利用蒙特卡羅法計算投資組合VaR
——以嘉實新興產(chǎn)業(yè)股票（000751）為例

張航綺

（上海理工大學(xué)管理學(xué)院 上海 200093）

一、蒙特卡羅法原理與步驟

（一）蒙特卡羅法原理

蒙特卡羅法由波蘭數(shù)學(xué)家斯坦尼斯·烏拉姆與美國科學(xué)家馮·諾依曼在執(zhí)行“曼哈頓計劃”研制原子彈的過程中首先提出，使用計算機產(chǎn)生隨機數(shù)代替實際數(shù)據(jù)的方法，并依據(jù)這一方法運用隨機數(shù)成功的模擬與計算出中子的隨機游走路徑。這一方法借助計算機強大的算力，無休止地重復(fù)產(chǎn)生隨機數(shù)，一遍又一遍地完成模擬過程。目前，蒙特卡羅法在金融工程、宏觀經(jīng)濟學(xué)、計算物理學(xué)等諸多科學(xué)研究領(lǐng)域均得到廣泛應(yīng)用。蒙特卡羅法計算VaR的原理，是反復(fù)通過計算機產(chǎn)生隨機數(shù)生成模擬樣本代替實際抽樣數(shù)據(jù)，克服樣本數(shù)據(jù)不足缺陷，從而最大限度地獲得風(fēng)險因子的可能取值，更加準(zhǔn)確地描繪投資組合的未來收益分布，進(jìn)而計算得到VaR。

（二）蒙特卡羅法運用方法

1.描述或構(gòu)造隨機模型。對于隨機性問題，正確地描述和模擬其遵循的隨機模型；對于確定性問題，人為構(gòu)造一個隨機模型，使它的某些參數(shù)正好是所求問題的解，即將不具備隨機性質(zhì)的問題轉(zhuǎn)化為隨機問題。

2.利用隨機數(shù)對隨機模型進(jìn)行抽樣。針對求解問題確定抽樣方法，運用計算機模擬產(chǎn)生符合要求的隨機數(shù)進(jìn)行模擬抽樣實驗。

3.建立估計量求解。確定隨機變量作為所求問題的解，利用模擬試驗建立各種估計量對隨機變量進(jìn)行近似求解。

（三）蒙特卡羅法計算步驟

1.識別風(fēng)險因子變量

設(shè)投資組合價值Vt=V(S1,t,S2,t),Sj,t(j=1,2,…,n)為風(fēng)險因子。

2.隨機模擬風(fēng)險因子的未來變化

產(chǎn)生n個隨機變量εj,t(i=1,2,…,n),依次迭代計算Sj,t,Sj,t+Δt,Sj,t+2Δt,…,Sj,t+nΔt。

3.計算投資組合價值

利用Sj,T計算投資組合價值VT及收益ΔV。

4.計算投資組合收益的分布

重復(fù)“2、3”K次，得到ΔV1,ΔV2,…,ΔVK并按大小排列。

5.計算VaR

根據(jù)ΔV的分布，計算VaR。

二、嘉實新興產(chǎn)業(yè)股票數(shù)據(jù)選擇說明

（一）基本信息

嘉實新興產(chǎn)業(yè)股票為股票型基金，從2014.09.17成立以來，已取得406.90%的收益，同類排名3/39，期間資產(chǎn)凈值增長1702.23%，年化收益25.54%。從各區(qū)間表現(xiàn)看，1年收益率2.86%，同類排名390/512；3年收益175.04%，同類排名103/321；5年收益221.84%，同類排名17/194。從風(fēng)險控制角度看，該基金短期風(fēng)險較大，中期與長期風(fēng)險處于中等水平，屬于預(yù)期風(fēng)險和收益均較高的基金品種。萬得（Wind）數(shù)據(jù)庫3年基金評級為2星，5年基金評級為3星，基金收益率及相關(guān)指標(biāo)表現(xiàn)良好，長期投資優(yōu)勢顯著。

該基金的投資組合比例為：股票資產(chǎn)占基金資產(chǎn)的比例為80%-95%，投資于新興產(chǎn)業(yè)相關(guān)的股票占非現(xiàn)金資產(chǎn)的比例不低于80%，因此符合股票型基金要求。基金重視股票投資方面，股票投資策略相對淡化宏觀指標(biāo)，從中觀層面分析各行業(yè)和上市公司的不同特征,識別經(jīng)濟發(fā)展過程中具有良好發(fā)展前景、競爭結(jié)構(gòu)相對穩(wěn)定的行業(yè)，從中挑選具備卓越商業(yè)模式和較強競爭力的優(yōu)質(zhì)企業(yè)。其包含股票著眼于中國各新興產(chǎn)業(yè)，反映中國未來經(jīng)濟發(fā)展情況，具有較高的代表性和研究價值。研究嘉實新興產(chǎn)業(yè)股票的資產(chǎn)配置情況，其中股票行業(yè)配置情況中制造業(yè)占53.42%，信息傳輸、軟件和信息技術(shù)服務(wù)業(yè)占22.79%，二者相加超過85%，中國新興產(chǎn)業(yè)集中在制造業(yè)和信息產(chǎn)業(yè)之中，這也是未來產(chǎn)業(yè)發(fā)展方向。其剩余資產(chǎn)投資于衛(wèi)生和社會工作以及科學(xué)研究和技術(shù)服務(wù)業(yè)，整體代表我國當(dāng)前新興行業(yè)布局情況。得益于其合理的持倉組合情況，在2020年該基金規(guī)模增長迅猛，因此選擇嘉實新興產(chǎn)業(yè)股票作為研究對象。

（二）樣本選取

通過獲取其2020年年報，截至2020年底，嘉實新興產(chǎn)業(yè)股票前兩大重倉股票為匯川技術(shù)（300124.SZ）和通策醫(yī)療（600763.SH），分別占基金凈值7.65%和7.09%，占股票市值7.92% 和 7.43%，持倉市值達(dá)到 1，112，215，584.90元和 1，042，760，238.24元，同時獲取到持倉數(shù)量分別為匯川技術(shù)11，920，853股，通策醫(yī)療3，771，012股。

通過上述步驟，獲取到了嘉實新興產(chǎn)業(yè)股票2020年年底前兩大重倉股票和持股數(shù)量，下面獲取兩只股票在2020年的股票價格情況，為后續(xù)利用蒙特卡羅法計算VaR做準(zhǔn)備。通過獲取歷史股票收盤價作為股票價格，截取2020年1月2日至2020年12月31日的收盤價作為2020年歷史數(shù)據(jù)，并將2020年12月31日的收盤價作為初始股票價格，即匯川技術(shù)93.3元/股，通策醫(yī)療276.52元/股。同時記錄2021年第一個交易日收盤價格即2021年1月4日的收盤價作為參考用于后續(xù)結(jié)果檢驗。

三、VaR的具體計算

（一）構(gòu)造隨機模型

假設(shè)投資組合由兩只股票組成，分別是初始價格為93.3元/股的匯川技術(shù)股票11，920，853股股，初始價格為276.52元/股的通策醫(yī)療股票3，771，012股，投資組合的初始價值為93.3×11，920，853+276.52×3，771，012=2，154，975，823.14元。假設(shè)上述兩只股票的價格變化均遵循幾何布朗運動，通過計算兩只股票2020年對數(shù)收益率，并對數(shù)據(jù)進(jìn)行處理得到均值、標(biāo)準(zhǔn)差，最終得到匯川技術(shù)遵循均值為0.46%，標(biāo)準(zhǔn)差為2.86%的幾何布朗運動；通策醫(yī)療遵循均值為0.42%，標(biāo)準(zhǔn)差為2.65%的幾何布朗運動。并且根據(jù)二者的歷史收益率數(shù)據(jù)，計算得到兩只股票價格變動的相關(guān)系數(shù)ρ=0.3436968。擬采用蒙特卡羅法計算該投資組合在95%的置信水平下未來一天，即2021年第一個交易日的VaR。

（二）隨機模擬風(fēng)險因子的未來變化

設(shè)匯川技術(shù)與通策醫(yī)療股票在t時刻即2020年12月31日的價格分別為SA,t與SB,t，將未來24小時即2021年第一個交易日的時間間隔分割成1000份，即Δt=1/1000，則有：

其中μA=0.46%,σA=2.86%,μB=0.42%,σB=2.65%,Δt=0.001

由于匯川技術(shù)和通策醫(yī)療股票的價格變化存在相關(guān)性，因此，隨機變量εA,i與εB,i由隨機數(shù)與相關(guān)系數(shù)共同決定。根據(jù)相關(guān)系數(shù)ρ=0.3436968，可得協(xié)方差矩陣

即有：

（三）投資組合價格變動樣本軌跡

表1 投資組合價格變動樣本軌跡表

當(dāng)t=1000時，得到未來一天內(nèi)兩只股票價格的一組可能取值，即第一次隨機模擬得到2021年第一個交易日匯川技術(shù)股票價格為93.0387元/股，通策醫(yī)療股票價格為275.8383元/股。

（四）重復(fù)隨機模擬并計算VaR

將上述步驟重復(fù)10000次，即可得到10000個類似的取值，進(jìn)而得到該股票投資組合未來一天內(nèi)損益的10000個可能取值及其分布情況，進(jìn)而通過對損益大小進(jìn)行排序計算出投資組合的VaR值。如表2所示，第8527次模擬的損失值在10000次模擬中排名第9500位，根據(jù)VaR的定義可知，第8527次模擬的損失值41，081，964.37元即為95%置信水平下該投資組合的VaR，即預(yù)計2021年第一個交易日該投資組合最大會損失41，081，964.37元。

表2 投資組合收益分布表

四、計算結(jié)果檢驗

（一）獲取真實數(shù)據(jù)

獲取匯川技術(shù)和通策醫(yī)療2021年第一個交易日收盤價格即2021年1月4日的收盤價作為真實股票價格，分別為95.59元/股和268元/股，所以2021年第一個交易日該投資組合的盈虧為 95.59×11，920，853+268×3，771，012-2，154，975，823.14=-4，830，268.87元。

（二）結(jié)果檢驗

通過對比發(fā)現(xiàn)真實數(shù)據(jù)的損失值與計算結(jié)果差距過大，雖然考慮到蒙特卡羅法存在一定的誤差，并且VaR代表的是最大損失值，但誤差仍然偏大。同時計算90%和99%置信區(qū)間之下的VaR，分別為26，690，160.79和69，537，762.97，結(jié)論類似，應(yīng)當(dāng)對計算結(jié)果進(jìn)行修正，提高風(fēng)險評估的準(zhǔn)確性，不采用過于悲觀的評價結(jié)果。

（三）結(jié)果分析及修正

考慮到在計算VaR時進(jìn)行了10000次模擬，可能存在矯枉過正的情況，應(yīng)當(dāng)考慮適當(dāng)降低模擬次數(shù)，這里嘗試進(jìn)行1000次模擬。同時觀察到2021年的首個交易日為2021年1月4日，其與2020年12月31日的2020年的最后一個交易日存在一定的時間間隔。首個交易日投資者傾向于布局新一輪投資，結(jié)合政治及社會當(dāng)時的具體情況，可能出現(xiàn)股市短期上揚的情況，所以導(dǎo)致計算結(jié)果與實際差距較大。

再次計算1000次模擬之后的數(shù)據(jù)，選取95%置信區(qū)間即1000個結(jié)果中排名位于950位的VaR作為計算結(jié)果得到－41，198，977.70，可以發(fā)現(xiàn)與之前10000次模擬結(jié)果相近，證明一味增加模擬次數(shù)對于模型結(jié)果精確度的提高作用較小，采用1000次模擬已經(jīng)可以實現(xiàn)較好的模擬結(jié)果，多余的模擬次數(shù)只會增加計算負(fù)擔(dān)。同時反思結(jié)果相差較大的原因，實際上VaR反映的是在一定置信水平之下的最大虧損水平，用于測度資產(chǎn)組合的風(fēng)險水平。雖然模擬結(jié)果中VaR結(jié)果較大，但在實際情況中資產(chǎn)組合仍然實現(xiàn)了虧損的有效遏制，與VaR差距較大恰恰反映了嘉實新興產(chǎn)業(yè)股票基金在2021年勢頭良好，預(yù)期實現(xiàn)良好收益，事實上在第二日2021年1月5日，該資產(chǎn)組合就實現(xiàn)了超過60，000，000元的盈利。

五、總結(jié)與反思

（一）蒙特卡羅法優(yōu)勢

1.是完全估值法，可處理非線性、大幅波動與厚尾問題。

2.可利用計算機反復(fù)生成模擬數(shù)據(jù)，從而實現(xiàn)對風(fēng)險因子未來變化取值的最大程度模擬。

3.可利用風(fēng)險因子變化的歷史數(shù)據(jù)，及時改善和修正隨機模擬模型。

（二）蒙特卡羅法劣勢

1.需要事先構(gòu)造隨機模型模擬風(fēng)險因子的變化分布，并通過歷史數(shù)據(jù)估計模型參數(shù)，存在較大的模型風(fēng)險與參數(shù)估計誤差問題。

2.收斂速度太慢，計算效率較低，需要重復(fù)模擬大量次數(shù)，需消耗大量時間。尤其對于期權(quán)等金融衍生品和復(fù)雜投資組合來說，時間成本巨大，并不適用。若投資組合本身就由多種金融工具組成，這一情況將更為嚴(yán)重。

3.為減少時間花費，提高計算效率，往往以加大樣本方差、計算結(jié)果的可靠性與精確性下降為代價。

（三）蒙特卡羅法改進(jìn)

1.提高收斂速度。運用擬蒙特卡洛法，按照預(yù)先設(shè)定的確定性方法生成被稱為擬隨機數(shù)的低偏差點，填補偽隨機數(shù)非均勻分布造成的數(shù)據(jù)序列空白，為模擬過程帶來更多有用的信息?？墒故諗克俣扔?/√n提高至1/n。

2.提高計算效率。運用情景蒙特卡洛法，采用主成分分析法減少風(fēng)險因子數(shù)，將每個主成分的取值范圍限定在有限結(jié)果或情景之中，對每個結(jié)果或情景賦予概率，計算出主成分組合結(jié)果的概率分布。由于限定了取值范圍，這些組合的可能排列是有限的。運用蒙特卡洛法對這些組合進(jìn)行抽樣模擬，能夠提高計算速度與效率。

3.提高結(jié)果精度。主要運用對偶變量法、控制變量法、重點抽樣法、分層抽樣法和矩匹配法。如重點抽樣法根據(jù)抽樣的目的調(diào)整隨機樣本的概率測度，以適度增加關(guān)心的樣本事件在抽樣中出現(xiàn)的可能性。如在VaR計算過程中更多抽取尾部區(qū)域樣本數(shù)據(jù)。分層抽樣法在樣本的取值范圍均勻抽樣，以避免隨機數(shù)的隨機性造成抽樣不均勻。

（四）總結(jié)與反思

由本次計算結(jié)果可知投資組合VaR較小，預(yù)期最大損失較小，基金實際表現(xiàn)情況良好，所以可以認(rèn)為嘉實新興產(chǎn)業(yè)股票具有投資價值，在未來預(yù)計會為投資者帶來可觀收益。利用蒙特卡羅法借助計算機反復(fù)生成模擬數(shù)據(jù)，實現(xiàn)對風(fēng)險因子未來變化的最大程度模擬，通過風(fēng)險價值的估計比較好地實現(xiàn)了對基金投資價值的評估。

在許多金融領(lǐng)域，風(fēng)險價值是一種風(fēng)險度量。但是，由于VaR不符合次可加性的標(biāo)準(zhǔn)，它仍然不符合風(fēng)險度量的要求。同時，與高斯曲線相比，現(xiàn)實中的股票收益率呈現(xiàn)尖峰厚尾的形態(tài)。換句話說，現(xiàn)實生活中的股票傾向于表現(xiàn)出比正態(tài)分布所解釋的更為極端的損失和收益。因此，前沿的風(fēng)險分析通過假設(shè)更復(fù)雜的分布來處理厚尾股票收益，異方差和其他現(xiàn)實收益率的不完整性。

如今中國經(jīng)濟復(fù)蘇增速高點已過，GDP增速將逐季下行，中國乃至全球的復(fù)蘇動能整體偏弱，但保增長壓力又會有所提升。由于國內(nèi)通脹壓力不大，預(yù)計流動性改善的預(yù)期會有所增強。隨著自動化、信息化、智能化、低碳化、國產(chǎn)自主化的推進(jìn)，中國經(jīng)濟的轉(zhuǎn)型升級正在加速前進(jìn)。基于上述判斷，2021年以及2022年市場將仍以震蕩為主，但結(jié)構(gòu)性機會仍多，應(yīng)布局新景氣、新業(yè)態(tài)、新成長的行業(yè)，積極而審慎。