高考中導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用探究

馬孟華 趙寅輝

【摘 要】 導(dǎo)數(shù)的幾何意義作為“導(dǎo)數(shù)概念”的幾何化特征，是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容.通過對近幾年高考試題中導(dǎo)數(shù)幾何意義考查的深入剖析和總結(jié)，系統(tǒng)性地給出了導(dǎo)數(shù)幾何意義應(yīng)用的五個方面，并引入了高等數(shù)學(xué)中泰勒公式背景下的切線放縮法，結(jié)合數(shù)形結(jié)合思想，將導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用進(jìn)行了提升和拓展.

【關(guān)鍵詞】 導(dǎo)數(shù)幾何意義;五個應(yīng)用;泰勒公式;數(shù)形結(jié)合

導(dǎo)數(shù)作為研究函數(shù)性質(zhì)（單調(diào)性、極值、最值、凹凸性）的重要工具，其重要性不言而喻. 導(dǎo)數(shù)幾何意義作為“導(dǎo)數(shù)概念”的幾何化特征，其應(yīng)用不僅將幾何與代數(shù)融為一體，而且深刻揭示了數(shù)形結(jié)合思想的重要性，同時導(dǎo)數(shù)幾何意義蘊(yùn)藏于導(dǎo)數(shù)綜合問題中的應(yīng)用價值也將整個導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用推上了一個新的臺階.下面結(jié)合近年來高考對導(dǎo)數(shù)幾何意義的直接考查，以及其蘊(yùn)藏在導(dǎo)數(shù)問題中的一些“隱性應(yīng)用”作了歸納、總結(jié)和探究，希望對2022高考導(dǎo)數(shù)問題的備考提供幫助.

1 導(dǎo)數(shù)幾何意義應(yīng)用的五個方面

應(yīng)用1 導(dǎo)數(shù)幾何意義的直接應(yīng)用

例1 （2021年全國高考甲卷理科第13題）曲線y=2x-1x+2在點(diǎn)（-1，-3）處的切線方程為.

解析 由題知，當(dāng)x=-1時，y=-3，故點(diǎn)在曲線上.

求導(dǎo)得y′=2（x+2）-（2x-1）（x+2）2=5（x+2）2，所以y′|x=-1=5.故切線方程為5x-y+2=0.

評析 先驗(yàn)證點(diǎn)在曲線上，再求函數(shù)在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，利用點(diǎn)斜式方程求出切線方程即可.

應(yīng)用2 含參數(shù)曲線的切線問題

導(dǎo)數(shù)的幾何意義在于可求出函數(shù)在任意一點(diǎn)處的切線斜率（斜率存在），進(jìn)一步求出函數(shù)在任意一點(diǎn)處的切線方程，在引入?yún)?shù)的背景下，切線問題的一般處理模式是什么呢？下面來看例2.

例2 （2019年全國卷Ⅲ理科第6題）已知曲線y=aex+xlnx在點(diǎn)（1，ae）處的切線方程為y=2x+b，則（? ）.

A.a=e，b=-1? B.a=e，b=1

C.a=e-1，b=1? D.a=e-1，b=-1

通過求導(dǎo)數(shù)，確定得到切線斜率的表達(dá)式，求得a，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線方程，求得b.

解析 y′=aex+lnx+1，故有：k=y′|x=1=ae+1=2，所以a=e-1.

將（1，1）代入y=2x+b得2+b=1，b=-1，故選D.

評析 本題解題的關(guān)鍵是得到含有a，b的等式，利用導(dǎo)數(shù)幾何意義解決切線問題有三個要點(diǎn)：

（1）切點(diǎn)在切線上;（2）切點(diǎn)在曲線上;（3）切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值等于切線的斜率.

綜合利用以上三點(diǎn)就可解出參數(shù)的值，這是求解切線問題的通性通法.

應(yīng)用3 含參數(shù)的兩條曲線的公切線問題

兩條曲線存在公切線時，切點(diǎn)可以是同一個，也可是不同的兩個切點(diǎn).當(dāng)切點(diǎn)一致時，使用應(yīng)用二的方法即可解決問題.當(dāng)切點(diǎn)不一致時，導(dǎo)致了該切線對于其中一條曲線是“在其上一點(diǎn)處”的切線，對另一曲線則是“過曲線外一點(diǎn)”的切線，當(dāng)然通性通法中的三點(diǎn)亦可解決問題.

例3 （2015年全國卷Ⅱ文科第16題）已知曲線y=x+lnx在點(diǎn)（1，1）處的切線與曲線y=ax2+（a+2）x+1相切，則a=.

解析 函數(shù)y=x+lnx在（1，1）處的導(dǎo)數(shù)為

y′|x=1=1+1xx=1=2，所以切線方程為l：y=2x-1.而該直線與曲線y=ax2+（a+2）x+1相切，故可設(shè)切點(diǎn)為（x0，y0），則滿足：

y0=2x0-1（點(diǎn)在切線上），y0=ax02+（a+2）x0+1（點(diǎn)在曲線上），2ax0+a+2=2（切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值等于切線的斜率）.

由2ax0+a+2=2可得x0=-12或a=0.

當(dāng)x0=-12時，代入（1）式得y0=-2，代入（2）式得a=8;

當(dāng)a=0時，曲線為直線，與直線l平行，不符合題意;綜上，a=8.

小結(jié) （1）求曲線在某一點(diǎn)處的切線，可先求得曲線在該點(diǎn)的導(dǎo)函數(shù)值，也即該點(diǎn)切線的斜率值，再由點(diǎn)斜式得到切線的方程;

（2）當(dāng)已知切線方程而求函數(shù)中的參數(shù)時，利用以下三點(diǎn)，即：①切點(diǎn)在切線上;②切點(diǎn)在曲線上;③切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值等于切線的斜率（這里的斜率常常用兩點(diǎn)確定的斜率公式表示）.

以上三點(diǎn)的使用便可求解參數(shù)的值.該高考試題中有兩條曲線，一是由函數(shù)y=x+lnx的圖象所確定的曲線，二是由二次函數(shù)y=ax2+（a+2）x+1確定的曲線，此時切線l：y=2x-1即為兩條曲線的公切線，利用y=x+lnx求出其在點(diǎn)（1，1）處的切線之后，又利用該直線為過點(diǎn)（1，1）作曲線y=ax2+（a+2）x+1的切線，綜合利用上述的通性通法即可求出參數(shù)a的值，不得不佩服高考試題命題人的良苦用心.一道試題考查了利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線的兩種模型：

（1）曲線在一點(diǎn)處的切線模型;

（2）過曲線外一點(diǎn)作曲線的切線模型.

事實(shí)上，此題中第二條曲線是二次曲線y=ax2+（a+2）x+1，故處理其切線問題時可引入“二次曲線切線問題”的通法，即聯(lián)立切線和二次曲線方程來求得參數(shù)的值，這是“解析幾何背景下”的思想方法，故此題還有解法二如下：法2 由法1可知，直線l：y=2x-1與曲線y=ax2+（a+2）x+1相切，故聯(lián)立其方程y=2x-1，y=ax2+（a+2）x+1，消去y得ax2+ax+2=0（a≠0），其有一解，故Δ=a2-8a=0（a≠0），所以a=8（a=0時不成立）.

例4 （2020年全國卷Ⅲ理科第10題）若直線l與曲線y=x和x2+y2=15都相切，則l的方程為（? ）.

A.y=2x+1 ???B.y=2x+12

C.y=12x+1?? D.y=12x+12

解析 在例3的指引下，此題也屬于公切線問題，其中的兩條曲線，一條曲線是函數(shù)的圖象，另一條曲線是二次方程曲線，故采用數(shù)形結(jié)合的方式處理最為妥當(dāng)，解法如下：

設(shè)直線l在曲線y=x上的切點(diǎn)為（x0，x0），則x0>0，

函數(shù)y=x的導(dǎo)數(shù)為y′=12x，則直線l的斜率k=12x0，

設(shè)直線l的方程為y-x0=12x0（x-x0），即x-2x0y+x0=0，

由于直線l與圓x2+y2=15相切，則x01+4x0=15，

兩邊平方并整理得5x20-4x0-1=0，解得x0=1，x0=-15（舍），

則直線l的方程為x-2y+1=0，即y=12x+12.

法2 利用導(dǎo)數(shù)求解出切線l的方程為y-x0=12x0（x-x0），即x-2x0y+x0=0，聯(lián)立二次曲線x2+y2=15與直線l的方程x-2x0y+x0=0，消去x可得（4x0+1）y2-4x0·x0y+x02-15=0，令Δ=0，即16x03-（16x0+4）（x02-15）=0，

整理得5x02-4x0-1=0，解得x0=1，x0=-15（舍），故直線l的方程為x-2y+1=0，即y=12x+12.

應(yīng)用4 利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解決不等式證明問題（切線放縮法）

例5 （2013年新課標(biāo)Ⅱ卷理科第20題）已知函數(shù)f（x）=ex-ln（x+m）.

（1）設(shè)x=0是f（x）的極值點(diǎn)，求m，并討論f（x）的單調(diào)性;

（2）當(dāng)m≤2時，證明f（x）>0.

解 （1）略;（2）原解：當(dāng)m≤2，x∈（-m，+∞）時，ln（x+m）≤ln（x+2），故只需證明當(dāng)m=2時，f（x）>0.

當(dāng)m=2時，函數(shù)f′（x）=ex-1x+2在（-2，+∞）上單調(diào)遞增.

又f′（-1）<0，f′（0）>0故f′（x）=0在（-2，+∞）上有唯一實(shí)根x0，且x0∈（-1，0）.

當(dāng)x∈（-2，x0）時，f′（x）<0;當(dāng)x∈（x0，+∞）時， f′（x）>0，從而當(dāng)x=x0時，f（x）取得最小值.由f′（x0）=0得ex0=1x0+2，故ln（x0+2）=-x0，

故f（x）≥f（x0）=1x0+2+x0=（x0+1）2x0+2>0.

綜上，當(dāng)m≤2時，f（x）>0.

評析 此問的解答過程中使用了比較常見的考點(diǎn)——函數(shù)的隱零點(diǎn)問題，采用“設(shè)而不求”的方式解決，過程看似簡潔，但對學(xué)生的思維要求較高，絕大多數(shù)的學(xué)生是難以應(yīng)對的.從導(dǎo)數(shù)的工具性作用來講，不等式放縮（即切線放縮法）也是處理不等式證明問題的一種常用手段.注意到函數(shù)f（x）=ex-ln（x+m）中含有了指對數(shù)函數(shù)，故而可聯(lián)系到我們經(jīng)常使用的“切線放縮”法來嘗試解決該問題，處理方法如下：

法2 由于m≤2，故f（x）=ex-ln（x+m）≥ex-ln（x+2），

故要證f（x）>0，可證ex-ln（x+2）>0.

由于ex≥x+1（x∈R），ln（x+2）=ln[1+（1+x）]≤x+1（x>-2），

所以f（x）≥ex-ln（x+2）>（x+1）-（1+x）=0.

故f（x）>0，得證.

評析 值得注意的是：其中的不等式ex≥x+1（x∈R）表達(dá)的就是函數(shù)y=ex的切線為y=x+1;不等式ln（x+2）≤x+1（x>-2）表達(dá)的就是y=ln（x+2）的切線為y=x+1，諸如此類的“切線放縮”的不等式也有很多，再如：e-x≥1-x（x∈R）;sinx≤x（x≥0）等等都是高考中使用頻率較高的不等式，掌握這些常用不等式可以使得我們的解題事半功倍.

事實(shí)上，以上幾個不等式從高等數(shù)學(xué)的高觀點(diǎn)角度分析，其理論基礎(chǔ)就是泰勒展開式，下面給出與高中數(shù)學(xué)聯(lián)系比較緊密的幾個常見函數(shù)的泰勒展開式[1]：

ex=1+x+x22！+…+xnn！+…

ln（x+1）=x-x22+x33-…+（-1）n-1xnn+…

sinx=x-x33！+x55！-…+（-1）nx2n+1（2n+1）！+…

cosx=1-x22！+x44！-…+（-1）nx2n（2n）！+…

（1+x）α=1+αx+α（α-1）2！x2+…+α（α-1）…（α-n+1）n！xn+…對以上的泰勒展開式的右側(cè)取“部分多項(xiàng)式”（如取2至3項(xiàng)）就可得到很多不等式，這些不等式可以將指對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)放縮成為“冪函數(shù)”構(gòu)成的復(fù)雜函數(shù)，從而簡化問題.其中放縮為“一次函數(shù)”（即切線放縮法）就是一個體現(xiàn).高考中以泰勒展開式為背景的考題不勝枚舉，它也是高考命題的一個“源泉”.再來看例6.

例6 （云南師大附中2022屆高考適應(yīng)性月考卷（四）文科第21題）

已知函數(shù)f（x）=（x-1）ex-12x2+1，g（x）=sinx-ax，其中a∈R.

（1）證明：當(dāng)x≥0時，f（x）≥0;當(dāng)x<0時，f（x）<0;

（2）用max{m，n}表示m，n中的最大值，記F（x）=max{f（x），g（x）}.是否存在實(shí)數(shù)a，對任意的x∈R，F(xiàn)（x）≥0恒成立.若存在，求出a;若不存在，請說明理由.

解 （1）證明：f′（x）=xex-x=x（ex-1），

x∈R.

當(dāng)x>0時，ex-1>0，則f′（x）>0;當(dāng)x<0時，ex-1<0，則f′（x）>0.

當(dāng)x=0時，f′（0）=0，所以當(dāng)x∈R時，f′（x）≥0，f（x）在R上是增函數(shù)，又f（0）=0，所以當(dāng)x≥0時，f（x）≥f（0）=0;

當(dāng)x<0時，f（x）<f（0）=0.

（2）原解：函數(shù)F（x）的定義域?yàn)椋?∞，+∞），由（1）知，當(dāng)x≥0時，f（x）≥0，又F（x）=max{f（x），g（x）}≥f（x），所以當(dāng)x≥0時，F(xiàn)（x）≥0恒成立.

由于當(dāng)x<0時，f（x）<0恒成立，所以F（x）≥0等價于：當(dāng)x<0時，g（x）≥0，令g′（x）=cosx-a.

①若a≤0，當(dāng)-π2<x<0時，0<cosx<1，

故g′（x）>0，g（x）遞增，此時g（x）<g（0）=0，不合題意;

②若0<a<1，當(dāng)-π2<x<0時，由g′（x）=0知，存在x0∈-π2，0，當(dāng)x∈（x0，0）時，g′（x）>0，g（x）遞增，此時g（x）<g（0）=0，不合題意;

③若a≥1，當(dāng)x<0時，由cosx≤1知，對任意x<0，g′（x）≤0，g（x）遞減，此時g（x）>g（0）=0，符合題意.

綜上可知：存在實(shí)數(shù)a滿足題意，a的取值范圍是[1，+∞）.

這是標(biāo)準(zhǔn)解答，但如果在不等式sinx≤x（x≥0）的指引下，可以采用數(shù)形結(jié)合的方法處理如下：

法2 當(dāng)x<0時，f（x）<0恒成立，所以F（x）≥0等價于當(dāng)x<0時，g（x）≥0.

即等價于g（x）≥0對x<0恒成立，即sinx-ax≥0，故sinx≥ax對x<0恒成立.

注意到函數(shù)y=sinx在點(diǎn)（0，0）處的切線斜率為k=y′|x=0=cosx|x=0=1.

結(jié)合正弦函數(shù)以及直線y=ax圖象可知：

當(dāng)a≥1時，y=ax的圖象恒在y=sinx的下方，故有g(shù)（x）≥0對x<0恒成立.

綜上，可得a的取值范圍是[1，+∞）.應(yīng)用5 利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解最值、范圍問題

例7 （2017年全國卷Ⅱ文科第21題）設(shè)函數(shù)f（x）=（1-x2）ex.

（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性;

（2）當(dāng)x≥0時，f（x）≤ax+1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解 （1）f′（x）=ex（-x2-2x+1），令f′（x）=0得x=-1-2 ，x=-1+2，

當(dāng)x∈（-∞，-1-2）時，f′（x）<0;當(dāng)x∈（-1-2，-1+2）時，f′（x）>0;當(dāng)x∈（-1+2，+∞）時，f′（x）<0，所以f（x）在（-∞，-1-2），（-1+2，+∞）單調(diào)遞減，在（-1-2，-1+2）單調(diào)遞增.

（2） f （x）=（1+x）（1-x）ex，

當(dāng)a≥1時，設(shè)函數(shù)h（x）=（1-x）ex，h′（x）=-xex<0（x>0），因此h（x）在[0，+∞）單調(diào)遞減，而h（0）=1，故h（x）≤1，所以 f（x）=（x+1）h（x）≤x+1≤ax+1.

當(dāng)00（x>0），所以g（x）在在[0，+∞）單調(diào)遞增，而g（0）=0，故ex≥x+1.

當(dāng)0

當(dāng) a≤0時，取x0=5-12，f（x0）>（1-x0）（1+x0）2=1>ax0+1.

綜上，a的取值范圍為[1，+∞）.

法2 由（1）知，當(dāng)x≥0時，f（x）在（0，2-1）上單調(diào)遞增，在（2-1，+∞）上單調(diào)遞減，由于f′（x）=ex（-x2-2x+1），故f″（x）=ex（-x2-4x-1）.

當(dāng)x≥0時，f″（x）=ex（-x2-4x-1）<0，

故f（x）在（0，2-1）上上凸遞增，在（2-1，+∞）上上凸遞減.

圖1

同時，注意到f（0）=1，f（1）=0，故函數(shù)f（x）的大致圖象如圖1所示：

令g（x）=ax+1，其圖象是恒過點(diǎn)（0，1）的直線，由數(shù)形結(jié)合可知：

當(dāng)g（x）=ax+1的圖象與f（x）的圖象在點(diǎn)（0，1）處相切時，參數(shù)a取得最小值，故a≥f′（0）=1.

綜上可得：實(shí)數(shù)a的取值范圍為[1，+∞）.

2 總結(jié)

從上述探究中不難看出，導(dǎo)數(shù)的幾何意義作為高考的重點(diǎn)和必考點(diǎn)，其考點(diǎn)的設(shè)置不僅在直接考查函數(shù)切線問題層面，還可將導(dǎo)數(shù)生成的“切線”作為解決函數(shù)中的不等關(guān)系、范圍、最值問題的一種“臨界狀態(tài)”來解決不等問題.也可理解為：在函數(shù)導(dǎo)數(shù)背景下，不等問題是常態(tài)，但只要我們抓住相等的 “瞬間”（即直線與函數(shù)圖象相切時刻）就可解決常態(tài)的不等問題， 這就是導(dǎo)數(shù)幾何意義在解決函數(shù)問題上的“隱性作用”，也是“數(shù)形結(jié)合思想”應(yīng)用的重要體現(xiàn).當(dāng)然，高考對導(dǎo)數(shù)幾何意義的考查，最終的導(dǎo)向也是對教學(xué)中落實(shí)好培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的根本要求.

參考文獻(xiàn)

[1] 歐陽光中，朱學(xué)炎，金福臨，陳傳璋. 數(shù)學(xué)分析[M].第四版（上冊）. 北京：高等教育出版社，2018：135-141.

作者簡介 馬孟華（1986—），男，中學(xué)高級教師;主要研究高中數(shù)學(xué)教學(xué);發(fā)表多篇文章.趙寅輝（1986—），男，中小學(xué)一級教師，下關(guān)一中教務(wù)主任;云南省中小學(xué)幼兒園名師工作室“優(yōu)秀學(xué)員”，第三屆“大理十大最美教師”.