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    以數(shù)學(xué)思想引領(lǐng)公式探究

    2022-05-30 12:19:41金雪強(qiáng)
    關(guān)鍵詞:圓的面積極限類比

    金雪強(qiáng)

    摘要:數(shù)學(xué)教學(xué)不僅應(yīng)該讓學(xué)生“知其然”,還應(yīng)該讓學(xué)生“知其所以然”。圓的知識(shí)與學(xué)生以往學(xué)習(xí)的直線圖形的知識(shí)有著較大的差異。對(duì)于學(xué)生而言,從直線圖形的學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)向曲線圖形的學(xué)習(xí),不僅僅是學(xué)習(xí)內(nèi)容的轉(zhuǎn)變,更面臨著思維方式的轉(zhuǎn)變。教師可以數(shù)學(xué)思想引領(lǐng)學(xué)生開展公式探究,使其在舊知的基礎(chǔ)上推理出新的知識(shí)——圓的面積計(jì)算。具體地,可以類比思想引出探究思路,用轉(zhuǎn)化思想開展探究過程,借極限思想得出探究結(jié)論,展應(yīng)用意識(shí)深化探究成果。

    關(guān)鍵詞:小學(xué)數(shù)學(xué);《圓的面積》;類比;轉(zhuǎn)化;極限

    圓的面積有著固定的計(jì)算公式,學(xué)生只要記住公式就能輕松地完成計(jì)算,因而有些教師并不把“圓的面積”作為小學(xué)數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容展開教學(xué)。但是,數(shù)學(xué)教學(xué)不僅應(yīng)該讓學(xué)生“知其然”(知道圓的面積計(jì)算公式),還應(yīng)該讓學(xué)生“知其所以然”(探究圓的面積計(jì)算公式的推導(dǎo)過程)。圓的知識(shí)與學(xué)生以往學(xué)習(xí)的直線圖形的知識(shí)有著較大的差異。對(duì)于學(xué)生而言,從直線圖形的學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)向曲線圖形的學(xué)習(xí),不僅僅是學(xué)習(xí)內(nèi)容的轉(zhuǎn)變,更面臨著思維方式的轉(zhuǎn)變。教師可以數(shù)學(xué)思想引領(lǐng)學(xué)生開展公式探究,使其在舊知的基礎(chǔ)上推理出新的知識(shí)——圓的面積計(jì)算。相關(guān)的教學(xué)過程與思考如下:

    一、教學(xué)過程

    (一)以類比思想引出探究思路

    師某同學(xué)和媽媽一起購(gòu)買一塊圓形的玻璃來裝修臥室。玻璃按面積定價(jià),那圓形玻璃的面積應(yīng)當(dāng)如何計(jì)算呢?幫助這位同學(xué)解決這一問題,要用到我們今天要學(xué)習(xí)的內(nèi)容——圓的面積計(jì)算。學(xué)習(xí)圓的面積計(jì)算之前,我們先來回顧一下:之前我們學(xué)過哪些平面圖形?它們的面積計(jì)算公式是什么?這些公式又是怎樣推導(dǎo)出來的?先來說說長(zhǎng)方形的面積。

    生長(zhǎng)方形的面積計(jì)算公式是長(zhǎng)乘寬。我們是通過數(shù)方格的方法知道的,比如先數(shù)一行有6個(gè)方格,再數(shù)有4行,一共就有6乘4等于24個(gè)方格,所以長(zhǎng)方形的面積計(jì)算公式就是長(zhǎng)乘寬。

    師我們是通過數(shù)方格也就是數(shù)面積單位的方法得到長(zhǎng)方形的面積計(jì)算公式的。(出示圖1)把圓放到方格紙中,你能用數(shù)方格的方法算出它的面積嗎?

    生小扇形大約是12.5格,整個(gè)圓就是50格,即50平方厘米。

    師真棒!但這好像得不到圓的面積計(jì)算公式。不急,我們繼續(xù)回顧:我們是怎么研究平行四邊形的面積的?

    生我們是將平行四邊形轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形來研究的。

    師也就是說,研究平行四邊形的面積時(shí),我們將平行四邊形的面積轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形的面積。那么,三角形和梯形的面積呢?

    生都是轉(zhuǎn)化成平行四邊形的面積。

    師是的,在平行四邊形、三角形和梯形面積計(jì)算公式的推導(dǎo)中,都蘊(yùn)含著一個(gè)重要的數(shù)學(xué)思想——轉(zhuǎn)化,將“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”。而一般我們研究一個(gè)新的未知的圖形時(shí),也常常是將它轉(zhuǎn)化成研究過的已知的圖形。

    [說明:課始,教師帶領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)以往所學(xué)的幾何知識(shí),類比以往學(xué)過的長(zhǎng)方形、平行四邊形等圖形面積計(jì)算方法的得出過程,發(fā)現(xiàn)圓的面積計(jì)算方法的研究思路——轉(zhuǎn)化。]

    (二)用轉(zhuǎn)化思想開展探究過程

    師那么,圓能轉(zhuǎn)化成什么圖形呢?

    (學(xué)生小組討論。教師選擇典型思路展示交流。)

    生我們組想把圓轉(zhuǎn)化成平行四邊形。(展示做法,如圖2)我們將圓沿直徑剪開,再對(duì)半剪開,分成四個(gè)扇形,然后拼在一起。但這只是一個(gè)近似的平行四邊形。

    師為什么說是近似的呢?

    生它的上、下兩條邊是彎曲的,不直。

    師有什么辦法能夠讓這兩條邊變直呢?

    生可以再多剪幾刀,應(yīng)該會(huì)更像平行四邊形。

    師(課件演示把圓平均分成16份,再進(jìn)行拼接)確實(shí)更像平行四邊形了,但好像還是不直,還是有縫隙。我們可以怎么辦?

    生繼續(xù)分成更多份。

    [說明:發(fā)現(xiàn)可用轉(zhuǎn)化思想研究圓的面積計(jì)算方法之后,讓學(xué)生充分發(fā)揮主觀能動(dòng)性,探究可以轉(zhuǎn)化的圖形。學(xué)生有的參考“割圓術(shù)”的思路,將圓轉(zhuǎn)化為正方形、正六邊形;有的類比將平行四邊形剪拼成長(zhǎng)方形的思路,將圓剪拼成平行四邊形……對(duì)此,教師選取學(xué)生的典型思路展示交流,明確轉(zhuǎn)化的方向。]

    (三)借極限思想得出探究結(jié)論

    師(課件展示繼續(xù)等分圓的過程,最終定格于下頁(yè)圖3)可以看到,分割的份數(shù)越多,拼接成的新圖形上的縫隙就越小,該圖形就越像平行四邊形?,F(xiàn)在我們考慮一種理想化的情況:假如我們分割圓時(shí),分割的份數(shù)是無限的,那么它所拼接成的新的圖形上的縫隙就是無限小的,即邊是無限接近于直線的,新圖形的面積就是無限接近于圓的。此時(shí),拼成的是一個(gè)什么圖形?

    生長(zhǎng)方形。

    師(出示圖4)讓我們來看一看拼成的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬和原本的圓有什么聯(lián)系。

    (學(xué)生經(jīng)過觀察發(fā)現(xiàn)規(guī)律,紛紛回答:拼成的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是圓周長(zhǎng)的一半,寬是圓的半徑。)

    師那么應(yīng)該如何計(jì)算圓的面積呢?

    生圓周長(zhǎng)的一半可以用πr表示,所以,圓的面積=拼成的長(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)×寬=πr×r=πr2。

    [說明:當(dāng)學(xué)生意識(shí)到需要把圓平均分成更多的份數(shù),才能讓拼成的平行四邊形的一組對(duì)邊越來越直,所以利用極限思想把圓平均分成無數(shù)份,就可以拼成一個(gè)直的平行四邊形(長(zhǎng)方形)時(shí),圓的面積計(jì)算公式的推導(dǎo)也就順理成章了。]

    (四)展應(yīng)用意識(shí)深化探究成果

    師現(xiàn)在讓我們回到課始提出的問題:要幫助那位同學(xué)計(jì)算圓形玻璃的面積,我們需要知道哪些條件?用到哪些工具?

    生要計(jì)算圓形玻璃的面積,需要知道它的半徑。由于這個(gè)圓形玻璃的圓心很難準(zhǔn)確地確定,因此很難通過直接測(cè)量得到它的半徑。根據(jù)本節(jié)課我們探究的結(jié)果,可以用卷尺測(cè)量出這個(gè)圓形玻璃的周長(zhǎng),以公式反推出這個(gè)圓形玻璃的半徑,然后用圓的面積計(jì)算公式來計(jì)算該圓形玻璃的面積。

    [說明:課尾,讓學(xué)生應(yīng)用本節(jié)課的探究成果解決課始提出的問題,首尾呼應(yīng),形成完整的教學(xué)閉環(huán)。這不僅能夠促進(jìn)學(xué)生進(jìn)一步深化本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容,還能有效發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)。]

    二、教學(xué)思考

    《圓的面積》一課的教學(xué)重點(diǎn)絕不僅僅是讓學(xué)生記住圓的面積計(jì)算公式以及會(huì)用公式解決現(xiàn)實(shí)問題,更應(yīng)當(dāng)幫助學(xué)生養(yǎng)成數(shù)學(xué)思維,學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)思想。

    圓的面積計(jì)算看似和以往學(xué)習(xí)的知識(shí)都毫不相干,但是,教師引導(dǎo)學(xué)生把圓這個(gè)陌生的圖形轉(zhuǎn)化成以往學(xué)過的熟悉的圖形,通過用已有知識(shí)計(jì)算熟悉的圖形的面積反推如何去計(jì)算圓這個(gè)相對(duì)陌生的圖形的面積。這樣,促進(jìn)學(xué)生養(yǎng)成一種類比思維——面對(duì)陌生的數(shù)學(xué)問題時(shí),把“陌生”和“熟悉”相聯(lián)系,去已有的“武器庫(kù)”中尋找解決問題的“武器”。

    而本節(jié)課中,一種重要的“武器”就是轉(zhuǎn)化思想。類比之前平面圖形面積計(jì)算公式學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn),學(xué)生會(huì)想到將圓轉(zhuǎn)化為平行四邊形、長(zhǎng)方形、三角形、梯形等。教師選取典型的平行四邊形為探究的主線,引導(dǎo)學(xué)生開展深度探究。通過尋找剪拼成的平行四邊形(長(zhǎng)方形)與原來的圓的關(guān)系,總結(jié)圓的面積計(jì)算的一般性規(guī)律,學(xué)生自主推導(dǎo)出了圓的面積計(jì)算公式。這讓學(xué)生既知其然——知道如何計(jì)算圓的面積,更知其所以然——知道為什么這樣計(jì)算圓的面積。學(xué)生學(xué)會(huì)推理得到公式的方法,從某種意義上說,比學(xué)生會(huì)使用公式解決現(xiàn)實(shí)問題更為重要。

    盡管歷史上人類探索圓的面積計(jì)算公式的方法不同,但是不同中蘊(yùn)藏著相同——都希望“化曲為直”,即把圓這個(gè)曲邊圖形轉(zhuǎn)化為直邊圖形;而且在解決問題的具體過程中,都不可避免地涉及“無限接近”,即極限思想——這也是本節(jié)課所要滲透的一種重要的數(shù)學(xué)思想。對(duì)此,教師從學(xué)生的4等分作品出發(fā),用兒童化的語(yǔ)言——消除縫隙、使直線變平,幫助學(xué)生感受化曲為直過程中的極限思想。

    能運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)解決生活中的問題,是檢驗(yàn)學(xué)生真正學(xué)會(huì)知識(shí)的重要標(biāo)準(zhǔn),也是學(xué)以致用的具體表現(xiàn)?!读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》也繼續(xù)強(qiáng)調(diào)了學(xué)生應(yīng)用意識(shí)的培養(yǎng)。本節(jié)課尾,教師呼應(yīng)課始的問題,引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用本節(jié)課所學(xué)解決生活中的問題,幫助學(xué)生養(yǎng)成理論聯(lián)系實(shí)際的習(xí)慣,發(fā)展實(shí)踐能力。

    參考文獻(xiàn):

    [1] 劉加霞,張殿軍.數(shù)學(xué)表現(xiàn)性評(píng)價(jià)任務(wù)及其量規(guī)的設(shè)計(jì)與運(yùn)用——以“圓的認(rèn)識(shí)”為例[J].小學(xué)教學(xué)(數(shù)學(xué)版),2021(2).

    [2] 邵虹.找準(zhǔn)學(xué)習(xí)起點(diǎn),捕捉思維動(dòng)態(tài),滲透極限思想——“圓的面積”教學(xué)實(shí)踐[J].小學(xué)教學(xué)(數(shù)學(xué)版),2018(12).

    [3] 裴樹棟.“烙餅問題”要教學(xué)“計(jì)算公式”嗎——由“餅烙問題”教學(xué)引發(fā)的思考[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)(小學(xué)版),2015(1/2).

    [4] 車前.在公式推導(dǎo)中滲透數(shù)學(xué)思想——《圓的面積》新授課教學(xué)回顧[J].教育研究與評(píng)論(小學(xué)教育教學(xué)),2016(11).5,21,24,31,33,48,57,58,60,75,79-83,86

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