合理設(shè)計(jì)探究問(wèn)題，用數(shù)學(xué)的方式育人

余葉軍 楊廣清

大部分教師往往采用有序評(píng)講的方式進(jìn)行習(xí)題課的教學(xué)，這種方式缺少知識(shí)的重新架構(gòu)、宏觀(guān)的視角、整體的思維，與當(dāng)下大單元教學(xué)的觀(guān)念背道而馳。要想切實(shí)地解決這些問(wèn)題，習(xí)題課教學(xué)就要在知識(shí)的整體結(jié)構(gòu)、核心內(nèi)容和重要思想上做文章，讓學(xué)生既見(jiàn)樹(shù)木也見(jiàn)森林；要以知識(shí)為載體，思想方法為核心，提高解決問(wèn)題的能力為切入點(diǎn)，最大限度地讓學(xué)生在課堂學(xué)習(xí)中承擔(dān)主人翁角色，有效體現(xiàn)思維的生長(zhǎng)性、深刻性、靈活性、創(chuàng)造性，從而落實(shí)立德樹(shù)人的根本任務(wù)，彰顯數(shù)學(xué)學(xué)科育人的價(jià)值。

一、教學(xué)背景

本節(jié)課是一節(jié)“鄉(xiāng)村共同體”聯(lián)合示范課，教學(xué)對(duì)象為一所學(xué)校的七年級(jí)學(xué)生。本節(jié)示范課教學(xué)目標(biāo)是學(xué)生通過(guò)對(duì)數(shù)軸的再認(rèn)識(shí)，感受數(shù)形結(jié)合的思想，建立方程的模型，提升數(shù)學(xué)思考能力，為后續(xù)平面直角坐標(biāo)系的學(xué)習(xí)作鋪墊。由此明確了本節(jié)課的教學(xué)理念是在活動(dòng)中生成，在生成中成長(zhǎng)。本節(jié)課的教學(xué)主線(xiàn)是讓學(xué)生說(shuō)一說(shuō)、畫(huà)一畫(huà)、算一算，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題、歸納總結(jié)方法，最后進(jìn)行相關(guān)知識(shí)的應(yīng)用。

二、教學(xué)過(guò)程

師：同學(xué)們，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了數(shù)軸的相關(guān)知識(shí)，請(qǐng)你說(shuō)說(shuō)你心中的數(shù)軸是什么樣子的。

生1：一條有正方向的直線(xiàn)。

生2：還有原點(diǎn)和單位長(zhǎng)度。

師：請(qǐng)你畫(huà)一條數(shù)軸，說(shuō)說(shuō)數(shù)軸可以幫助我們解決什么問(wèn)題。

生3：正數(shù)、0、負(fù)數(shù)可以在數(shù)軸上有序排列。

生4：可以利用數(shù)軸比較數(shù)的大小。

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生通過(guò)想一想數(shù)軸的樣子，在腦海中直觀(guān)感受數(shù)軸的形象；再通過(guò)畫(huà)一畫(huà)讓這種感受成為現(xiàn)實(shí)，也提高了作圖的能力；最后，通過(guò)說(shuō)一說(shuō)，進(jìn)一步體現(xiàn)理性思維。

活動(dòng)探究1? 讀圖（圖1）獲取信息：

師：我們能從圖1中得到哪些信息？

生5：我能得出A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)表示的數(shù)分別是-3、-1、2、3。

生6：這四個(gè)數(shù)的大小關(guān)系從圖中能直接看出。

生7：能求出每個(gè)數(shù)的絕對(duì)值。

師：絕對(duì)值的定義是什么？

生8：絕對(duì)值表示數(shù)軸上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離。

師：那么數(shù)軸上點(diǎn)A到點(diǎn)B的距離是多少？

生9：點(diǎn)A到點(diǎn)B的距離是2。

師：你是怎么得出的？

生9：我是從圖中直接看出來(lái)的。

師：非常棒！借助數(shù)軸，直接看出，幾何直觀(guān)，一目了然。請(qǐng)同學(xué)們看圖2，此時(shí)數(shù)軸上點(diǎn)A和點(diǎn)B的距離是多少？還能直接看出來(lái)嗎？

學(xué)生一臉茫然，隨后陷入沉思，小組交流，教師巡視。

師：有想法了嗎？

生10：AB=b-a。

師：把你的想法和同學(xué)們分享一下。

生10：我是借助于圖1，多舉幾個(gè)特殊的例子，然后由特殊到一般，歸納出一般性的結(jié)論。

師：我發(fā)現(xiàn)了有部分同學(xué)的結(jié)果是a-b，正確嗎？

生11：正確，因?yàn)閍-b是負(fù)數(shù)了，距離不能為負(fù)數(shù)。

師：距離可以用之前學(xué)的什么知識(shí)來(lái)表達(dá)？

生12：絕對(duì)值。我們可以求a-b的絕對(duì)值。

師：那么，我們可不可以把結(jié)論的形式統(tǒng)一呢？

生13：AB=[a-b]或[b-a]。

設(shè)計(jì)意圖：看圖說(shuō)話(huà)是學(xué)生將圖形語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言的重要途徑。這一環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)了一個(gè)開(kāi)放性的獲取圖形信息的問(wèn)題，既是對(duì)學(xué)生數(shù)軸知識(shí)的再一次喚醒，又是對(duì)學(xué)生思維能力的再一次提升。教師讓學(xué)生用代數(shù)式表示線(xiàn)段長(zhǎng)，展現(xiàn)不一樣的思考方式，最后通過(guò)一個(gè)一致性的表達(dá)去統(tǒng)一思想，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)結(jié)論之美。在滲透數(shù)形結(jié)合思想的同時(shí)，也為后續(xù)解決問(wèn)題提供了生長(zhǎng)點(diǎn)。

活動(dòng)探究2 觀(guān)察圖3，回答下列問(wèn)題：

（1）[4-1]表示哪兩個(gè)點(diǎn)之間的距離？[4-（-1）]呢？

（2）你會(huì)用式子表示A、C兩點(diǎn)之間的距離嗎？

（3）數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)是-3，另有一點(diǎn)P表示的數(shù)是x，你會(huì)用式子表示A、P兩點(diǎn)之間的距離嗎？

（4）你能說(shuō)說(shuō)[x+1]表示的含義嗎？

（5）若x表示一個(gè)有理數(shù)，你能說(shuō)說(shuō)[x-1]+[x+3]表示的含義嗎？觀(guān)察數(shù)軸，你還有什么想法？

師：同學(xué)們對(duì)哪一個(gè)問(wèn)題疑惑最大？

生14：我們小組對(duì)問(wèn)題（5）疑惑最大。

師：其他小組是否也有同樣的疑惑？舉手示意。

師：?jiǎn)栴}（5）與問(wèn)題（4）有聯(lián)系嗎？我們的經(jīng)驗(yàn)在哪里？可以怎樣變形呢？

生15：式子[x-1]+[x+3]可以變化為[x-1]+[x-（-3）]。

師：很好，離成功不遠(yuǎn)了，這樣我們就可以用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言來(lái)表達(dá)這個(gè)式子的含義了。

生16：從數(shù)軸上看，我們可以理解為x到1和x到-3之間的距離和。

師：表達(dá)得非常準(zhǔn)確。我們?cè)儆米兓难酃馊ブ庇^(guān)感受一下，在x變化的過(guò)程中，x到1和x到-3之間的距離和怎么變化呢？

生17：利用數(shù)軸，我發(fā)現(xiàn)x在1和-3之間時(shí)距離和最小，最小值為4。所以[x-1]+[x+3]最小值為4，沒(méi)有最大值。

師：?jiǎn)栴}（5）從數(shù)的角度很難解決，因?yàn)樯婕捌撸ㄏ拢┑囊辉淮尾坏仁胶头诸?lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，難度較大。因此，我們可以根據(jù)式子的特征聯(lián)想到數(shù)軸，通過(guò)幾何直觀(guān)，利用數(shù)形結(jié)合來(lái)解決。

設(shè)計(jì)意圖：活動(dòng)探究2以問(wèn)題串的形式給學(xué)生搭建思維的“腳手架”，讓不同層次的學(xué)生都能體會(huì)到成功的喜悅，實(shí)現(xiàn)自我價(jià)值。教師以問(wèn)題串的形式，讓探究走向縱深，體現(xiàn)了深度教學(xué)，促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生高階思維，讓學(xué)生在已有數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，積極思考，主動(dòng)利用類(lèi)比去探究、去構(gòu)建，激發(fā)數(shù)學(xué)思維活力。

活動(dòng)探究3 觀(guān)察圖4，獲取信息：

師：AC+BC等于多少？

生18：AC+BC=8。

師：若點(diǎn)P在線(xiàn)段AB上，則PA+PB等于多少？

生19：PA+PB等于8。

師：若點(diǎn)P在數(shù)軸上，且PA+PB=10，你能求出點(diǎn)P表示的數(shù)嗎？

生20：PA+PB=10時(shí)，點(diǎn)P有兩個(gè)位置。若點(diǎn)P在點(diǎn)A的左側(cè)，則點(diǎn)P表示的數(shù)是-4；若點(diǎn)P在點(diǎn)B的右側(cè)，則點(diǎn)P表示的數(shù)是6。

生21：借助前面的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，我可以設(shè)點(diǎn)P在數(shù)軸上表示的數(shù)是x，因?yàn)镻A+PB=10，可以得出[x-（-3）]+[x-5]=10，然后分類(lèi)討論求解。

師：兩位同學(xué)經(jīng)過(guò)思考都形成了自己的解題方法，成功利用本節(jié)課的知識(shí)解決了問(wèn)題。同學(xué)們能否根據(jù)圖4，在剛才的基礎(chǔ)上再提出一個(gè)問(wèn)題呢？

生22：若點(diǎn)P在數(shù)軸上，求PA+PB的最小值。

生23：若點(diǎn)P在數(shù)軸上表示的數(shù)是x，當(dāng)PA+PB有最小值時(shí)，這個(gè)x的位置確定嗎？

生24：若點(diǎn)P在數(shù)軸上，PA+PB+PC有沒(méi)有最值？

師：同學(xué)們的問(wèn)題都非常具有創(chuàng)新性和挑戰(zhàn)性。請(qǐng)同學(xué)們利用課后時(shí)間相互交流，解決問(wèn)題。

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)活動(dòng)探究3的學(xué)習(xí)，學(xué)生感受到由特殊到一般、數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論的思想，進(jìn)一步體會(huì)知識(shí)間的聯(lián)系，建立方程的模型。教師讓學(xué)生利用自己的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)提出問(wèn)題，培養(yǎng)了學(xué)生的質(zhì)疑精神，讓學(xué)生自己分析問(wèn)題，解決問(wèn)題，帶著問(wèn)題走向課后，實(shí)現(xiàn)由課堂走向課后的教學(xué)評(píng)價(jià)體系，讓評(píng)價(jià)體系更加完整。

三、教學(xué)反思

1.合理設(shè)計(jì)探究問(wèn)題，促進(jìn)學(xué)生整體領(lǐng)悟

“雙減”背景下，如何讓學(xué)生在課堂學(xué)習(xí)中獲得更多，在課后自我發(fā)展，構(gòu)建生長(zhǎng)型習(xí)題課就尤為重要。生長(zhǎng)型習(xí)題課需要學(xué)生對(duì)所學(xué)的知識(shí)有著很好的整體領(lǐng)悟能力，而合理設(shè)計(jì)探究問(wèn)題是促進(jìn)學(xué)生整體領(lǐng)悟的一個(gè)有效路徑。如活動(dòng)探究1，教師通過(guò)一系列的問(wèn)題串，不斷地讓學(xué)生去回憶數(shù)軸的定義、用途，為后續(xù)深度探究奠定了堅(jiān)實(shí)的知識(shí)基礎(chǔ)。學(xué)生通過(guò)自己的合理探究，得出了數(shù)軸上任意兩點(diǎn)之間的距離表達(dá)式，歸納出后續(xù)應(yīng)用的結(jié)論。在有序的思考中，學(xué)生經(jīng)歷問(wèn)題解決的完整思維生長(zhǎng)過(guò)程，從而達(dá)到數(shù)學(xué)思維經(jīng)驗(yàn)化、能力化、成長(zhǎng)化。

2.合理設(shè)計(jì)探究問(wèn)題，促進(jìn)學(xué)生深度思考

促進(jìn)學(xué)生深度思考要以學(xué)生的實(shí)際能力為出發(fā)點(diǎn)，設(shè)計(jì)能引領(lǐng)學(xué)生思考、有梯度、有價(jià)值的問(wèn)題，讓問(wèn)題成為思維提升的有效著力點(diǎn)。如活動(dòng)探究2，以問(wèn)題串的形式呈現(xiàn)，問(wèn)題設(shè)計(jì)層層遞進(jìn)，探究難度逐步增加，思維要求逐步提升，能力要求逐步提高，一系列的問(wèn)題全方位地鍛煉了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。探究問(wèn)題時(shí)，不僅要求學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光去觀(guān)察，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維去思考，更要會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言去表達(dá)。比如“你能說(shuō)說(shuō)[x+1]表示的含義嗎？”這就需要學(xué)生有聯(lián)系地去學(xué)，整體地去想，在活動(dòng)中去深度探究，在深度學(xué)習(xí)中體會(huì)數(shù)學(xué)內(nèi)部是相互聯(lián)系的。

3.合理設(shè)計(jì)探究問(wèn)題，促進(jìn)學(xué)生質(zhì)疑評(píng)價(jià)

學(xué)生的質(zhì)疑是課堂教學(xué)寶貴的財(cái)富。對(duì)于同一個(gè)問(wèn)題，不同的學(xué)生往往會(huì)用不同的方法去思考，這就需要教師合理設(shè)計(jì)探究問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生去提煉、概括，尋找普適性的方法，然后舉一反三，產(chǎn)生遷移。在遷移過(guò)程中，教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)這種方法進(jìn)行再加工，從中提煉出可以適用于一般的、具有廣泛應(yīng)用性的數(shù)學(xué)思想方法。如活動(dòng)探究3，在前兩個(gè)活動(dòng)探究的基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生自主提出問(wèn)題——“若點(diǎn)P在數(shù)軸上，求PA+PB的最小值?！薄叭酎c(diǎn)P在數(shù)軸上表示的數(shù)是x，當(dāng)PA+PB有最小值時(shí)，這個(gè)x的位置確定嗎？”這樣的質(zhì)疑不是一開(kāi)始就具備的，而是在本節(jié)課一個(gè)個(gè)活動(dòng)層層探究后產(chǎn)生的，充分說(shuō)明本節(jié)課前面兩個(gè)活動(dòng)探究的學(xué)習(xí)是有價(jià)值的，體現(xiàn)了合理設(shè)計(jì)探究問(wèn)題的必要性。學(xué)生能夠有效地從數(shù)量特征聯(lián)想到幾何特征，從而把數(shù)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為形的問(wèn)題，創(chuàng)造性地利用形來(lái)解決數(shù)的問(wèn)題。在此過(guò)程中，學(xué)生感受到了成功的喜悅，培養(yǎng)了創(chuàng)新才能，激發(fā)創(chuàng)新意識(shí)，也進(jìn)一步體現(xiàn)了數(shù)學(xué)育人的方式。

（作者單位：1.江蘇省儀征市實(shí)驗(yàn)中學(xué)；2.江蘇省儀征市教師發(fā)展中心）