兩種類型的最優(yōu)查血方案問題及其研究

【摘 要】 通過查血來查出給定的n個(gè)人中感染了某種病毒的所有人.為了提高檢測效率，可采用“k合1檢測法”，進(jìn)而產(chǎn)生兩類最優(yōu)查血方案問題：（1）感染病毒人數(shù)已知的最優(yōu)查血方案問題;（2）感染病毒概率已知的最優(yōu)查血方案問題.文章提出這兩類問題并做細(xì)致研究，得到了一些有益的結(jié)論.

【關(guān)鍵詞】 最優(yōu)查血方案問題;數(shù)學(xué)期望;正整數(shù)的分拆;最佳咽拭子核酸檢測

通過查血來查出給定的n個(gè)人中感染了某種病毒的所有人.為了提高檢測效率，可采用“k合1檢測法”，進(jìn)而產(chǎn)生兩類最優(yōu)查血方案問題：（1）感染病毒人數(shù)已知的最優(yōu)查血方案問題;（2）感染病毒概率已知的最優(yōu)查血方案問題.本文詳述這兩類問題并做細(xì)致研究，得到了一些有益的結(jié)論.

約定本文中的某人是否感染病毒可通過查血來檢測：（1）若查血的結(jié)果呈陽性則感染了該病毒，若查血的結(jié)果呈陰性則未感染該病毒;（2）把一些人的血液混在一起化驗(yàn)：若結(jié)果呈陰性則說明這些人均未感染該病毒，若結(jié)果呈陽性則說明這些人中有人感染了該病毒.

定義1 （1）[1]（已知正整數(shù)的分拆）把n=n1+n2+…+nt（t，n1，n2，…，nt∈N*）叫做已知正整數(shù)n的一種分拆（記作τ），其中的n1，n2，…，nt都叫做τ的元素（當(dāng)有元素相同時(shí)也可用乘法記，比如分拆7=1+2+2+2也可記作7=1+2·3，但這里的“2·3”不能改寫成“3·2”）.本文研究的分拆與元素的順序無關(guān);

（2）（已知正整數(shù)的均分拆）當(dāng)n1=n2=…=nt時(shí)，（1）中的分拆τ（記作分拆τ*）叫做已知正整數(shù)n的一種均分拆τ*.定義2 （把血液先分成兩份的查血方案）現(xiàn)有k（k∈N*）個(gè)人，其中有若干個(gè)人感染了某種病毒.為了檢測出所有感染了該病毒的人，可這樣通過查血來檢驗(yàn)：

當(dāng)k=1時(shí)，對這個(gè)人查血1次即可.

當(dāng)k≥2時(shí)，先把每個(gè)人的血液分成兩份，再把這一組所有人的血液各一份混在一起化驗(yàn).若結(jié)果呈陰性，則說明這k個(gè)人均未感染該病毒，不需再做檢測;若結(jié)果呈陽性，則說明這k個(gè)人中有人感染了該病毒，再對這k個(gè)人的另一份血樣逐一化驗(yàn).

從而可檢測出這k個(gè)人中所有感染了該病毒的人.本文把這種查血方案叫做“把血液先分成兩份的查血方案”.

1 感染病毒人數(shù)已知的最優(yōu)查血方案問題及其研究

定義3 現(xiàn)有n個(gè)人，其中恰有λ（λ∈N，n∈N*，λ≤n）個(gè)人感染了某種病毒.為了通過查血檢測出這n個(gè)人中感染了該病毒的λ個(gè)人，先把這n個(gè)人分成t組，各組人數(shù)分別是n1，n2，…，nt（t，n1，n2，…，nt∈N*）（即n=n1+n2+…+nt是n的一種分拆τ），對各組的人分別按照定義2查血，記總查血次數(shù)是ξτ（一般來說，λ個(gè)感染了某種病毒的人在各組的人中是隨機(jī)出現(xiàn)的，因而ξτ是隨機(jī)變量），再記ξτ的數(shù)學(xué)期望是En-λ（ξτ）.對于n的所有分拆τ，當(dāng)En-λ（ξτ）最小時(shí)，τ叫做n關(guān)于λ的最優(yōu)分拆，記作τn-λ.

問題1 （感染病毒人數(shù)已知的最優(yōu)查血方案問題）在定義3中，對于已知的n與λ，求τn-λ.

徹底解決問題1難度較大，下面的定理1與定理2是其部分答案.囿于篇幅，本文只證明了2，4，6.

定理1 τn-0=n，τn-n=1·n.

定理2 τ4-1=1+1+2;τ6-2=1·6.

證明 下面只證τ6-2=1·6.6的分拆共有10種情形，分別論述如下：

（1）τ1：6=1·6.可得總檢測次數(shù)ξτ1=6，因而數(shù)學(xué)期望E6-2（ξτ1）=6.

（2）τ2：6=1·4+2.若2名感染病毒者在一組（即在“2”的一組），可得總檢測次數(shù)ξτ2=5+2=7，且P（ξτ2=7）=2·16·5=115（理由：把并排的6個(gè)位置從左到右依次編號為1;2;3;4;5，6（并分成這5組）.把兩名感染病毒者放在6個(gè)位置中的兩個(gè)位置上有6·5種放法.兩名感染病毒者滿足題設(shè)的放法是2·1種）;若2名感染病毒者不在一組：若在“1，1”的兩組，可得ξτ2=5，且P（ξτ2=5）=4·36·5=25;若在“1，2”的兩組，可得ξτ2=5+2=7，且P（ξτ2=7）=4·2+2·46·5=815.所以E（ξτ2）=115+815·7+25·5=615.

（3）τ3：6=1·3+3.可求得E（ξτ3）=15+35·7+15·4=625.

（4）τ4：6=1+1+4.可求得E（ξτ4）=25+815·7+115·3=61115.

（5）τ5：6=1+1+2+2.可求得E（ξτ5）=215+815·6+115·4+415·8=625.

（6）τ6：6=1+5.若2名感染病毒者在一組或不在一組，均可得總檢測次數(shù)ξτ6=2+5=7，所以E（ξτ6）=7.

（7）τ7：6=1+2+3.可求得E（ξτ7）=115+215·5+15+15·6+25·8=635.

（8）τ8：6=2·3.由后文的定理8（1）可得E（ξτ8）=635.

（9）τ9：6=2+4.可求得E（ξτ9）=115·4+25·6+815·8=61415.

（10）τ10：6=3+3.由后文的定理8（1）可得E（ξτ10）=645.

綜上所述，可得欲證結(jié)論成立.

題1 （2021年高考數(shù)學(xué)北京卷第18題）為提高新冠肺炎病毒檢測的效率，某檢測機(jī)構(gòu)采取“k合1檢測法”，即將k個(gè)人的拭子樣本合并檢測，若結(jié)果為陰性，則可以確定所有樣本都是陰性的，若結(jié)果為陽性，則還需要對本組的每個(gè)人再做檢測.現(xiàn)有100人，已知其中2人感染了新冠肺炎病毒.

（1）①若采用“10合1檢測法”，且已知兩名患者在同一組，求總檢測次數(shù);

②已知每10人分成一組，共分成10組，兩名感染患者在同一組的概率為111，定義隨機(jī)變量X為總檢測次數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E（X）;

（2）若采用“5合1檢測法”，總檢測次數(shù)Y的期望為E（Y），試比較第②小問中的E（X）與E（Y）的大?。ㄖ苯訉懗鼋Y(jié)果）.

筆者由這道高考題提出了下面的問題2.

定義4 現(xiàn)有n個(gè)人，其中恰有λ（λ∈N，n∈N*，λ≤n）個(gè)人感染了某種病毒.為了通過查血檢測出這n個(gè)人中感染了該病毒的λ個(gè)人，先把這n個(gè)人均分成nk（k是n的正約數(shù)）組，各組人數(shù)均是k（即n=k·nk是n的一種均分拆τ*），對各組的人分別按照定義2查血，記總查血次數(shù)是隨機(jī)變量Xk，再記Xk的數(shù)學(xué)期望是En-λ（Xk）.對于n的所有均分拆τ*，當(dāng)En-λ（Xk）最小時(shí)，τ*叫做n關(guān)于λ的最優(yōu)分拆，此時(shí)記k=Gλ（n）.

問題2 （感染了某種病毒人數(shù)已知的“k合1檢測法”最優(yōu)查血方案問題）在定義4中，對于已知的n與λ，求En-λ（Xk）及Gλ（n）.

徹底解決問題2難度也不小，下面的定理3-9及推論1-5是其部分答案.

定理3 （1）若n是質(zhì)數(shù)且λ∈N*，則En-λ（Xk）=n，k=1，n+1，k=n，Gλ（n）=1;

（2）En-0（Xk）=Xk=nk，G0（n）=n;

（3）En-n（Xk）=n，k=1，k+1kn，k是n的非1正約數(shù)，Gn（n）=1.

定理4 （1）（?。┊?dāng)n=1時(shí)，En-1（Xk）=E1-1（X1）=X1=1;

（ⅱ）當(dāng)n≥2時(shí)，En-1（Xk）=Xk=n，k=1，k+nk，k是n的非1正約數(shù);

（2）（?。┊?dāng)n=1，2，3時(shí)，G1（n）=1;當(dāng)n=4時(shí)，G1（n）=1，2;

（ⅱ）當(dāng)n≥5時(shí)，若n是n的正約數(shù)（即n是完全平方數(shù)），則G1（n）=n;若n不是n的正約數(shù)，則G1（n）是n的小于n的最大正約數(shù)l或n的大于n的最小正約數(shù)m（可得En-1（Xk）min=min{En-1（Xl），En-1（Xm）}.當(dāng)En-1（Xl）<En-1（Xm）時(shí)，G1（n）=l;當(dāng)En-1（Xl）>En-1（Xm）時(shí)，G1（n）=m;當(dāng)En-1（Xl）=En-1（Xm）時(shí)，G1（n）=l，m）.

證明 只證（2）（ⅱ）：由f（x）=x+nx（2≤x≤n）在[2，n]，[n，n]上分別是減函數(shù)、增函數(shù)及n>f（2），可得欲證結(jié)論成立.

定理5 （1）當(dāng)n=1時(shí)，En-（n-1）（Xk）=E1-0（X1）=1;當(dāng)n≥2時(shí)，En-（n-1）（Xk）=Xk=n，k=1，n+nk，k是n的非1正約數(shù);

（2）Gn-1（n）=1.

定理6 （1）當(dāng)n=2時(shí)，En-（n-2）（Xk）=E2-0（Xk）=Xk=2k（k=1，2），Gn-2（n）=G0（2）=2;

（2）當(dāng)n是奇數(shù)且n≥3時(shí)，En-（n-2）（Xk）=Xk=n，k=1，n+nk，k是n的非1正約數(shù);

（3）當(dāng)n是偶數(shù)且n≥4時(shí)，En-（n-2）（Xk）=n，k=1，3n2-3n-42（n-1），k=2，k+1kn，k是n的正約數(shù)且k≠1，2;

（4）當(dāng)n=3時(shí)，Gn-2（n）=G1（3）=1;當(dāng)n≥4時(shí)，Gn-2（n）=1.

證明 下面只證（3）中k≠1的情形.

（ⅰ）當(dāng)k=2時(shí)（由n≥4，可得組數(shù)n2≥2）：若兩名感染病毒者在同一組，可得Xk=n2+（n-2）=32n-2，且PXk=32n-2=n·1n（n-1）=1n-1（理由：把并排的n個(gè)位置從左到右依次編號為1，2，3，…，n，其中1，2號組成第1組，3，4號組成第2組，…，第n-1，n號組成第n2組.把兩名感染病毒者放在n個(gè)位置中的兩個(gè)位置上有n（n-1）種放法.兩名感染病毒者滿足題設(shè)的放法是：第一名感染病毒者可放在以上n個(gè)位置中的任一個(gè)位置，第二名感染病毒者與第一名感染病毒者在同一組，只有1種放法，所以共有n·1種放法）;若兩名感染病毒者不在同一組，可得Xk=n2+n=32n，且PXk=32n=n（n-2）n（n-1）=n-2n-1.所以

En-（n-2）（Xk）=En-（n-2）（X2）=1n-1·32n-2+n-2n-1·32n=3n2-3n-42（n-1）.

（ⅱ）當(dāng)3≤k<n時(shí)（可得nk>1即組數(shù)nk≥2），當(dāng)兩名感染病毒者在同一組或不在同一組時(shí)，均可得Xk=nk+n=k+1kn.

（ⅲ）當(dāng)k=n時(shí)，可得En-（n-2）（Xk）=En-（n-2）（Xn）=n+1=k+1kn.

進(jìn)而可得欲證結(jié)論成立.

定理7 （1）當(dāng)n=3時(shí)，En-（n-3）（Xk）=E3-0（Xk）=Xk=3k（k=1，3），Gn-3（n）=G0（3）=3;

（2）當(dāng)n是奇數(shù)且不是3的倍數(shù)且n≥5時(shí)，En-（n-3）（Xk）=n，k=1，k+1kn，k是n的非1正約數(shù);

（3）當(dāng)n是偶數(shù)且不是3的倍數(shù)且n≥4時(shí)，En-（n-3）（Xk）=n，k=1，3n2-3n-122（n-1），k=2，k+1kn，k是n的正約數(shù)且k≠1，2;

（4）當(dāng)n是奇數(shù)且是3的倍數(shù)且n≥9時(shí)，En-（n-3）（Xk）=n，k=1，4n3-12n2+8n-183（n-1）（n-2），k=3，k+1kn，k是n的正約數(shù)且k≠1，3;

（5）當(dāng)n是6的倍數(shù)時(shí)，En-（n-3）（Xk）=n，k=1，3n2-3n-122（n-1），k=2，4n3-12n2+8n-183（n-1）（n-2），k=3，k+1kn，k是n的正約數(shù)且k≠1，2，3;

（6）當(dāng)n=4時(shí)，G1（4）=1，2;當(dāng)n≥5時(shí)，Gn-3（n）=1.

定理8 （1）En-2（Xk）=n，k=1，1n-1n（n-1）k+（2n-1）k-k2，k是n的非1正約數(shù);

（2）（ⅰ）當(dāng)n=2，3，4，5，6，7時(shí)，G2（n）=1;

（ⅱ）當(dāng)n≥8時(shí)（可證得函數(shù)g（x）=2x3-（2n-1）x2+n（n-1）（2<x<n）有唯一零點(diǎn)，設(shè)為x0），若x0是n的正約數(shù)，則G2（n）=x0;若x0不是n的正約數(shù)，則G2（n）是n的小于x0的最大正約數(shù)l或n的大于x0的最小正約數(shù)m（可得En-2（Xk）min=min{En-2（Xl），En-2（Xm）}.當(dāng)En-2（Xl）<En-2（Xm）時(shí)，G2（n）=l;當(dāng)En-2（Xl）>En-2（Xm）時(shí)，G2（n）=m;當(dāng)En-2（Xl）=En-2（Xm）時(shí)，G2（n）=l，m）.

推論1 ?當(dāng)n=22時(shí)，G2（n）=1;當(dāng)n=pα（α∈N*，p是質(zhì)數(shù)）且n≠22時(shí)，G2（n）=pα2（其中[x]表示不超過實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)，下同）.推論2 （1）當(dāng)n=pq（pq>6，p<q，p，q均是質(zhì)數(shù)）時(shí)，G2（n）=p;

（2）當(dāng)n=pq2（p<q，p，q均是質(zhì)數(shù)）時(shí)，G2（n）=q;

（3）當(dāng)n=p2q（p<q，p，q均是質(zhì)數(shù)）時(shí)，G2（n）=min{p2，q};

（4）當(dāng)n=p2q2（p<q，p，q均是質(zhì)數(shù)）時(shí)，G2（n）=p2，q（2p3q+1）>p（pq3+pq+p2+1），pq，q（2p3q+1）<p（pq3+pq+p2+1）（由質(zhì)數(shù)p<q，可得q（2p3q+1）≠p（pq3+pq+p2+1））.特別地，當(dāng)q>2p時(shí)，G2（n）=pq.注 在推論2（4）中，還可證得En-2（Xp2）<En-2（Xp），En-2（Xp2）<En-2（Xq2）.

定理9 （1）En-3（Xk）=n，k=1，1（n-1）（n-2）[k3+（3-3n）k2+（3n2-6n+2）k+n3-3n2+2nk]，k是n的非1正約數(shù);

（2）（ⅰ）當(dāng)n=3，4，5，6，7，8，9，10時(shí)，G2（n）=1;

（ⅱ）當(dāng)n≥11時(shí)（可證得函數(shù)g（x）=3x4+（6-6n）x3+（3n2-6n+2）x2-n3+3n2-2n（2<x<n）有唯一零點(diǎn)，設(shè)為x0），若x0是n的正約數(shù)，則G3（n）=x0;若x0不是n的正約數(shù)，則G3（n）是n的小于x0的最大正約數(shù)l或n的大于x0的最小正約數(shù)m（可得En-3（Xk）min=min{En-3（Xl），En-3（Xm）}.當(dāng)En-3（Xl）<En-3（Xm）時(shí)，G3（n）=l;當(dāng)En-3（Xl）>En-3（Xm）時(shí)，G3（n）=m;當(dāng)En-3（Xl）=En-3（Xm）時(shí)，G3（n）=l，m）.

下面的推論3（用定理9可證）給出了關(guān)于G3（pα）（α∈N*，p是質(zhì)數(shù)）的完整結(jié)論.

推論3 （1）當(dāng)n=4，8，9時(shí)，G3（n）=1;

（2）當(dāng)n=2α（α-3∈N*）時(shí)，G3（n）=2α-12;

（3）當(dāng)n=pα（α∈N*，p≥3，p是質(zhì)數(shù)）且n≠32時(shí)，G3（n）=pα2.

推論4 當(dāng)n=pq（pq≥14，p<q，p，q均是質(zhì)數(shù)）時(shí)，G3（n）=p.

推論5 G0（100）=100，Gi（100）=10（i=1，2），G3（100）=5，Gj（100）=1（j=97，98，99，100）.

2 感染病毒概率已知的最優(yōu)查血方案問題及其研究

定義5 現(xiàn)有n（n∈N*）個(gè)人，其中每個(gè)人感染某種病毒的概率均是1-p（0<p<1）.為了通過查血檢測出這n個(gè)人中所有感染該病毒的人，先把這n個(gè)人分成t組，各組人數(shù)分別是n1，n2，…，nt（t，n1，n2，…，nt∈N*）（即n=n1+n2+…+nt是n的一種分拆τ），對各組人分別按照定義2查血，記總查血次數(shù)是隨機(jī)變量ητ，再記ητ的數(shù)學(xué)期望是En，p（ητ）.對于n的所有分拆τ，當(dāng)En，p（ητ）最小時(shí)，τ叫做n關(guān)于p的最優(yōu)分拆，記作τn，p.

問題3 （感染病毒概率已知的最優(yōu)查血方案問題）在定義5中，對于已知的n與p，求τn，p.徹底解決問題3難度也較大，下面的定理12是其部分答案.

定理10[1] 現(xiàn)有k（k∈N*）個(gè)人，其中每個(gè)人感染了某種病毒的概率均是1-p（0<p<1）.若按照定義2查血，則每個(gè)人的平均查血次數(shù)是

Pp（k）=1，k=1，1-pk+1k，k∈N且k≥2.①

由定理10，可得問題3等價(jià)于[1]下面的問題3′：

問題3′ 在定義5中，對于已知的n與p，設(shè)n=n1+n2+…+nt（t，n1，n2，…，nt∈N*）是n的一種分拆τ），可得相應(yīng)的總查血次數(shù)的數(shù)學(xué)期望是En，p（ητ）=n1Pp（n1）+n2Pp（n2）+…+ntPp（nt）.對于n的所有分拆τ，當(dāng)En，p（ητ）最小時(shí)，求出相應(yīng)的分拆τ（記作τn，p）.

定理11[1] （最優(yōu)分拆的性質(zhì)）若n=n1+n2+…+nt（t，n1，n2，…，nt∈N*）是n關(guān)于p的一種最優(yōu)分拆，則在n1，n2，…，nt中隨意取出若干個(gè)元素ni1，ni2，…，nij（設(shè)其和為m），則m=ni1+ni2+…+nij是m關(guān)于p的一種最優(yōu)分拆.

定理12 （即文[1]定理1）正整數(shù)n關(guān)于0.1的最優(yōu)分拆分別是（其中m∈N*）：1=1，2=2，3=3;4m=4·m;4m+1=4·（m-1）+5;4m+2=4·（m-1）+3·2;4m+3=4·m+3.

定義6 現(xiàn)有n（n∈N*）個(gè)人，其中每個(gè)人感染了某種病毒的概率均是1-p（0<p<1）.為了通過查血檢測出這n個(gè)人中所有感染了該病毒的人，先把這n個(gè)人均分成nk（k是n的正約數(shù)）組，各組人數(shù)均是k（即n=k·nk是n的一種均分拆τ*），對各組的人分別按照定義2查血，記總查血次數(shù)是隨機(jī)變量ητ*，再記ητ*的數(shù)學(xué)期望是En，p（ητ*）.對于n的所有均分拆τ*，當(dāng)En，p（ητ*）最小時(shí)，τ*叫做n關(guān)于p的最優(yōu)均分拆，此時(shí)記k=gp（n）.

問題4 （感染病毒概率已知的“k合1檢測法”最優(yōu)查血方案問題）在定義6中，對于已知的n與p，求gp（n）.

由定理10，可得

定理13 在定義6中，對于已知的n與p，問題4的答案gp（n）即函數(shù)

Pp（k）=1，k=1，1-pk+1k，k是n的非1正約數(shù).②

取到最小值時(shí)k的值.

定理14 （即文[2]的推論）對于函數(shù)①，有

（1）當(dāng)0<p≤e-4e2=0.5819…時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)k=1時(shí)函數(shù)Pp（k）取到最小值，且最小值是Pp（1）=1（當(dāng)k∈N且k≥2時(shí)Pp（k）的值隨k的增加而減少）;

（2）當(dāng)0.5819…=e-4e2<p<1時(shí)（可證得方程x2pxlnp+1=0在區(qū)間2，-2lnp，-2lnp，+∞上均有唯一實(shí)根，分別記為x1（p），x2（p）），Pp（2）>Pp（3）>…>Pp（[x1（p）]），Pp（[x1（p）]+1）<Pp（[x1（p）]+2）<…<Pp（[x2（p）]），

Pp（[x2（p）]+1）>Pp（[x2（p）]+2）>Pp（[x2（p）]+3）>…>1=Pp（1）（所以由已知的p可得函數(shù)Pp（k）的最小值存在，且最小值只可能在k=1或[x1（p）]或[x1（p）]+1時(shí)取到，最小值是min{1，Pp（[x1（p）]），Pp（[x1（p）]+1）}）.

推論6 對于函數(shù)②，有

（1）當(dāng)0<p≤e-4e2=0.5819…時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)k=1時(shí)函數(shù)Pp（k）取到最小值，且最小值是Pp（1）=1（當(dāng)k是n的非1正約數(shù)時(shí)Pp（k）的值隨k的增加而減少）;

（2）當(dāng)0.5819…=e-4e2<p<1時(shí)（可證得關(guān)于x的方程x2pxlnp+1=02<x<-2lnp有唯一實(shí)根，記為x1（p）），若x1（p）是n的正約數(shù)，則由已知的n，p可得函數(shù)Pp（k）的最小值存在，且最小值只可能在k=1或x1（p）時(shí)取到，最小值是min{1，Pp（x1（p））

};若x1（p）不是n的正約數(shù)，則由已知的n，p可得函數(shù)Pp（k）的最小值存在，且最小值只可能在k=1、或n的小于x1（p）的最大正約數(shù)l、或n的大于x1（p）的最小正約數(shù)m時(shí)取到，最小值是min{1，Pp（l），Pp（m）}.

注 定理13與推論6給出了問題4的答案.當(dāng)n很大時(shí)，考慮題設(shè)“k是n的正約數(shù)”意義不大，因此定理14也給出了問題4的答案.

題2 （1）（?。ㄎ腫2]的例1）求函數(shù)P0.9（k）的最小值;（ⅱ）求g0.9（90）;

（2）（ⅰ）（文[2]的例2）求函數(shù)P0.6（k）的最小值;（ⅱ）求g0.6（100）;

（3）（?。ㄎ腫2]的例3）求函數(shù)P0.9999（k）的最小值;（ⅱ）求g0.9999（150）.

解 （1）（?。┯啥ɡ?4（2）可求得方程0.9xx2ln0.9+1=02<x<-2ln0.9有唯一解x1（0.9），且3<x1（0.9）<4.

進(jìn)而可得當(dāng)且僅當(dāng)k=4時(shí)P0.9（k）取到最小值，且最小值是P0.9（4）=0.5939.

（ⅱ）由推論6（2），可求得g0.9（90）=3.

（2）（?。┯啥ɡ?4（2）可求得方程0.6xx2ln0.6+1=02<x<-2ln0.6有唯一解x1（0.6），且3<x1（0.6）<4.

進(jìn)而可得當(dāng)且僅當(dāng)k=1時(shí)P0.6（k）取到最小值，且最小值是P0.6（1）=1.

（ⅱ）由推論6（2），可求得g0.6（100）=1.

（3）（?。┯啥ɡ?4（2）可求得方程0.9999xx2ln0.9999+1=02<x<-2ln0.9999有唯一解x1（0.9999），且100<x1（0.9999）<101.

進(jìn)而可得當(dāng)且僅當(dāng)k=100時(shí)P0.9999（k）取到最小值，且最小值是P0.9999（100）=1.01-0.9999100=0.019950661…

（ⅱ）由推論6（2），可求得g0.9999（150）=75.3 兩個(gè)廣義最優(yōu)查血方案問題

問題5 （廣義感染病毒人數(shù)已知的最優(yōu)查血方案問題）現(xiàn)有n個(gè)人，其中恰有λ（λ∈N，n∈N*;λ≤n）個(gè)人感染了某種病毒.為了通過查血檢測出這n個(gè)人中感染了該病毒的λ個(gè)人，先把這n個(gè)人分成若干組（每組至少1人），再查出每組中所有感染了該病毒的人，這種查法是：先把每個(gè)人的血液分成足夠的份數(shù)，再把這一組所有人（設(shè)人數(shù)是k）的血樣各一份混在一起進(jìn)行檢測，若結(jié)果呈陰性，則說明這k個(gè)人均未感染該病毒，不需再做檢測;若結(jié)果呈陽性，則說明這k個(gè)人中有人感染了該病毒，對這k個(gè)人的血樣還需再進(jìn)行檢測：又可把這一組k個(gè)人的血樣分成若干個(gè)小組（每個(gè)小組至少1人），……請?jiān)O(shè)計(jì)一種查血方案，使總查血次數(shù)最少.問題6 （廣義感染病毒概率已知的最優(yōu)查血方案問題）現(xiàn)有n（n∈N*）個(gè)人，其中每個(gè)人感染了某種病毒的概率均是1-p（0<p<1）.為了通過查血檢測出這n個(gè)人中所有感染了該病毒的人，先把這n個(gè)人分成若干組（每組至少1人），再查出每組中所有感染了該病毒的人，這種查法是：先把每個(gè)人的血液分成足夠的份數(shù)，再把這一組所有人（設(shè)人數(shù)是k）的血樣各一份混在一起進(jìn)行檢測，若結(jié)果呈陰性，則說明這k個(gè)人均未感染該病毒，不需再做檢測;若結(jié)果呈陽性，則說明這k個(gè)人中有人感染了該病毒，對這k個(gè)人的血樣還需再進(jìn)行檢測：又可把這一組k個(gè)人的血樣分成若干個(gè)小組（每個(gè)小組至少1人），……請?jiān)O(shè)計(jì)一種查血方案，使總查血次數(shù)最少.

參考文獻(xiàn)

[1] 甘志國.最佳查血方案問題[J].數(shù)學(xué)通訊，2005（05）：29-31.

[2] 甘志國.全區(qū)居民作咽拭子核酸檢測時(shí)幾人一組合適[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2021（03）：32-34.

作者簡介 甘志國（1971— ），男，筆名甘喆;1988年參加教育工作，鉆研教法與學(xué)法，提倡并關(guān)注學(xué)生運(yùn)算能力的培養(yǎng).總結(jié)提出并踐行“懂、會、熟、巧、通”五步解題學(xué)習(xí)法，“思、探、練、變、提”五步解題教學(xué)法，“知、懂、熟、用、賞”五種解題境界及高中數(shù)學(xué)教學(xué)的四個(gè)關(guān)鍵詞“夯實(shí)基礎(chǔ)、激發(fā)興趣、著眼高考、適當(dāng)提高”，倡導(dǎo)教師要做明師;出版著作多部;發(fā)表文章多篇.