從數(shù)系擴充認知指數(shù)函數(shù)的概念

孫德榮 高全祖 劉 雪

（1.昌吉學(xué)院數(shù)學(xué)與數(shù)據(jù)科學(xué)學(xué)院 新疆 昌吉 831100；2.昌吉州第一中學(xué) 新疆 昌吉 831100）

函數(shù)是大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)數(shù)學(xué)分析課程的研究對象，基本初等函數(shù)冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)又是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的一個重要內(nèi)容，指數(shù)函數(shù)作為高中生學(xué)習(xí)函數(shù)的開始，對后續(xù)函數(shù)的學(xué)習(xí)起著基礎(chǔ)性的作用，它是將冪指數(shù)從整數(shù)范圍擴充到實數(shù)范圍之后，建立的第一個重要的基本初等函數(shù)。我國現(xiàn)行的中學(xué)數(shù)學(xué)教材一般是從數(shù)系的擴張出發(fā)來構(gòu)建數(shù)學(xué)運算的，學(xué)生對指數(shù)函數(shù)的認知也是從正整數(shù)集到實數(shù)集內(nèi)的冪指數(shù)運算開始的。數(shù)學(xué)師范生在完成數(shù)學(xué)學(xué)科專業(yè)課學(xué)習(xí)之后，已經(jīng)具備了足夠的學(xué)科知識，可以從數(shù)系擴張的角度來重新認識與完善指數(shù)函數(shù)的相關(guān)知識體系，以提高自身的專業(yè)與學(xué)科核心素養(yǎng)，更好的指導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)。［1］

1 有理數(shù)域內(nèi)冪指數(shù)運算的建立與完善

對指數(shù)函數(shù)的認識關(guān)鍵在于對冪指數(shù)概念的構(gòu)建與運算性質(zhì)的理解，隨著學(xué)生對自然數(shù)、整數(shù)、有理數(shù)、實數(shù)和復(fù)數(shù)等相關(guān)數(shù)系知識的逐步認識，在不同的學(xué)習(xí)階段對冪指數(shù)的概念與性質(zhì)也逐步得到完善，最后形成了較為完整的指數(shù)函數(shù)概念。

這里全體非負整數(shù)的集合稱自然數(shù)集，用字母“N”來表示，包含正整數(shù)和零；N+表示正整數(shù)集；Z表示整數(shù)集；Q表示有理數(shù)集；R表示實數(shù)集；C表示復(fù)數(shù)集。

1.1 整數(shù)集內(nèi)冪指數(shù)概念的建立

中學(xué)數(shù)學(xué)教材［2］由幾何意義出發(fā)，從一個數(shù)的平方、立方，引導(dǎo)學(xué)生認識了一個數(shù)的n次方的整數(shù)冪的概念與性質(zhì)。即

一個數(shù)a與它自身的乘積叫做這個數(shù)的平方（或二次方），記作a×a=a2，例如，在幾何中，邊長為a的正方形的面積為S=a×a=a2。

三個相同的數(shù)a的乘積叫做這個數(shù)的立方（或三次方），記作a×a×a=a3，例如，在幾何中，棱長為a的立方體的體積為V=a×a×a=a3。

n個相同的數(shù)a的乘積叫做a的n次方，記作a×a×…×a=an。an也稱為a的n次冪，其中a叫做底數(shù)，n叫做冪指數(shù)，這里n∈N+。

利用冪的概念以及乘法與除法的意義，容易推導(dǎo)出正整數(shù)指數(shù)冪的運算法則：

法則1：am·an=am+n(m,n∈N+)；法則2：法則3：(am)n=amn；

法則4：(a·b)n=an·bn；法則5：a0=1(a≠ 0)。

在整數(shù)范圍內(nèi)，初中生學(xué)習(xí)乘法的意義之后，又有了相應(yīng)的負整數(shù)冪和零指數(shù)冪的規(guī)定，冪的運算性質(zhì)的邏輯推理也就完善了。中學(xué)數(shù)學(xué)教材通過以上方式給學(xué)生建立了整數(shù)冪的嚴密邏輯體系。

1.2 冪指數(shù)運算在有理數(shù)域內(nèi)延拓

現(xiàn)行人教版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書［3］在引入了根式運算之后，就將冪指數(shù)概念擴展到了有理數(shù)域范圍內(nèi)。

首先教材［4］給出根式的意義：一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，并且n∈N+。當(dāng)n是奇數(shù)時，正數(shù)的n次方根是一個正數(shù)，負數(shù)的n次方根是一個負數(shù)，表示為。當(dāng)n是偶數(shù)時，xn=a是一個正數(shù)，正數(shù)a的n次方根有兩個，這兩個數(shù)互為相反數(shù)，表示為。其中，式子叫做根式，n叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù)。

其次教材［5］從幾個特殊的實例出發(fā)，如：探究歸納分數(shù)指數(shù)冪的運算規(guī)律，給出如下定義：

另外，1）對負分數(shù)指數(shù)冪給出了與負整數(shù)指數(shù)冪相仿意義的規(guī)定：

2）規(guī)定0的正分數(shù)指數(shù)冪為0，0的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義。

以上規(guī)定將整數(shù)指數(shù)冪的概念推廣到了有理數(shù)域。

最后教材［6］給出結(jié)論：整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)對于有理數(shù)指數(shù)冪也同樣適用，即

（1）aras=ar+s(a＞ 0,r,s∈Q);

（2）(ar)s=ars(a＞ 0,r,s∈Q);

（3）(ab)r=arbr(a＞0,b＞0,r∈Q).

存在的問題是教材并未對定義的合理性（當(dāng)m不能被n整除時）與運算性質(zhì)的正確性給予說明或證明（教材的編寫缺乏邏輯嚴密），如果教師在教學(xué)中也如同教材一樣一帶而過，那就會造成學(xué)生認知結(jié)構(gòu)上的邏輯缺失。按照高中生現(xiàn)有的認知水平，運算性質(zhì)（1）—（3）是可以證明的。事實上，對運算性質(zhì)的證明，也就是對定義合理性的有力佐證。

為了證明有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)，要補充證明以下三個性質(zhì)：

性質(zhì)（10）—（30）也并不是顯然的，證明如下：

證明 設(shè)a＞0,b＞0,?m,n∈N+,n＞1.

根據(jù)分數(shù)指數(shù)冪的定義以及性質(zhì)（10）—（30），對性質(zhì)（1）—（3）的證明如下：

從以上推理可以看到，有理數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)并不是顯然的。在學(xué)生已有的認知水平上，通過推理證明自然得到分數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)，既說明了定義的合理性又完善了知識結(jié)構(gòu)的邏輯嚴密性。這樣，冪指數(shù)運算在有理數(shù)域內(nèi)的延拓就沒有什么遺憾了。

2 實數(shù)域內(nèi)指數(shù)函數(shù)概念的建立與完善

對于a＞0(a∈R)來說，任意一個有理數(shù)x都滿足一個與它對應(yīng)的有理指數(shù)冪ax＞0，這樣就能夠把整數(shù)指數(shù)運算擴展到有理指數(shù)冪的運算。我國現(xiàn)行的高中數(shù)學(xué)教材中［7］直接給出了實數(shù)域內(nèi)指數(shù)函數(shù)的概念：一般如y=ax（a＞0，且a≠1）的函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)，函數(shù)的定義域是R。這里如果x為有理數(shù)，那么學(xué)生根據(jù)有理數(shù)冪指數(shù)的運算知道函數(shù)值ax的意義，但是當(dāng)x為無理數(shù)時，ax的意義為何？之前學(xué)生并沒有認識，高中教材采取了以一個特例的實驗觀察法告訴學(xué)生，對任意一個無理數(shù)x，ax都唯一對應(yīng)一個實數(shù)，這是高中數(shù)學(xué)在實數(shù)域內(nèi)介紹指數(shù)函數(shù)的邏輯不嚴密所在。

大學(xué)數(shù)學(xué)在建立了實數(shù)極限理論的相關(guān)知識和概念之后，就可以完善指數(shù)函數(shù)在實數(shù)范圍內(nèi)的定義。首先大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)的數(shù)學(xué)分析課程中，通過級數(shù)理論可以建立有理數(shù)與無理數(shù)之間的運算。

由上述命題可知，如果a0.a1a2…an…是一個無理數(shù)（無限不循環(huán)小數(shù)），并且Sn=a0.a1a2…an，那么，即：任意無理數(shù)都是一個有理數(shù)列的極限。

大學(xué)數(shù)學(xué)分析教材，在介紹了實數(shù)理論的相關(guān)理論之后，給出了確界的概念與確界存在唯一性定理。

定義1［8］（上確界） 設(shè)S是R中的一個數(shù)集，η是一個實數(shù)，若滿足

①對任意x∈S，有x≤η，即η是S的上界；

②對任意a＜η，存在x0∈S，使得x0＞a，則稱數(shù)η是數(shù)集S的上確界，記為η=supS。

定義2［9］（下確界） 設(shè)S是R中的一個數(shù)集，若ξ是一個實數(shù)，滿足

①對任意x∈S，有x≥ξ，即ξ是S的下界；

②對任意β＞ξ，存在x0∈S，使得x0＜β，則稱數(shù)ξ是數(shù)集S的下確界，記為ξ=infS。

從定義1與定義2可知，S上確界η=supS是S的最小上界，S下確界ξ=infS是S的最大下界。

定理［10］（確界唯一性） 設(shè)S?R是非空數(shù)集.若S有上界，則S必有上確界；若S有下界，則S必有下確界。

有了以上實數(shù)的極限理論基礎(chǔ)，就可以建立以下實數(shù)域內(nèi)指數(shù)函數(shù)的精確定義：

定義3［11］給定實數(shù)a＞0，a≠1設(shè)x為無理數(shù)，我們規(guī)定

對任一無理數(shù)x，必有有理數(shù)r0，使x＜r0，則當(dāng)有理數(shù)r＜x時，有r＜r0。由有理數(shù)乘冪的性質(zhì)知：當(dāng)a＞1時，有ar＜ar0。這表明非空數(shù)集{ar|r＜x,r為有理數(shù)} 有一個上界ar0。根據(jù)確界原理，該數(shù)集有上確界，所以(2.1)式右邊是一個確定的定數(shù)。同理，當(dāng)0＜a＜1時，(2.2)式右邊也是一個定數(shù)。

如果把(2.1)、(2.2)兩式中的“r＜x”改為“r≤x”，那么，無論r是無理數(shù)或是有理數(shù)，ax都可以用上述確界形式來統(tǒng)一表示。

綜上所述，規(guī)定：當(dāng)a＞0且a≠1時，指數(shù)函數(shù)y=ax定義域為R。這樣，指數(shù)函數(shù)的概念在實數(shù)范圍內(nèi)才得以完善。實數(shù)域內(nèi)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)也可以由極限運算法則得到，這里不再贅述。

3 指數(shù)函數(shù)在復(fù)數(shù)域內(nèi)的延拓

現(xiàn)行的人教版高中數(shù)學(xué)教材［13］給出了復(fù)數(shù)概念與幾何意義，并初步討論了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運算，首先利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系，將非零復(fù)數(shù)z=x+iy表示為三角形式：

這里當(dāng)r=1時，z=cosθ+isinθ，按照教材的闡述，如果利用歐拉公式

這樣就得到了復(fù)數(shù)的指數(shù)形式：z=reiθ。教材存在的邏輯問題是：歐拉公式從何而來？

大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)的課程體系中，通過數(shù)學(xué)分析與復(fù)變函數(shù)課程所建立的級數(shù)理論，為在復(fù)數(shù)域內(nèi)推廣指數(shù)函數(shù)奠定了基礎(chǔ)。1715年英格蘭數(shù)學(xué)家B.Taylor（1685-1731）提出了函數(shù)的冪級數(shù)表示公式［14］，其中指數(shù)函數(shù)ex(x∈R)的函數(shù)值可以由下面的冪級數(shù)得到，即：

由（3.1）來定義

顯然f(1)=e，由冪級數(shù)的性質(zhì)和運算法則可以證明f(z)是連續(xù)的，并且f(z1+z2)=f(z1)f(z2)，當(dāng)z=x∈R時，f(z)=ex，所以記f(z)=ez，因此，指數(shù)函數(shù)就在復(fù)數(shù)域內(nèi)得到了推廣，即

利用（3.3）可以證明著名的歐拉公式：eiθ=cosθ+isinθ。這樣，中學(xué)教材中的復(fù)數(shù)指數(shù)表示才得以邏輯完整。

對于復(fù)指數(shù)函數(shù)ez，具有如下的性質(zhì)：

（1）對于實數(shù)z=x（y=0）來說，定義與實指數(shù)函數(shù)的定義是一致的。

（2）ez|=ez＞0，argee=y；在z平面上ez≠0。

（4）對任意整數(shù)k，有ez·e2kπi=ez，因f(z+2kπi)=f(z)，所以ez是以2πi為基本周期的周期函數(shù)。

以上只是給出了復(fù)數(shù)域內(nèi)一個常用的指數(shù)函數(shù)ez的定義，大學(xué)復(fù)變函數(shù)［15］給出了一般指數(shù)函數(shù)定義ω=az=ezlna(a≠0,∞,a∈C)。它是無窮多個獨立的單值解析函數(shù)，詳情這里不再贅述。

4 結(jié)論

深入分析中學(xué)數(shù)學(xué)教材的知識體系，對教材邏輯缺失部分進行補充與完善，為師范生構(gòu)建一個較為嚴密的數(shù)學(xué)認知邏輯結(jié)構(gòu)，對提高中學(xué)數(shù)學(xué)教師專業(yè)素養(yǎng)，培養(yǎng)合格的中學(xué)數(shù)學(xué)教師具有深遠意義。數(shù)學(xué)師范生正處在數(shù)學(xué)知識體系構(gòu)建與完善過程中，在數(shù)學(xué)學(xué)科相關(guān)課程學(xué)習(xí)完成后，有必要對初等數(shù)學(xué)知識進行再建與重構(gòu)，這對指導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)有深遠意義。