以“問”驅(qū)研，拓展思維空間

洪靜

數(shù)學課堂以“問題鏈”的形式教學，簡單地說，就是實施“一題多變、一題多解、多題一解”的教學模式，把固化的問題多點化、靈活化，正向思維變?yōu)槟嫦蛩季S等。本文以蘇科版數(shù)學七（下）“證明”習題課為例，談一談題目變式對培養(yǎng)學生發(fā)散性思維的作用。

一、 播下思維的“種”——模型呈現(xiàn)

思維的“種子”是指數(shù)學中的基礎知識點、基本思想方法與基本技能。教師用思維的“種子”解決數(shù)學學習中的基本問題，為培養(yǎng)學生發(fā)散性思維打下堅實的基礎，在數(shù)學基本模型、基本數(shù)學方法上實行分類思想，進行方法教學、模型教學。比如，江蘇省徐州市銅山區(qū)2019年七（下）數(shù)學期末試題第26題（如例題）就很好地詮釋了這一點。

例 如圖1，在△ABC中，BE、CD分別為∠ABC、∠ACB的角平分線，交點為O。（1）若∠ABC=70°，∠ACB=50°，求∠BOC的度數(shù)；（2）若∠A =40°，求∠BOC的度數(shù)；（3）若∠BOC=110°，求∠A的度數(shù)；（4）若∠A =n°，求∠BOC的度數(shù)。

本題屬于問題遞進式題目，每一問都層層深入。第（1）問可利用角平分線定義及三角形內(nèi)角和定理解決；第（2）問在第（1）問的基礎上進行了變式，利用三角形內(nèi)角和過渡，進而解決該問題；第（3）問是第（2）問的逆向思考，條件結論互換位置，步驟相反，培養(yǎng)學生逆向思維能力；第（4）問在第（2）問的基礎上，由特殊到一般，只需用n°替代40°就能順利解決。例題通過這樣的設置幫助學生回顧基礎知識點，找到思維的“種子”，為后面問題變換的探索做好鋪墊，從而更好地實現(xiàn)∠A與∠BOC之間關系的探索。

設計意圖：例題中的“問題串”將各個知識點進行有機融合，幫助學生理解抽象的知識點，并能引導學生從多個角度去解決問題。在此過程中，學生能夠?qū)W會思考、分析，并有意識地發(fā)展自己的發(fā)散思維能力，遵循“逐步推進、螺旋上升、不斷深化”的認識規(guī)律，使探究更具有操作性，能站在更高層次重新領悟所學知識，讓學習變得更加主動、有效和持久。

二、發(fā)出思維的“芽”——條件改變

思維的“芽”是指在數(shù)學基本題型已經(jīng)解決的基礎上進行轉化拓展，通過變換題目條件或結論，提出有梯度的問題，但梯度不大，讓學生能運用原題型的思想方法，進行簡單的轉化，充分發(fā)揮學生的自主探究能力，激發(fā)學生解決此類數(shù)學題型的欲望，培養(yǎng)發(fā)散性思維能力。

變式1 如圖2，在△ABC中，（1）若∠ACB=70°，∠ACD=∠EBC，求∠BOC的度數(shù)；（2）若∠A=40°，∠ABC=∠ACB，∠ACD=∠EBC，求∠BOC的度數(shù)。

變式1中的問題（1）是在例題的第（1）（2）兩問的基礎上進行了主干條件的變化，在思維“種子”的啟發(fā)下，利用轉化與整體的思想方法催生思維的“芽”，促進問題解決；而問題（2）是在問題（1）基礎上逆向轉化成問題（1）的條件，再用整體思想去解決。本題通過變換題目的條件，由局部走向整體，將知識形成系統(tǒng)，提升學生思維的靈活性。

設計意圖：數(shù)學學習是以思維活動為核心的學習。教師的“教”應建立在促進學生深度學習的基礎上，讓學生能夠運用基本知識、基本技能解決數(shù)學問題。恰當?shù)淖兪接柧毑粌H能幫助學生鞏固基礎知識，及時反饋教學信息，還能激勵學生積極參與，激發(fā)學生深入思考，使之創(chuàng)造力發(fā)揮出來，啟迪學生智慧。

三、抽出思維的“枝”——圖形變換

思維的“枝”是指枝干問題與主干問題相連，是從主干問題向外延伸的重要途徑。主干與枝干相互聯(lián)系、相互依托，形成一種內(nèi)在思維的脈絡，在圖形變換中，可使學生思維向不同方向延伸、拓展。

變式2 如圖3，∠A=70°，BO、CO分別是△ABC外角∠CBD、∠BCE的角平分線，它們交于點O，求∠BOC的度數(shù)。

變式2在例題和變式1的基礎上改變了圖的形狀，將已知條件中兩個內(nèi)角的角平分線轉換為兩個外角的角平分線，培養(yǎng)學生的識圖能力，需要學生用轉化的思想改變思考方式，橫向提高學生發(fā)散思維能力。變式2沿用了探索最基礎的知識和方法——用思維的“芽”來解決，從內(nèi)角問題轉化成外角問題，把主干問題向外延伸，抽出思維的“枝”，從而形成一種內(nèi)在的思維脈絡，最終實現(xiàn)∠A與∠BOC之間關系的探索，建立“兩線兩夾角”模型。

設計意圖：變式2通過變圖訓練，設計一定“坡度”，提升學生發(fā)散性思維，幫助學生將解題視角由整體走向局部。這種從橫向角度提出問題的方法，不僅對學生的解題能力有幫助，而且有利于培養(yǎng)學生思維的發(fā)散性。

四、長出思維的“樹” ——探究發(fā)散

思維的“樹”是整個枝干由內(nèi)向外展開，深層次地引發(fā)學生思考與探究。學生思考的最大障礙是復雜問題，而思維的“樹”則能把復雜問題簡單化，通過分解與轉化，改變研究方法，快速找出問題的關鍵，提高思維的發(fā)散性與歸納性，從而輕松地解決問題，呈現(xiàn)出完整的思維結構。

變式3 如圖4，∠A=80°，BO、CO分別是△ABC

內(nèi)角∠ABC及外角∠ACD的角平分線，它們交于點O。求∠BOC的度數(shù)。

變式3與前幾題提出的問題探索、求解的方法有所不同，不再求∠OBC與∠OCB度數(shù)的和，而是用到前幾題探討出的結論，啟發(fā)學生思考。此題利用三角形外角的性質(zhì)及等式的性質(zhì)進行變形，從而探索出∠OBC和∠OCB之間的關系，進而求出∠BOC的度數(shù)，推進∠A與∠BOC之間關系的探索，把“兩線兩夾角”模型進行了變形。

設計意圖：本題通過對“兩線兩夾角”模型進行變形，改變了學生在解題時依葫蘆畫瓢的模式，幫助他們克服靜止看問題的習慣，激發(fā)學生探究熱情，改善了學生的思維方式，有利于提高學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的意識和能力，培養(yǎng)學生思維的敏捷性和批判性。這種承上啟下、由淺入深、由易到難、循序漸進的設計，恰到好處地調(diào)動了學生數(shù)學發(fā)散性思維的探究能力，讓不同水平的學生都能得到一定發(fā)展，體會解題的樂趣。

五、開出思維的“花”——類比提升

類比思想是數(shù)學重要的解題思想，通過對題目反復錘煉、變式拓展、類比提升、精心整合，把創(chuàng)造性發(fā)散思維模式向?qū)W生最近發(fā)展區(qū)無限散發(fā)，思維的“花”定將綻放。

變式4 如圖5，∠MON=90°，點A、B分別在OM、ON上運動（不與點O重合），BC是∠ABN的角平分線，BC的反向延長線交∠OAB的角平分線于點D。試問：隨著點A、B的運動，∠D的大小會變嗎？如果不會，求∠D的度數(shù)；如果會，請說明理由。

變式4從圖的形狀上看與變式3有所不同，甚至感覺沒聯(lián)系。但如果把圖5順時針轉動到圖6這個位置，并且延長線段AB，便會發(fā)現(xiàn)，此題其實就是變式3的演變。此題通過引導學生運用已有的知識經(jīng)驗，將復雜圖形轉化為簡單的基本圖形，體現(xiàn)基本圖形在解決問題中的作用，鞏固思維成果。

設計意圖：變式4較變式3難度有所增加，將“兩線兩夾角”模型和旋轉結合起來，再一次升華了“兩線兩夾角”模型，讓學生明白此模型應用的廣泛性，理清題目核心條件之間的聯(lián)系，從而將整體性的結構圖形投射到自己的認知中，在延伸中發(fā)現(xiàn)基本圖形，提升自己的思維品質(zhì)。這不僅體現(xiàn)在題目本身的開放性上，也體現(xiàn)了選題的指向性，提高學生學習能力。

（作者單位：江蘇省徐州淮海國際港務區(qū)柳新鎮(zhèn)中心中學）