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    概念教學(xué)中的數(shù)學(xué)語(yǔ)言轉(zhuǎn)換

    2022-05-30 13:17:39郎宏坤
    江西教育B 2022年11期
    關(guān)鍵詞:通俗化數(shù)學(xué)化數(shù)學(xué)語(yǔ)言

    摘 要:在小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)中,教師要及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)語(yǔ)言對(duì)概念進(jìn)行多元表征和準(zhǔn)確表述,幫助學(xué)生理解和掌握數(shù)學(xué)概念。在概念形成過(guò)程中引導(dǎo)學(xué)生把自然語(yǔ)言“數(shù)學(xué)化”為數(shù)學(xué)語(yǔ)言,在概念辨析過(guò)程中引導(dǎo)學(xué)生把數(shù)學(xué)語(yǔ)言“通俗化”為自然語(yǔ)言,在概念鞏固階段引導(dǎo)學(xué)生實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)語(yǔ)言內(nèi)部的不同語(yǔ)言形式之間的相互轉(zhuǎn)換,有效培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)語(yǔ)言轉(zhuǎn)換能力。

    關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)語(yǔ)言;概念教學(xué);轉(zhuǎn)換能力;數(shù)學(xué)化;通俗化

    數(shù)學(xué)語(yǔ)言是一種科學(xué)語(yǔ)言,用數(shù)學(xué)語(yǔ)言對(duì)各種數(shù)學(xué)概念、公式、規(guī)律、性質(zhì)、公理等進(jìn)行表述會(huì)非常精確和簡(jiǎn)潔。究其本質(zhì),數(shù)學(xué)教學(xué)其實(shí)就是數(shù)學(xué)語(yǔ)言的教學(xué)。學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程就是不斷閱讀、理解、掌握和運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言的過(guò)程。如果數(shù)學(xué)語(yǔ)言水平不高,學(xué)生就難以進(jìn)行數(shù)學(xué)閱讀和交流,就很難準(zhǔn)確表達(dá)自己的想法,很難理解別人用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)的觀點(diǎn)。反過(guò)來(lái)說(shuō),如果能準(zhǔn)確、迅速地用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)觀點(diǎn),就能有效提高學(xué)習(xí)效率??梢哉f(shuō),數(shù)學(xué)語(yǔ)言水平的高低是影響學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率高低的重要因素。概念教學(xué)是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容。如果學(xué)生借助已有的生活經(jīng)驗(yàn)或相關(guān)知識(shí)對(duì)概念的內(nèi)涵和外延有了比較全面的認(rèn)識(shí),教師就要及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)語(yǔ)言對(duì)概念進(jìn)行多元表征和準(zhǔn)確表述。如果學(xué)生能把數(shù)學(xué)語(yǔ)言與它所代表的數(shù)學(xué)內(nèi)容聯(lián)系起來(lái),就能比較容易地理解數(shù)學(xué)概念。

    一、概念形成階段,引導(dǎo)學(xué)生把自然語(yǔ)言轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)語(yǔ)言

    概念形成是概念教學(xué)的重要階段。所謂概念形成,就是學(xué)生在分析和對(duì)比一類事物中發(fā)現(xiàn)了這類事物中相同的關(guān)鍵特征,從而把這種關(guān)鍵特征概括為數(shù)學(xué)概念。概念形成一般包括提供例證并仔細(xì)觀察、分析例證并提出假設(shè)、驗(yàn)證假設(shè)并獲得概念、修正假設(shè)并揭示概念四個(gè)階段。在概念形成過(guò)程中,學(xué)生是數(shù)學(xué)概念的主動(dòng)發(fā)現(xiàn)者和建構(gòu)者,也是把自然語(yǔ)言變成數(shù)學(xué)語(yǔ)言的主動(dòng)轉(zhuǎn)換者。在這個(gè)過(guò)程中,教師要鼓勵(lì)學(xué)生對(duì)自然語(yǔ)言進(jìn)行加工和提煉,引導(dǎo)學(xué)生將自然語(yǔ)言“數(shù)學(xué)化”為數(shù)學(xué)語(yǔ)言,從而培養(yǎng)學(xué)生把自然語(yǔ)言轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)語(yǔ)言的能力。

    教學(xué)“奇妙的圖形密鋪”時(shí),教師先引導(dǎo)學(xué)生觀察一些密鋪的圖形,讓學(xué)生說(shuō)說(shuō)“密鋪”的概念。有的學(xué)生說(shuō):“看到‘密鋪一詞,我就想到密密麻麻地鋪在一起的圖形。”有的學(xué)生說(shuō):“既然是‘密,那就應(yīng)該有很多。無(wú)論什么形狀的圖形,如果能既無(wú)空隙又不重疊地鋪在平面上,這種鋪法應(yīng)該就是密鋪?!庇械膶W(xué)生說(shuō):“我用很多相同的平行四邊形紙片嘗試,發(fā)現(xiàn)平行四邊形可以密鋪后,就猜想梯形和三角形也可以密鋪。因?yàn)閮蓚€(gè)完全一樣的梯形或三角形都能拼成一個(gè)平行四邊形,平行四邊形可以密鋪,梯形和三角形應(yīng)該也可以密鋪?!备鶕?jù)學(xué)生的發(fā)言,教師引導(dǎo)學(xué)生圍繞“正五邊形能否密鋪”進(jìn)行討論,有的學(xué)生認(rèn)為可以,并拿出自己完成的作業(yè)——將正五邊形鋪成一排。有的學(xué)生提出反對(duì)意見(jiàn),認(rèn)為把圖形鋪成一排還算不上密鋪,只有把這些正五邊形不留空隙、不重疊地鋪成一片才行。在此基礎(chǔ)上,教師適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行總結(jié),水到渠成地用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述“密鋪”的概念:“用形狀、大小完全相同的幾種或幾十種平面圖形進(jìn)行拼接,彼此之間不留空隙、不重疊地鋪成一片,這就是平面圖形的密鋪,也叫做平面圖形的鑲嵌?!?/p>

    教師提供一些有關(guān)“密鋪”的例子讓學(xué)生觀察和討論,嘗試概括這些例子蘊(yùn)含的本質(zhì)屬性。學(xué)生在概括的過(guò)程中談的都是自己的認(rèn)識(shí),用的都是自己的語(yǔ)言(自然語(yǔ)言),其中梯形和三角形能夠密鋪就是學(xué)生提出的假設(shè)或猜想,教師再引導(dǎo)學(xué)生觀察并討論正五邊形是否能夠密鋪,學(xué)生在驗(yàn)證假設(shè)中習(xí)得數(shù)學(xué)概念,教師最后引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)的“密鋪”概念所用語(yǔ)言比較精練,是學(xué)生對(duì)自然語(yǔ)言表述的提煉和加工,是“數(shù)學(xué)化”了的自然語(yǔ)言(文字語(yǔ)言),變得比較嚴(yán)謹(jǐn)和科學(xué)。學(xué)生在提出假設(shè)和驗(yàn)證假設(shè)的過(guò)程中使用的還是自然語(yǔ)言,最終概括的“密鋪”概念是數(shù)學(xué)語(yǔ)言中的文字語(yǔ)言。如果教師在概念教學(xué)中經(jīng)常這樣有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生把自然語(yǔ)言轉(zhuǎn)換為文字語(yǔ)言或其他數(shù)學(xué)語(yǔ)言,就能慢慢培養(yǎng)學(xué)生相應(yīng)的語(yǔ)言轉(zhuǎn)換能力。

    二、概念理解階段,引導(dǎo)學(xué)生把數(shù)學(xué)語(yǔ)言轉(zhuǎn)換為自然語(yǔ)言

    概念形成后,教師要引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)回歸現(xiàn)實(shí),尋找生活原型,幫助學(xué)生進(jìn)一步深化對(duì)概念的認(rèn)識(shí),實(shí)現(xiàn)概念的真正理解。所謂概念理解,就是對(duì)數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵和外延的把握能力。學(xué)生在辨認(rèn)和識(shí)別概念的基礎(chǔ)上,了解概念的本質(zhì)與內(nèi)在聯(lián)系,對(duì)概念實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)化和具體化的認(rèn)識(shí),甚至融會(huì)貫通。數(shù)學(xué)概念的每個(gè)符號(hào)所表示的意義與學(xué)生已經(jīng)知道的日常觀念未必一致,這是因?yàn)閿?shù)學(xué)概念雖然來(lái)源于現(xiàn)實(shí)世界,但卻是多次抽象的結(jié)果。為了幫助學(xué)生真正理解數(shù)學(xué)概念,教師要引導(dǎo)學(xué)生用自己熟悉的語(yǔ)言(自然語(yǔ)言)解釋概念。學(xué)生對(duì)自然語(yǔ)言比較親近,也容易在理解中內(nèi)化數(shù)學(xué)概念。這個(gè)把數(shù)學(xué)語(yǔ)言轉(zhuǎn)換為自然語(yǔ)言的過(guò)程,就是我們常說(shuō)的數(shù)學(xué)概念“通俗化”過(guò)程。

    例如,“平行線”概念形成后,由于概念比較抽象,學(xué)生不能深刻理解“互相平行”是兩條直線相互依存的位置關(guān)系,總習(xí)慣地說(shuō)成“直線a是平行線”,這種說(shuō)法無(wú)疑是錯(cuò)誤的。教師可以借助日常生活中的“朋友關(guān)系”和“同學(xué)關(guān)系”等語(yǔ)言幫助學(xué)生理解平行線間的相互依存關(guān)系。如小華和小剛兩人是同桌的位置關(guān)系可以這樣描述:小華和小剛互為同桌,小華是小剛的同桌,小剛是小華的同桌。仔細(xì)觀察圖中的兩條直線,你們會(huì)描述直線a與直線b的位置關(guān)系嗎?學(xué)生很快就準(zhǔn)確、完整地用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述出來(lái):直線a與直線b互相平行,直線a是直線b的平行線,直線b是直線a的平行線。

    數(shù)學(xué)概念往往是用比較精練的數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行表述的,因而具有一定的概括性和抽象性,但小學(xué)生受思維發(fā)展和語(yǔ)言發(fā)展水平的影響,真正理解和掌握較為復(fù)雜的數(shù)學(xué)概念常常有一定的困難,需要教師引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用自然語(yǔ)言來(lái)類比、描述和闡釋。學(xué)生比較容易理解生活中的“同桌關(guān)系”,用通俗易懂的自然語(yǔ)言進(jìn)行解釋,有助于學(xué)生正確理解平面上兩條直線的“平行關(guān)系”,學(xué)生對(duì)兩者之間相互依存關(guān)系的理解就變得非常容易。把用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述的抽象復(fù)雜、難以理解的數(shù)學(xué)概念,讓學(xué)生“用自己的語(yǔ)言說(shuō)一說(shuō)”,就是把數(shù)學(xué)語(yǔ)言轉(zhuǎn)換為自然語(yǔ)言,這樣轉(zhuǎn)換有利于學(xué)生在類比中深刻理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)。因此,把抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言借助恰當(dāng)?shù)淖匀徽Z(yǔ)言進(jìn)行“通俗化”有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)語(yǔ)言轉(zhuǎn)換能力。

    三、概念應(yīng)用階段,引導(dǎo)學(xué)生實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)語(yǔ)言之間相互轉(zhuǎn)換

    概念學(xué)習(xí)的目的在于應(yīng)用。概念應(yīng)用包括基本應(yīng)用、變式應(yīng)用和拓展應(yīng)用,無(wú)論在哪種應(yīng)用中,學(xué)生即使能用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述概念,也不意味著就能真正理解和掌握數(shù)學(xué)概念。因此,教師要有的放矢地引導(dǎo)學(xué)生在概念應(yīng)用中進(jìn)行概念具體化,以便在促進(jìn)學(xué)生鞏固概念的同時(shí),培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)語(yǔ)言轉(zhuǎn)換能力。數(shù)學(xué)語(yǔ)言中的文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言和圖表語(yǔ)言各有優(yōu)勢(shì)與不足。如果把數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述的概念進(jìn)行適當(dāng)轉(zhuǎn)換,實(shí)現(xiàn)文字語(yǔ)言、圖表語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言的優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)和有機(jī)融合,就能幫助學(xué)生進(jìn)一步掌握數(shù)學(xué)概念。在概念教學(xué)中,利用數(shù)學(xué)對(duì)象表征形式的多樣性,對(duì)同一個(gè)數(shù)學(xué)概念逐步或同時(shí)運(yùn)用不同的數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行表述,引導(dǎo)學(xué)生從不同角度加以理解,溝通其聯(lián)系,以此促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)語(yǔ)言的發(fā)展。

    例如,“成正比例的量”概念對(duì)小學(xué)生而言是比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)概念。尤其是用符號(hào)語(yǔ)言——字母表達(dá)式y(tǒng)∶x=k(一定)表示成正比例的量,學(xué)生更難理解。因?yàn)檫@個(gè)字母表達(dá)式雖然比較簡(jiǎn)潔,但對(duì)學(xué)生而言未免太抽象了。教師可以分幾個(gè)層次幫助學(xué)生鞏固這個(gè)概念。

    基本應(yīng)用就是把用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述的概念直接進(jìn)行解釋。教師可以直接提問(wèn)學(xué)生這個(gè)表達(dá)式所表示的含義。學(xué)生可以根據(jù)自己的認(rèn)識(shí),直接回答為“兩種相關(guān)聯(lián)的量,一種量y變化,另一種量x也隨之變化。如果這兩種量中相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的比值k一定,那么y和x這兩種量就是成正比例的量,它們的關(guān)系就是正比例關(guān)系?!睂W(xué)生這樣直接把符號(hào)語(yǔ)言轉(zhuǎn)換為文字語(yǔ)言,成正比例的量和正比例關(guān)系的概念雖然還很抽象,但已經(jīng)比直接用符號(hào)表述的概念要容易理解了。

    變式應(yīng)用就是結(jié)合具體實(shí)例進(jìn)行解釋,培養(yǎng)學(xué)生在遷移應(yīng)用中的數(shù)學(xué)語(yǔ)言轉(zhuǎn)換能力。教師可以結(jié)合“練一練”的教學(xué)把這個(gè)符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)的概念轉(zhuǎn)換成其他數(shù)學(xué)語(yǔ)言:先引導(dǎo)學(xué)生寫(xiě)出幾組相對(duì)應(yīng)的生產(chǎn)零件數(shù)量和時(shí)間的比,并比較比值的大小,再判斷張師傅生產(chǎn)零件的數(shù)量和時(shí)間是否成正比例,最后說(shuō)明理由。學(xué)生說(shuō)明理由的過(guò)程其實(shí)就是把符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)的概念表達(dá)式轉(zhuǎn)換為文字語(yǔ)言的過(guò)程——生產(chǎn)零件數(shù)量∶時(shí)間=每小時(shí)生產(chǎn)的零件數(shù)量(一定)。因此,生產(chǎn)零件的數(shù)量和生產(chǎn)零件的時(shí)間成正比例。在此基礎(chǔ)上,教師最后用圖表語(yǔ)言——正比例圖像呈現(xiàn)成正比例的量,幫助學(xué)生深化對(duì)概念的理解。

    拓展應(yīng)用就是教師針對(duì)學(xué)生在概念學(xué)習(xí)過(guò)程中可能存在的認(rèn)識(shí)誤區(qū)設(shè)計(jì)練習(xí),引導(dǎo)學(xué)生在拓展中對(duì)概念形成正確的認(rèn)識(shí)。學(xué)生對(duì)“成正比例的量”有了較多的認(rèn)識(shí)后,教師可以直接出示這樣的習(xí)題讓學(xué)生判斷:正方體的體積和它的底面積是否成正比例?為什么?學(xué)生判斷并說(shuō)明理由的過(guò)程就是學(xué)生符號(hào)語(yǔ)言轉(zhuǎn)換的過(guò)程:正方體的體積÷它的底面積=正方體的高。如果正方體的棱長(zhǎng)(高)是一定的,那么,它的體積和底面積都是一定的,就不是變化的量。因此,正方體的體積和它的底面積不成正比例;如果正方體的體積和底面積都是變化的量,那么,正方體的高(棱長(zhǎng))也是變化的量,比值就不一定,正方體的體積和它的底面積仍然不成正比例。在此基礎(chǔ)上,教師引導(dǎo)學(xué)生思考有沒(méi)有類似的例子。學(xué)生經(jīng)過(guò)討論和交流,發(fā)現(xiàn)了類似的例子——正方形的面積和它的邊長(zhǎng),圓的面積和它的半徑……

    三種數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述數(shù)學(xué)概念各有優(yōu)缺點(diǎn):用文字語(yǔ)言表述概念可能精練但比較抽象,用圖表語(yǔ)言表述概念可能直觀但比較繁雜,用符號(hào)語(yǔ)言表述可能比較簡(jiǎn)潔但難以理解。在“成正比例的量”概念教學(xué)中,教師巧妙地抓住三種數(shù)學(xué)語(yǔ)言的特點(diǎn),引導(dǎo)學(xué)生在概念應(yīng)用中進(jìn)行靈活轉(zhuǎn)換:符號(hào)語(yǔ)言準(zhǔn)確簡(jiǎn)潔地表示概念的本質(zhì)內(nèi)涵;圖表語(yǔ)言直觀易懂地呈現(xiàn)了兩種量以及兩種量的變化,降低學(xué)生理解表達(dá)的難度,有利于學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上用文字語(yǔ)言表達(dá)數(shù)學(xué)概念。三種數(shù)學(xué)語(yǔ)言恰當(dāng)呈現(xiàn)并適切轉(zhuǎn)換,多元表征的運(yùn)用,不僅有助于學(xué)生深刻理解概念,而且能有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)語(yǔ)言轉(zhuǎn)換能力。三種數(shù)學(xué)語(yǔ)言形式既各自獨(dú)立又相互轉(zhuǎn)化。教師引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷多次數(shù)學(xué)語(yǔ)言轉(zhuǎn)換,學(xué)生才能真正理解概念的本質(zhì)內(nèi)涵。

    總之,數(shù)學(xué)概念是人類對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系的簡(jiǎn)明、概括的反映,并且由反映概念本質(zhì)特征的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示,從而使數(shù)學(xué)有比其他學(xué)科更加簡(jiǎn)明、準(zhǔn)確的表述形式。教師不僅要引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)例中發(fā)現(xiàn)共性并形成概念,而且要正確把握概念的內(nèi)涵與外延,為此可以提供一些相關(guān)正例,讓學(xué)生進(jìn)一步觀察與分析,更要呈現(xiàn)一些與正例明顯不同的反例,幫助學(xué)生強(qiáng)化對(duì)概念的理解。掌握數(shù)學(xué)概念與轉(zhuǎn)換數(shù)學(xué)語(yǔ)言是一個(gè)相輔相成、內(nèi)在統(tǒng)一的過(guò)程。

    (作者單位:江蘇省興化市教師發(fā)展中心)

    參考文獻(xiàn)

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