)中，除了要求結(jié)果正確外，還應(yīng)讓學(xué)生通過(guò)思考、探索、交流等多種途徑去探尋其他的解決方案，讓學(xué)生通過(guò)對(duì)比發(fā)現(xiàn)最優(yōu)的解決方案，以此豐富學(xué)生的解題經(jīng)驗(yàn)，提高解題效率.

例4 已知過(guò)原點(diǎn)O的動(dòng)直線l與圓C：x2+y2-6x+5=0相交于不同的兩點(diǎn)A，B，若A恰為線段OB的中點(diǎn)，則圓心C到直線l的距離為_(kāi)_______.

本題有一定難度，解題時(shí)教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生通過(guò)合作探究找到不同的解決方案，以此優(yōu)化學(xué)生認(rèn)知.

解法1：根據(jù)已知，設(shè)動(dòng)直線l的方程為y=kx，代入圓方程得（1+k2）x2-6x+5=0. 又點(diǎn)A恰為線段OB的中點(diǎn)，所以x=2x. 利用求根公式得x·x=，x+x=，計(jì)算得k=，求得圓心C（3，0）到直線l的距離為.

解法1的思維直接，但是運(yùn)算量較大，對(duì)學(xué)生的運(yùn)算準(zhǔn)確率要求較高，可操作性不強(qiáng)，大多數(shù)學(xué)生很難正確得到答案，即使最終得到答案也會(huì)花費(fèi)較多時(shí)間. 本題是一個(gè)小題，若在考試中這樣大費(fèi)周章地運(yùn)算勢(shì)必會(huì)影響后面的考試，因此解題時(shí)有必要尋找其他的解決方案，樹(shù)立求簡(jiǎn)意識(shí).

分析以上解題過(guò)程后，不妨換個(gè)思路：

解法2：設(shè)點(diǎn)A（x，y），則點(diǎn)B（2x，2y），代入圓的方程得x

+y

-6x0+5=0，

4x

+4y

-12x0+5=0，解得點(diǎn)A

，

. 因此圓心C（3，0）到直線l：y=x的距離為.

解法2表面上引入了兩個(gè)變量，但是其充分利用了“A恰為線段OB的中點(diǎn)”和“點(diǎn)A，B為圓兩點(diǎn)”這兩個(gè)已知條件，這樣不僅快速地形成了解題思路，而且簡(jiǎn)化了運(yùn)算過(guò)程，有利于提高解題效率和解題準(zhǔn)確率.

在教學(xué)中，教師要多鼓勵(lì)學(xué)生從不同的角度去思考和解決問(wèn)題，通過(guò)一題多解不僅可以鍛煉學(xué)生的思維，提高學(xué)生的思維水平，而且可以優(yōu)化運(yùn)算過(guò)程，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.

當(dāng)然，由于個(gè)體差異的存在，學(xué)生的解題習(xí)慣也會(huì)有所不同，因此追求運(yùn)算簡(jiǎn)化的同時(shí)，也要關(guān)注學(xué)生個(gè)體的思維水平，引導(dǎo)學(xué)生找到適合自己的解題之路.

總之，教學(xué)中教師要關(guān)注學(xué)生的運(yùn)算能力，把運(yùn)算能力的培養(yǎng)滲透到每道試題的解答中，從而通過(guò)適時(shí)引導(dǎo)、講解、訓(xùn)練，切實(shí)有效地提高學(xué)生的運(yùn)算能力，落實(shí)其數(shù)學(xué)素養(yǎng).