指向算理理解的計(jì)算教學(xué)

[摘? 要] 在小學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算教學(xué)中，教師要應(yīng)用各種方法，促進(jìn)學(xué)生理解算理，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)算法。理法融通，是學(xué)生計(jì)算學(xué)習(xí)的最高境界。指向算理理解的計(jì)算教學(xué)，要依靠學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)、依靠學(xué)生的操作、依靠直觀的圖形等。要讓學(xué)生知算理、曉算法;依算理、明算法;釋算理、用算法。還要將算理理解和算法建構(gòu)統(tǒng)一到學(xué)生計(jì)算學(xué)習(xí)之中，使之成為學(xué)生計(jì)算核心素養(yǎng)的重要組成。

[關(guān)鍵詞] 計(jì)算教學(xué);算理理解;算法建構(gòu)

計(jì)算教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分，是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，是學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)形成的基石。計(jì)算教學(xué)不僅要引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)算法，更要引導(dǎo)學(xué)生理解算理。算理是算法的根據(jù)，是算法賴以成立的內(nèi)在的數(shù)學(xué)原理，而算法則是算理的形式化表征，也是算理的操作化程序[1]。在小學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算教學(xué)中，教師要應(yīng)用各種方法，促進(jìn)學(xué)生理解算理，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)算法。這樣的理法融通，是學(xué)生計(jì)算學(xué)習(xí)的最高境界。

一、借助經(jīng)驗(yàn)理解算理

計(jì)算教學(xué)，教師要對(duì)學(xué)生的算法建構(gòu)進(jìn)行有效預(yù)判，對(duì)學(xué)生在算法建構(gòu)中可能會(huì)遭遇的障礙、困惑及時(shí)預(yù)警。指向?qū)W生算理理解的計(jì)算教學(xué)，不僅要求學(xué)生掌握計(jì)算方法，提升計(jì)算技能，更要求學(xué)生在計(jì)算中理解算理，從而形成一種內(nèi)在的現(xiàn)實(shí)性的“計(jì)算自覺(jué)”。這種計(jì)算自覺(jué)，能逐步地使學(xué)生具有“數(shù)學(xué)的眼光”和“數(shù)學(xué)的大腦”[2]。

學(xué)生理解算理的方式方法很多，其中最為重要的是利用經(jīng)驗(yàn)、操作、圖形等。在計(jì)算教學(xué)中，教師借助學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)（包括生活經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)經(jīng)驗(yàn)等），能有效地引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)算法。經(jīng)驗(yàn)，是學(xué)生算法建構(gòu)的現(xiàn)實(shí)，學(xué)生的算法建構(gòu)離不開(kāi)學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)。作為教師，在教學(xué)中要積極探尋計(jì)算與學(xué)生經(jīng)驗(yàn)的鏈接點(diǎn)、融合點(diǎn)、契合點(diǎn)等，從而促進(jìn)學(xué)生的算法建構(gòu)。比如教學(xué)“帶括號(hào)的四則混合運(yùn)算”，重點(diǎn)是引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)“先進(jìn)行括號(hào)里面的運(yùn)算，再進(jìn)行括號(hào)外面的運(yùn)算”。換言之，這里重要的是讓學(xué)生理解“括號(hào)”的意義。但在引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)“帶括號(hào)的四則混合運(yùn)算”的順序時(shí)，教師不能采用機(jī)械說(shuō)教的方式方法，不能讓學(xué)生機(jī)械識(shí)記法則，而應(yīng)當(dāng)是聯(lián)系學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，賦予抽象的、形式化的運(yùn)算順序以意義。如筆者在教學(xué)中，將學(xué)生生活中買東西付錢的例子引入其中，引導(dǎo)學(xué)生解釋算理、理解算理。如此，學(xué)生在計(jì)算法則的建構(gòu)中就能積極主動(dòng)地聯(lián)系自我的生活實(shí)際，對(duì)抽象的四則混合運(yùn)算進(jìn)行解釋，從而讓抽象的符號(hào)算式變得生動(dòng)起來(lái)，促進(jìn)了學(xué)生對(duì)法則的深度理解。

經(jīng)驗(yàn)是學(xué)生算法建構(gòu)、算理理解的源頭活水，它應(yīng)當(dāng)貫穿于學(xué)生算法建構(gòu)、算理理解的始終。學(xué)生的計(jì)算應(yīng)當(dāng)基于學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)，貫穿于學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)之中，并且為了積累經(jīng)驗(yàn)而展開(kāi)。借助經(jīng)驗(yàn)引導(dǎo)學(xué)生理解算理、建構(gòu)算法，還能促進(jìn)學(xué)生將計(jì)算應(yīng)用于解決實(shí)際問(wèn)題，即促進(jìn)學(xué)生的“算用結(jié)合”。

二、借助操作理解算理

指向算理理解的計(jì)算教學(xué)，不僅可以借助學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)，而且可以借助學(xué)生的操作。操作，是一種具身化的學(xué)習(xí)方式。操作不同于簡(jiǎn)單的、機(jī)械的動(dòng)手做，而是融合了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維、想象。在操作過(guò)程中，教師還可以引入一些教具、學(xué)具等，從而促進(jìn)學(xué)生的算理理解。借助操作，能深化學(xué)生的直觀動(dòng)作思維體驗(yàn)，并能導(dǎo)引學(xué)生的思維從直觀操作過(guò)渡到具體形象，再過(guò)渡到抽象邏輯。

比如教學(xué)“十幾減9”這部分內(nèi)容，重點(diǎn)是引導(dǎo)學(xué)生掌握“破十法”“平十法”“算減想加法”等計(jì)算法則。教學(xué)中，教師著重要激發(fā)學(xué)生產(chǎn)生建構(gòu)法則的內(nèi)需，讓學(xué)生思考建構(gòu)法則。比如教師可以出示一些情境性的問(wèn)題：大猴摘來(lái)13個(gè)桃子，小猴吃了9個(gè)，還剩多少個(gè)？此時(shí)，教師可以給學(xué)生提供半結(jié)構(gòu)性的操作素材，比如用小球來(lái)代替桃子，并且將10個(gè)桃子放在盒子里，凸顯10個(gè)桃子為一組，盒子外面放置3個(gè)桃子，這樣引導(dǎo)學(xué)生操作。并以小組為單位，提煉出操作方法。如有小組這樣操作，先從盒子里的10個(gè)桃子中拿出9個(gè)，再將剩下的1個(gè)和盒子外面的3個(gè)合起來(lái)，就成了4個(gè)，這就是“破十法”的算法模型;有小組這樣操作，先從盒子外面拿走3個(gè)，再?gòu)暮凶永锩婺米?個(gè)，還剩4個(gè)，這就是“平十法”的算法模型;還有小組根據(jù)9加4等于13，推導(dǎo)出13減9等于4，這就是“算減想加法”的算法模型。在操作過(guò)程中，學(xué)生對(duì)各種算法法則進(jìn)行著意義建構(gòu)，因而就能感受、體驗(yàn)到并且深刻理解算法模型背后的算理。這些算理是支撐學(xué)生建構(gòu)、鞏固、應(yīng)用算法法則的重要基礎(chǔ)。當(dāng)然，在這個(gè)過(guò)程中，教師也要對(duì)學(xué)生可能會(huì)出現(xiàn)的一些劣構(gòu)性算法有一個(gè)預(yù)判、預(yù)警。如有學(xué)生可能會(huì)一個(gè)個(gè)地拿;有學(xué)生可能會(huì)先拿盒子中的5個(gè)，再拿盒子外面的3個(gè)，最后又拿盒子里面的1個(gè)，等等。對(duì)于學(xué)生可能會(huì)出現(xiàn)的劣構(gòu)操作，教師要善于追問(wèn)、啟發(fā)、引領(lǐng)，從而將學(xué)生的操作拉回到算法建構(gòu)的原則上來(lái)。

借助操作理解算理，就是通過(guò)操作讓學(xué)生經(jīng)歷算法數(shù)學(xué)化的過(guò)程。操作是學(xué)生算理的一種展開(kāi)，是一種直觀化、動(dòng)作化的形式，為學(xué)生的算理理解和算法建構(gòu)提供了內(nèi)援支撐;而法則建構(gòu)則是操作的提煉，是一種必要的凝聚。在操作中理解算理、建構(gòu)算法，能讓學(xué)生獲得深刻的感受、體驗(yàn)。在操作的過(guò)程中，教師要鼓勵(lì)學(xué)生操作多元化，要引導(dǎo)學(xué)生算法建構(gòu)多樣化，還要注重引導(dǎo)學(xué)生比較操作方法，在算法多樣化的基礎(chǔ)上進(jìn)行算法優(yōu)化。

三、借助圖形理解算理

“數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休”[3]。教師在引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)算法的過(guò)程中，還可以引入相關(guān)的圖形，通過(guò)數(shù)形結(jié)合，將代數(shù)問(wèn)題幾何化，從而直觀形象地引導(dǎo)學(xué)生理解算理、建構(gòu)算法。借助直觀的圖形來(lái)理解抽象的數(shù)，能讓抽象的算理找到直觀形象的解釋。在小學(xué)計(jì)算教學(xué)中，借助圖形來(lái)引導(dǎo)學(xué)生理解算理，不僅能讓抽象的算理形象化，而且有助于促進(jìn)學(xué)生具體形象思維與抽象邏輯思維協(xié)同發(fā)展。

比如教學(xué)“分?jǐn)?shù)除法計(jì)算法則”這部分內(nèi)容，教材安排了多個(gè)例題，分別對(duì)應(yīng)于“分?jǐn)?shù)除以整數(shù)”“整數(shù)除以分?jǐn)?shù)”和“分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)”。其中，“整數(shù)除以分?jǐn)?shù)”有兩類例題，一是整數(shù)除以分?jǐn)?shù)單位;二是整數(shù)除以一般的分?jǐn)?shù)。教學(xué)中，教師要從“平均除”和“包含除”兩種除法類型引導(dǎo)學(xué)生用實(shí)物圖、線段圖等來(lái)表征題意，從而讓學(xué)生能自行探索出分?jǐn)?shù)除法的算理。在此基礎(chǔ)上，教師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生大膽猜想：分?jǐn)?shù)除以整數(shù)、整數(shù)除以分?jǐn)?shù)、分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)可以怎樣進(jìn)行計(jì)算？有了學(xué)生的大膽猜想，教師再一次引導(dǎo)學(xué)生借助圖形來(lái)進(jìn)行驗(yàn)證。顯然，圖形在分?jǐn)?shù)除法法則的建構(gòu)中不僅是激發(fā)學(xué)生猜想的催化劑，更是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)驗(yàn)證的強(qiáng)心劑。在計(jì)算教學(xué)中，由于有了形的支撐，學(xué)生的算理探索就有了方向。比如在“4÷1/2”中，教師引導(dǎo)學(xué)生畫出了線段圖，先引導(dǎo)學(xué)生直觀理解“1里面有2個(gè)”，再引導(dǎo)學(xué)生直觀理解“4里面有8個(gè)”，從而引導(dǎo)學(xué)生有效地認(rèn)識(shí)、理解了“4÷1/2=8”。再比如教學(xué)“分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)”這部分內(nèi)容，對(duì)于“÷”，教師借助量杯這樣一個(gè)具體化的實(shí)物圖，讓學(xué)生從算式直接推算出計(jì)算結(jié)果，進(jìn)而對(duì)“分?jǐn)?shù)除以整數(shù)”和“整數(shù)除以分?jǐn)?shù)”提出相應(yīng)的猜想。與此同時(shí)，教師可以讓學(xué)生自己嘗試舉例，并且引導(dǎo)學(xué)生自己畫圖解決問(wèn)題。在這里，圖形就是溝通學(xué)生計(jì)算算理和算法之間的橋梁，是聯(lián)系算理與算法之間的紐帶。圖形是對(duì)算理的直觀化、形象化的表征，能為學(xué)生的算法建構(gòu)找到生長(zhǎng)的土壤。

“感性無(wú)知性則盲，知性無(wú)感性則空”[4]。算法建構(gòu)是一個(gè)知性化的建構(gòu)過(guò)程，這一知性化建構(gòu)必須依賴于感性化的支撐。算法是一種比較抽象化、程式化的東西。如何讓抽象化、程式化的算法建構(gòu)、算法應(yīng)用等變得靈動(dòng)起來(lái)，一個(gè)重要的方法是借助感性直觀的東西來(lái)支撐算理。圖形是一種直觀、感性的有效工具。借助直觀、感性的圖形，能有效地培養(yǎng)學(xué)生對(duì)算法建構(gòu)、算法應(yīng)用的敏捷性、靈活性和廣闊性。

在計(jì)算教學(xué)實(shí)踐中，算理和算法應(yīng)當(dāng)是相互交織在一起的。作為教師，就是要借助學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)、借助學(xué)生的操作、借助直觀的圖形來(lái)架設(shè)算理和算法之間的橋梁。在直觀化的算理支撐下，學(xué)生能感悟、建構(gòu)出有效的算法。指向算理理解的計(jì)算教學(xué)，要讓學(xué)生知算理、曉算法;依算理、明算法;釋算理、用算法。唯有如此，算理理解和算法建構(gòu)才能統(tǒng)一到學(xué)生的計(jì)算學(xué)習(xí)之中，成為學(xué)生數(shù)學(xué)計(jì)算核心素養(yǎng)的重要組成。

參考文獻(xiàn)：

[1]? 涂榮豹，季素月. 數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論新編[M].南京：江蘇教育出版社，2013.

[2]? 侯正海. 在理解算理的基礎(chǔ)上構(gòu)建算法[J]. 小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2010（Z2）：134-143.

[3]? 吳加奇，余瑤. 以學(xué)生為中心開(kāi)展課例研究[J]. 教學(xué)與管理，2020（20）：23-25.

[4]? 馬天紅. 整體視域下小學(xué)數(shù)學(xué)練習(xí)課的設(shè)計(jì)[J]. 教學(xué)與管理，2021（17）：63-66.

作者簡(jiǎn)介：萬(wàn)小麗（1982—），本科學(xué)歷，中小學(xué)一級(jí)教師，從事小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)工作。