素養(yǎng)導(dǎo)向下學(xué)生思維能力、探究能力、做事能力的培養(yǎng)

莊宇

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱“新課標(biāo)”）明確指出，義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程以習(xí)近平新時(shí)代中國(guó)特色社會(huì)主義思想為指導(dǎo)，落實(shí)立德樹(shù)人根本任務(wù)，致力于實(shí)現(xiàn)義務(wù)教育階段的培養(yǎng)目標(biāo)，使得人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展，逐步形成適應(yīng)終身發(fā)展需要的核心素養(yǎng)。為此，義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)教育要關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)技能的理解和掌握、數(shù)學(xué)思維的形成和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累、理想信念和價(jià)值觀的引領(lǐng)，逐步形成核心素養(yǎng)。在目標(biāo)、內(nèi)容、方法和評(píng)價(jià)等方面體現(xiàn)數(shù)學(xué)課程的育人功能。

基于新課標(biāo)的新理念與新要求，數(shù)學(xué)教學(xué)重心將從重結(jié)果轉(zhuǎn)變?yōu)橹剡^(guò)程，學(xué)生的思維能力培養(yǎng)、探究能力培養(yǎng)和做事能力培養(yǎng)將成為最重要的教學(xué)任務(wù)，教學(xué)將從真實(shí)生活出發(fā)，在問(wèn)題解決過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐能力和創(chuàng)新精神。下面筆者以第四學(xué)段“圖形與幾何”領(lǐng)域?yàn)槔?，?duì)課程內(nèi)容的主要變化與實(shí)施建議進(jìn)行思考。

一、“圖形與幾何”領(lǐng)域的素養(yǎng)表現(xiàn)

課程目標(biāo)的確定，立足學(xué)生核心素養(yǎng)發(fā)展，集中體現(xiàn)數(shù)學(xué)課程育人價(jià)值。課程目標(biāo)的總目標(biāo)就是在“三會(huì)”的統(tǒng)領(lǐng)下，讓學(xué)生能夠獲得“四基”，即基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)；同時(shí)，在“三會(huì)”的統(tǒng)領(lǐng)下，提升“四能”，即發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。此外，新課標(biāo)還要求使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)具有好奇心和求知欲，了解數(shù)學(xué)的價(jià)值，欣賞數(shù)學(xué)美，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，建立學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，形成質(zhì)疑問(wèn)難、自我反思和勇于探索的科學(xué)精神。（如表1）

由此可以看出，核心素養(yǎng)也不是空中樓閣，它是我們所熟悉的“四基”“四能”的繼承和發(fā)展，如果沒(méi)有了“四基”“四能”，核心素養(yǎng)的培養(yǎng)就不能在現(xiàn)實(shí)當(dāng)中得到落實(shí)，也不能在學(xué)生身上正確達(dá)成。

“三會(huì)”所體現(xiàn)的核心素養(yǎng)具有整體性、一致性和階段性，在不同階段具有不同表現(xiàn)，小學(xué)階段側(cè)重對(duì)經(jīng)驗(yàn)的感悟，也就是強(qiáng)調(diào)意識(shí)；初中階段側(cè)重對(duì)概念的理解，也就是強(qiáng)調(diào)觀念。圖形與幾何領(lǐng)域聚焦的核心素養(yǎng)主要表現(xiàn)在初中階段更側(cè)重于抽象能力、空間觀念、幾何直觀、推理能力等核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，在小學(xué)階段更側(cè)重于符號(hào)意識(shí)、數(shù)感、量感、空間意識(shí)、幾何直觀、推理意識(shí)，它們之間具有一定的一致性和階段性。當(dāng)然，還有應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)、運(yùn)算能力等，只是初中階段“圖形與幾何”領(lǐng)域重點(diǎn)聚焦在抽象能力、空間觀念、幾何直觀、推理能力這四個(gè)方面。下面是新課標(biāo)對(duì)這四個(gè)行為表現(xiàn)給出的定義。

（一）抽象能力

抽象能力主要是指通過(guò)對(duì)現(xiàn)實(shí)世界中數(shù)量關(guān)系與空間形式的抽象，得到數(shù)學(xué)的研究對(duì)象，形成數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、法則和方法的能力。抽象能力的培養(yǎng)要求學(xué)生能夠從實(shí)際情境或跨學(xué)科的問(wèn)題中抽象出核心變量、變量的規(guī)律及變量之間的關(guān)系，并能夠用數(shù)學(xué)符號(hào)予以表達(dá)；能夠從具體的問(wèn)題解決中概括出一般結(jié)論，形成數(shù)學(xué)的方法與策略。教師要引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)抽象對(duì)于數(shù)學(xué)產(chǎn)生與發(fā)展的作用，感悟用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界的意義，形成數(shù)學(xué)想象力，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

例如，北師大版初中數(shù)學(xué)教材八年級(jí)下冊(cè)第六章“平行四邊形”的第四節(jié)“多邊形的內(nèi)角和外角和”的情境引入和“想一想”，教學(xué)中教師先要引導(dǎo)學(xué)生把實(shí)際問(wèn)題抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，再?gòu)奶厥獾奈暹呅纬霭l(fā)，尋找求解內(nèi)角和的方法。教師要通過(guò)“想一想”教學(xué)環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)，從“求解五邊形、六邊形的內(nèi)角和是多少？”過(guò)渡到“探求n邊形（n≥3且為自然數(shù)）的內(nèi)角和的方法”，得到“n邊形內(nèi)角和等于（n-2）×180°”。這個(gè)過(guò)程就是讓學(xué)生能夠從實(shí)際情境問(wèn)題中抽象出核心變量、變量的規(guī)律及變量之間的關(guān)系，并能夠用數(shù)學(xué)符號(hào)予以表達(dá)；能夠從具體的問(wèn)題解決中概括從特殊到一般的結(jié)論，形成數(shù)學(xué)的方法與策略。讓學(xué)生經(jīng)歷從感性思維到理性思維的過(guò)程，有助于發(fā)展“高度抽象思維”素養(yǎng)。

（二）推理能力

推理能力主要是指從一些事實(shí)和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其他命題或結(jié)論的能力。理解邏輯推理在形成數(shù)學(xué)概念、法則、定理和解決問(wèn)題中的重要性，初步掌握推理的基本形式和規(guī)則；對(duì)于一些簡(jiǎn)單問(wèn)題，能通過(guò)特殊結(jié)果推斷一般結(jié)論；理解命題的結(jié)構(gòu)與聯(lián)系，探索并表述論證過(guò)程；感悟數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，初步形成邏輯表達(dá)與交流的習(xí)慣。推理能力有助于逐步養(yǎng)成重論據(jù)、合乎邏輯的思維習(xí)慣，形成實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度與理性精神。

例如，北師大版教材八年級(jí)上冊(cè)第七章“平行線的證明”的第三節(jié)和第五節(jié)的教學(xué)內(nèi)容，其中平行線的判定的學(xué)習(xí)過(guò)程讓學(xué)生經(jīng)歷基于“同位角相等，兩直線平行”的基本事實(shí)出發(fā)，推出其他判定方法的過(guò)程。而三角形內(nèi)角和定理的學(xué)習(xí)則經(jīng)歷了從小學(xué)的探索、發(fā)現(xiàn)到初中的有邏輯的證明這個(gè)過(guò)程，讓學(xué)生理解命題的結(jié)構(gòu)與聯(lián)系，探索并表述論證過(guò)程；感悟數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，發(fā)展學(xué)生推理能力。在小學(xué)學(xué)段，推理能力的培養(yǎng)主要是合情推理為主，即通過(guò)類比、歸納方法獲取數(shù)學(xué)結(jié)論；在初中學(xué)段，則是通過(guò)類比、歸納獲得一個(gè)數(shù)學(xué)猜想，然后再通過(guò)演繹推理論證猜想的正確性。

（三）空間觀念

空間觀念主要是指對(duì)空間物體或圖形的形狀、大小及位置關(guān)系的認(rèn)識(shí)，要求學(xué)生能夠根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實(shí)際物體；想象并表達(dá)物體的空間方位和相互之間的位置關(guān)系；感知并描述圖形的運(yùn)動(dòng)和變化規(guī)律。空間觀念有助于理解現(xiàn)實(shí)生活中空間物體的形態(tài)與結(jié)構(gòu)，是形成空間想象力的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)。

例如，北師大版教材七年級(jí)上冊(cè)第一章“豐富的圖形世界”第一節(jié)“生活中的立體圖形”中“想一想”的內(nèi)容是：下面的物體可以近似地看成由一些常見(jiàn)幾何體組合而成，你能找出其中常見(jiàn)的幾何體嗎？你還能舉出其他組合幾何體的例子嗎？這個(gè)活動(dòng)環(huán)節(jié)的教學(xué)內(nèi)容體現(xiàn)的就是“能夠根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形”；有助于對(duì)學(xué)生空間觀念的培養(yǎng)，實(shí)際上這其中也蘊(yùn)含著抽象能力的培養(yǎng)。

再如，北師大版教材七年級(jí)上冊(cè)第一章“豐富的圖形世界”的第四節(jié)“從三個(gè)方向看物體的形狀”中的“議一議”：一個(gè)幾何體由幾個(gè)大小相同的小立方塊搭成，從上面和從左面看到的這個(gè)幾何體的形狀圖（如圖1所示），請(qǐng)搭出滿足條件的幾何體，你搭的幾何體由幾個(gè)小立方塊構(gòu)成？與同伴進(jìn)行交流。

這個(gè)活動(dòng)設(shè)計(jì)體現(xiàn)的就是“根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實(shí)際物體”，這有助于對(duì)學(xué)生空間觀念的培養(yǎng)。

（四）幾何直觀

幾何直觀主要是指運(yùn)用圖表描述和分析問(wèn)題的意識(shí)與習(xí)慣。能夠感知各種幾何圖形及其組成元素，依據(jù)圖形的特征進(jìn)行分類；根據(jù)語(yǔ)言描述畫(huà)出相應(yīng)的圖形，分析圖形的性質(zhì)；建立形與數(shù)的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問(wèn)題的直觀模型；利用圖表分析實(shí)際情境與數(shù)學(xué)問(wèn)題，探索解決問(wèn)題的思路。幾何直觀有助于把握問(wèn)題的本質(zhì)，明晰思維的路徑。

如圖2，將一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形紙片分割成7個(gè)部分，部分①是邊長(zhǎng)為1的正方形紙片面積的一半，部分②是部分①面積的一半，部分③是部分②面積的一半，依次類推。

（1）陰影部分的面積是多少？

（2）受此啟發(fā)，你能求出[12] + [14] + [18] + … + [126]的值嗎？

此題為北師大版教材七年級(jí)上冊(cè)第二章“有理數(shù)及其運(yùn)算”第九節(jié)“有理數(shù)的乘方”課后習(xí)題的設(shè)置，培養(yǎng)的就是學(xué)生運(yùn)用圖形描述和分析問(wèn)題的意識(shí)與習(xí)慣；有助于學(xué)生把握問(wèn)題的本質(zhì)，明晰思維的路徑，感悟數(shù)形結(jié)合思想，增強(qiáng)幾何直觀能力。

二、“圖形與幾何”領(lǐng)域的主要變化

（一）體例上的變化

新課標(biāo)在尺規(guī)作圖的安排上，改變了相關(guān)內(nèi)容的呈現(xiàn)位置，突出尺規(guī)作圖的工具性。新課標(biāo)中尺規(guī)作圖的學(xué)習(xí)內(nèi)容不再單獨(dú)集中在同一個(gè)位置呈現(xiàn)，而是把尺規(guī)作圖回歸到具體的章節(jié)中，更突出尺規(guī)作圖的工具性作用，進(jìn)一步規(guī)范與加強(qiáng)尺規(guī)作圖的教學(xué)，強(qiáng)化了幾何直觀。在課程內(nèi)容的結(jié)構(gòu)上，新課標(biāo)增加了學(xué)業(yè)要求和教學(xué)提示，堅(jiān)持“教—學(xué)—評(píng)”一致性。不僅是圖形與幾何領(lǐng)域，其他領(lǐng)域也都是相應(yīng)地增加了學(xué)業(yè)要求與教學(xué)提示部分。新課標(biāo)將各主題的每個(gè)內(nèi)容全部按照“內(nèi)容要求”“學(xué)業(yè)要求”“教學(xué)提示”三方面給出課程內(nèi)容的相應(yīng)要求。學(xué)業(yè)要求是要求我們要知道學(xué)到什么程度，教學(xué)提示是要求教師應(yīng)該怎樣去教學(xué)。在知識(shí)領(lǐng)域的聯(lián)系上，鏈接了項(xiàng)目式學(xué)習(xí)活動(dòng)，實(shí)現(xiàn)不同領(lǐng)域?qū)W科內(nèi)容的整體性。在綜合與實(shí)踐領(lǐng)域中和圖形與幾何領(lǐng)域?qū)?yīng)的內(nèi)容是“繪制公園平面地圖” 項(xiàng)目式學(xué)習(xí)活動(dòng)。通過(guò)這樣的整體性教學(xué)活動(dòng)安排，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供載體，使學(xué)生在感悟數(shù)學(xué)意義的同時(shí)，發(fā)展學(xué)科素養(yǎng)。

（二）內(nèi)容上的變化

“圖形與幾何”領(lǐng)域共有三個(gè)主題，即圖形的性質(zhì)、圖形的變化、圖形與坐標(biāo)。與《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》相比，新課標(biāo)在該領(lǐng)域的“內(nèi)容要求”部分變化不是很大，主要變化如下頁(yè)表2所示。

由上表可以看出，新課標(biāo)在該領(lǐng)域加強(qiáng)了尺規(guī)作圖，強(qiáng)化了幾何直觀，更加重視學(xué)生空間觀念和空間想象力的培養(yǎng)，引導(dǎo)學(xué)生理解歐幾里得平面幾何的基本思想，感悟幾何體系的基本框架。

三、“圖形與幾何”領(lǐng)域主體內(nèi)容實(shí)施策略

（一）加強(qiáng)尺規(guī)作圖，培養(yǎng)實(shí)踐能力，增強(qiáng)幾何直觀

初中階段的尺規(guī)作圖教學(xué)不能僅停留在“教師示范作法，學(xué)生模仿作圖”的實(shí)施水平，這樣缺乏單元整體的系統(tǒng)設(shè)計(jì)，缺乏數(shù)學(xué)思維的深度參與，實(shí)際上是對(duì)尺規(guī)作圖教學(xué)水平要求的降低，更是對(duì)尺規(guī)作圖在幫助學(xué)生有效建立幾何直觀等提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的育人價(jià)值上的弱化。尺規(guī)作圖的教學(xué)一定要明確方向，轉(zhuǎn)變觀念，就是不僅知道怎么做，還要知道為什么這樣做。在尺規(guī)作圖和畫(huà)圖的教學(xué)中，整體設(shè)計(jì)尺規(guī)作圖教學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生在“做中學(xué)”“做中思”“做中創(chuàng)”，在活動(dòng)中不斷積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，將操作和推理有機(jī)的融合，真正實(shí)現(xiàn)從直觀到抽象，從意識(shí)到能力的過(guò)渡，充分發(fā)揮尺規(guī)作圖在建立幾何直觀等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)方面的育人價(jià)值。下面通過(guò)新課標(biāo)中給出的樣例進(jìn)一步闡述。

【樣例73-尺規(guī)作圖：垂直平分線 】

1.作一條線段的垂直平分線。如圖3（a）所示，在透明紙上畫(huà)出線段AB，把透明紙對(duì)折使點(diǎn)A與B重合，可以直觀判斷折痕是線段AB的垂直平分線；分析折痕特征，可以知道，折痕上任意一點(diǎn)到點(diǎn)A和B的距離相等。依據(jù)這個(gè)特征作圖，分別以點(diǎn)A和B為圓心，以超過(guò)線段AB長(zhǎng)度一半的長(zhǎng)度為半徑，在線段AB的兩側(cè)分別畫(huà)弧，得到交點(diǎn)C和D，作過(guò)點(diǎn)C和D的直線與線段AB交于點(diǎn)M。可以驗(yàn)證，畫(huà)出的直線與之前的折痕重合。因此，點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn)，∠AMC=∠BMC=90°。所以，過(guò)點(diǎn)C和D的直線就是所要求的垂直平分線。

2.過(guò)一點(diǎn)作已知直線的垂線。這是上一個(gè)作圖問(wèn)題的直接推論。設(shè)給定的點(diǎn)P和給定的直線l如圖3（b）所示，以P為圓心作圓弧交直線l于A和B兩點(diǎn)，然后作線段AB的垂直平分線，這也是給定直線的垂線。

通過(guò)此樣例可知，尺規(guī)作圖的學(xué)習(xí)既是知識(shí)的建構(gòu)與技能的訓(xùn)練，更是思維經(jīng)驗(yàn)和做事經(jīng)驗(yàn)的積累。重視新課標(biāo)附錄中樣例的分析和研究，有助于教師理解新課標(biāo)理念，理解教材編寫(xiě)意圖，進(jìn)一步提高教學(xué)質(zhì)量。

圖4是筆者設(shè)計(jì)的“線段的垂直平分線”尺規(guī)作圖的學(xué)習(xí)路徑，僅供參考。

（二）增強(qiáng)推理能力，感悟數(shù)學(xué)表達(dá)，形成理性精神

在義務(wù)教育階段，推理能力有助于逐步養(yǎng)成重理論、合乎邏輯的思維習(xí)慣，形成實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度與理性精神。新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)要通過(guò)實(shí)例感悟推理過(guò)程的邏輯性，包括通過(guò)歸納推理得到結(jié)論的過(guò)程，也包括通過(guò)演繹推理驗(yàn)證結(jié)論的過(guò)程。教學(xué)中，可參考新課標(biāo)樣例，由此可知無(wú)論是代數(shù)問(wèn)題，還是幾何問(wèn)題，論證的路徑大體是一致的，都是基于特殊情況成立的結(jié)論，通過(guò)歸納（更多用于代數(shù)問(wèn)題）或類比（更多用于幾何問(wèn)題）推斷一般情況下類似結(jié)論成立。對(duì)于推斷得到的結(jié)論，還需要經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)證明（包括數(shù)學(xué)計(jì)算）的驗(yàn)證。這個(gè)過(guò)程就是能夠探究自然現(xiàn)象或現(xiàn)實(shí)情境所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)規(guī)律，經(jīng)歷數(shù)學(xué)“再發(fā)現(xiàn)”的過(guò)程，能夠發(fā)展學(xué)生質(zhì)疑問(wèn)難的批判性思維，幫助學(xué)生形成實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度。下面具體看一下新課標(biāo)中給出的樣例。

【樣例78-推理過(guò)程的邏輯】

如圖5，有一個(gè)長(zhǎng)方形，想象讓這個(gè)長(zhǎng)方形分別以長(zhǎng)邊和短邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)得到兩個(gè)圓柱，猜想哪個(gè)圓柱的體積更大。

在本例中可以用兩類非常極端的情況啟發(fā)學(xué)生思考，一類是長(zhǎng)邊與短邊相差不多，另一類是長(zhǎng)邊與短邊相差很大，然后通過(guò)計(jì)算證明自己的猜想。教學(xué)中此例還可以延伸到三角形，可引導(dǎo)學(xué)生思考類似的問(wèn)題，猜想一般多邊形的規(guī)律，然后想辦法證明自己的猜想。學(xué)習(xí)中努力讓學(xué)生感悟上述論證的路徑是獲得數(shù)學(xué)結(jié)論的基本過(guò)程。驗(yàn)證的過(guò)程是從特殊到一般，是歸納推理；推斷的過(guò)程是從一般到特殊，是演繹推理。

（三）體會(huì)變與不變，感受數(shù)學(xué)之美，重視本質(zhì)理解

圖形的變化主題中的平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱是現(xiàn)實(shí)生活中廣泛存在的現(xiàn)象，是現(xiàn)實(shí)世界運(yùn)動(dòng)變化的最簡(jiǎn)潔形式之一。它們不僅是探索圖形的一種性質(zhì)的必要手段，而且也是解決現(xiàn)實(shí)世界中的具體問(wèn)題以及進(jìn)行數(shù)學(xué)交流的重要工具。因此它們基本性質(zhì)的學(xué)習(xí)，新課標(biāo)中強(qiáng)調(diào)要通過(guò)“探索”得到，即通過(guò)圖形的運(yùn)動(dòng)變化去發(fā)現(xiàn)這些性質(zhì)，而不是單純地把這些性質(zhì)作為現(xiàn)成的結(jié)論呈現(xiàn)給學(xué)生。進(jìn)行這樣的探索活動(dòng)，有助于學(xué)生感受圖形運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程中的不變量和不變關(guān)系，從而為運(yùn)用圖形運(yùn)動(dòng)的方法研究圖形性質(zhì)奠定基礎(chǔ)，初步建立幾何直觀。下面通過(guò)新課標(biāo)中給出的樣例進(jìn)一步闡述。

【樣例80-圖形中心旋轉(zhuǎn)的變與不變】

如圖6（a），在平面上，確定旋轉(zhuǎn)中心O和旋轉(zhuǎn)角θ，點(diǎn)P與中心O連接得到線段OP，讓線段OP繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ角，得到線段OP′。這樣，稱點(diǎn)P′為點(diǎn)P通過(guò)中心旋轉(zhuǎn)得到的點(diǎn)?？梢钥吹?，旋轉(zhuǎn)前后線段的長(zhǎng)度沒(méi)有發(fā)生變化，即OP=OP′。因此，通過(guò)中心旋轉(zhuǎn)，雖然點(diǎn)P的位置發(fā)生了變化，但旋轉(zhuǎn)前后的點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離沒(méi)有發(fā)生變化。接下來(lái)，考慮一個(gè)多邊形的旋轉(zhuǎn)。如圖6（b），四邊形ABCD繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角，得到四邊形A′B′C′D′，因?yàn)閳D形上的每個(gè)點(diǎn)都繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)了同一個(gè)角度α，到點(diǎn)O的距離都保持不變，從而△AOB與△A′OB′，所以AB=A′B′。因此，可以得到結(jié)論，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，圖形上任意兩點(diǎn)間的距離保持不變。

這個(gè)樣例是在一個(gè)平面上，確定旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角，通過(guò)多邊形的中心旋轉(zhuǎn)的前后變化，分析運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的變與不變。樣例給出的方法是，研究圖形旋轉(zhuǎn)的問(wèn)題，應(yīng)先考慮點(diǎn)的變化，再考慮多邊形的變化，進(jìn)而形成研究這類問(wèn)題的一般方法。

（四）利用信息技術(shù)，感悟圖形運(yùn)動(dòng)，培養(yǎng)空間觀念

新課標(biāo)中倡導(dǎo)，圖形的變化的教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)通過(guò)信息技術(shù)的演示或者實(shí)物的操作，讓學(xué)生感悟圖形軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)、平移變化的基本特征，知道變化的感知是需要參照物的，可以借助參照物述說(shuō)變化的基本特征。這樣的教學(xué)活動(dòng)不僅有助于學(xué)生理解幾何學(xué)的本質(zhì)，還能引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)自然界中的對(duì)稱之美，感悟圖形有規(guī)律變化產(chǎn)生的美，會(huì)用幾何知識(shí)表達(dá)物體簡(jiǎn)單的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，增強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。下面通過(guò)新課標(biāo)中給出的樣例進(jìn)一步闡述。

【樣例82-勾股定理的直觀證明】

如圖7（a），先呈現(xiàn)由四個(gè)相同的直角三角形（直角邊分別記為a和b）拼出的邊長(zhǎng)為（a+b）的正方形；然后，如圖7（b），動(dòng)態(tài)調(diào)整直角三角形的邊長(zhǎng)（拖動(dòng)點(diǎn)Q，a和b可以取任意長(zhǎng)度）；最后，左、右拖動(dòng)滑塊平移和旋轉(zhuǎn)直角三角形，改變它們的位置，兩兩拼合直角三角形，在大正方形中拼出兩個(gè)形狀相同的矩形。教師讓學(xué)生從直觀上體會(huì)到圖7（b）中邊長(zhǎng)為c的白色正方形面積與圖7（c）中邊長(zhǎng)分別為a和b的兩個(gè)白色正方形面積之和相等，從而感受a2+b2=c2。

本樣例是使用動(dòng)態(tài)幾何軟件設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)，利用面積的不變性幫助學(xué)生體會(huì)勾股定理的直觀證明。樣例指出，恰當(dāng)?shù)氖褂脛?dòng)態(tài)幾何軟件設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)，可以讓學(xué)生更加直觀地感悟圖形運(yùn)動(dòng)，增強(qiáng)空間觀念。

（五）避免機(jī)械套用，挖掘知識(shí)本源，形成化歸意識(shí)

筆者以平行線的性質(zhì)和判定為例，簡(jiǎn)單談一談化歸意識(shí)的滲透和培養(yǎng)。

如圖8，AB[?]CD，點(diǎn)P是平面內(nèi)一點(diǎn)，連接AP，CP，判斷∠PAB，∠PCD和∠APC之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由。（部分教師將此類問(wèn)題稱為“拐角問(wèn)題”）

若提問(wèn)學(xué)生如何解答，相信會(huì)有一部分學(xué)生能快速地回答“過(guò)拐點(diǎn)做平行線，用‘三線八角解答”。從問(wèn)題解決的表象上看，顯然沒(méi)有問(wèn)題，但從深層分析上看，學(xué)生只是記住了教師教的方法，“知其然”但不“知其所以然”，更談不上“何由以知其所以然”。這種模仿套用，會(huì)帶來(lái)學(xué)生思維的惰性，只是機(jī)械地執(zhí)行命令，熟練地應(yīng)用程序，久而久之，會(huì)失去獨(dú)立思考和創(chuàng)新創(chuàng)造能力。究其本源，是學(xué)生沒(méi)有完全理解“三線八角”的內(nèi)涵與外延。掌握基本模型，缺什么補(bǔ)什么，將未知問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知問(wèn)題，這是我們處理幾何圖形問(wèn)題的基本套路。因此，本題的突破路徑有兩種：一是搭截線，二是構(gòu)平行線。因?yàn)椤按睢迸c“構(gòu)”的方法不同，致使輔助線的不同做法有很多種。以圖9的第一幅圖為例，分別給出“搭截線”和“構(gòu)平行線”的幾種常見(jiàn)解法（“搭截線”如圖10，“構(gòu)平行線” 如圖11）。

在課堂教學(xué)中，若能類似地引導(dǎo)學(xué)生觀察—分析—轉(zhuǎn)化—驗(yàn)證—反思，相信我們培養(yǎng)的學(xué)生在面對(duì)新問(wèn)題時(shí)，就不是簡(jiǎn)單的模仿套用，而是勇于探索發(fā)現(xiàn)、善于轉(zhuǎn)化化歸、樂(lè)于創(chuàng)新創(chuàng)造。

教育部中考命題改革專家組副組長(zhǎng)張卓玉認(rèn)為，新課標(biāo)理念下，教學(xué)將以核心素養(yǎng)為指向，依據(jù)新的教學(xué)結(jié)構(gòu)重組各種教學(xué)要素。以問(wèn)題解決為出發(fā)點(diǎn)的教學(xué)，以“做中學(xué)”“用中學(xué)”為導(dǎo)向的能力培養(yǎng)模式，應(yīng)用驅(qū)動(dòng)、且做且學(xué)的整體性學(xué)習(xí)等將是我們不斷探索的問(wèn)題。

（責(zé)任編輯：楊強(qiáng)）