玻色-費(fèi)米超流混合體系中的相互作用調(diào)制隧穿動(dòng)力學(xué)*

徐紅萍 賀真真 魚自發(fā) 高吉明

(西北師范大學(xué)物理與電子工程學(xué)院,蘭州 730070)

研究了玻色-費(fèi)米超流混合體系中的相互作用調(diào)制隧穿動(dòng)力學(xué)特性,其中玻色子位于對稱雙勢阱中,費(fèi)米子位于對稱雙勢阱中心的簡諧勢阱中.采用雙模近似方法得到描述雙勢阱玻色-愛因斯坦凝聚的動(dòng)力學(xué)特性方程組,并將其與簡諧勢阱中分子玻色-愛因斯坦凝聚的Gross-Pitaevskii 方程進(jìn)行耦合.通過對不同參數(shù)下玻色-費(fèi)米混合體系中的隧穿現(xiàn)象進(jìn)行數(shù)值研究,發(fā)現(xiàn)簡諧勢阱中費(fèi)米子與雙勢阱中玻色子的相互作用使雙勢阱玻色-愛因斯坦凝聚的隧穿動(dòng)力學(xué)特性更加豐富.不但驅(qū)使雙勢阱中玻色-愛因斯坦凝聚從類約瑟夫森振蕩轉(zhuǎn)變?yōu)楹暧^量子自囚禁,而且宏觀量子自囚禁表現(xiàn)為三種不同的形式:相位與時(shí)間呈負(fù)相關(guān)并隨時(shí)間單調(diào)減小的自囚禁、相位隨時(shí)間演化有界的自囚禁以及相位與時(shí)間呈正相關(guān)并隨時(shí)間單調(diào)增大的自囚禁.

1 引言

20 世紀(jì)80 年代以來,量子光學(xué)發(fā)展了若干種方法:冷原子云釋放再捕獲(release and recapture,RR)[1]、冷原子云受迫振蕩[2]、冷原子光譜分析[3]、非平衡四波混頻[4]、飛行時(shí)間光譜(time of flight,TOF)[5]和二維飛行時(shí)間吸收成像[6]等.目前,實(shí)驗(yàn)上不僅實(shí)現(xiàn)了稀薄超冷原子氣體的玻色-愛因斯坦凝聚(Bose-Einstein condensate,BEC)[1],還實(shí)現(xiàn)了雙組份超冷玻色-費(fèi)米混合氣體的量子簡并,如:7Li-6Li[2],41K-40K[3],23Na-6Li[4],87Rb-6Li[5]和87Rb-40K[6]體系.超冷多體量子簡并氣體促進(jìn)了當(dāng)前原子分子物理、凝聚態(tài)物理、光學(xué)物理和量子信息等領(lǐng)域的研究.超冷原子氣體在實(shí)驗(yàn)上的可控性(如利用Feshbach 共振技術(shù),通過調(diào)節(jié)外部磁場來改變原子間相互作用,以及操控光晶格外勢對系統(tǒng)進(jìn)行周期調(diào)制,改變原子在不同格點(diǎn)的占據(jù)數(shù)和躍遷等)吸引研究者對該體系中的動(dòng)力學(xué)特性展開了大量研究.在理論上,人們在對超冷雙組份混合氣體的研究中發(fā)現(xiàn)了一系列奇特的現(xiàn)象:約瑟夫森振蕩、隧穿現(xiàn)象、渦旋[7]、對稱性破缺[8]、孤子[9]、超固體[10]、超流體[11,12]、安德森局域化[13]、量子液滴[14]等.

宏觀量子隧穿顯示了量子多體波函數(shù)的聚集隧穿行為,在各種系統(tǒng)中都被研究過.兩個(gè)弱耦合BEC 之間的量子隧穿包括約瑟夫森振蕩、非線性朗道-齊納隧穿[15]、Rosen-Zener 隧穿[16]等.特別地,隨著時(shí)間的演化,在對稱雙勢阱中的BEC 的大多數(shù)粒子局域在一個(gè)勢阱中,表現(xiàn)出高度不對稱的宏觀量子自囚禁現(xiàn)象(macroscopic quantum self-trapping,MQST)[17].量子隧穿現(xiàn)象中很多參數(shù)在實(shí)驗(yàn)上可以被直接調(diào)節(jié),如:基態(tài)能量差、隧穿系數(shù)、粒子數(shù)等,因此超冷原子氣體背景下的宏觀量子隧穿現(xiàn)象的研究受到了廣泛關(guān)注.光晶格中費(fèi)米超流氣體約瑟夫森振蕩現(xiàn)象的研究為探究整個(gè)Bardeen-Cooper-Schrieffer (BCS)超流端到BEC 端渡越區(qū)中的費(fèi)米超流體提供了難得的機(jī)會(huì).在實(shí)驗(yàn)方面,研究者們在光晶格中觀察、研究了玻色-費(fèi)米混合體系的輸運(yùn)現(xiàn)象.但是,在不同勢阱中具有種間、種內(nèi)相互作用的玻色-費(fèi)米混合體系的動(dòng)力學(xué)研究很少受到關(guān)注.

本文利用雙模近似研究了玻色-費(fèi)米超流混合物中的相互作用調(diào)制隧穿動(dòng)力學(xué),其中對稱雙勢阱中玻色子的隧穿性質(zhì)受到位于雙勢阱中心的簡諧勢中的費(fèi)米子相互作用的調(diào)制.首先利用雙模近似求解耦合含時(shí)Gross-Pitaevskii (GP)方程,得到系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程組,在不同的參數(shù)下繪制了0-模和 π-模下的動(dòng)力學(xué)相圖,并對這些相圖進(jìn)行了分析.發(fā)現(xiàn)簡諧勢阱中費(fèi)米子與雙勢阱玻色子的相互作用,豐富了雙勢阱BEC 的隧穿動(dòng)力學(xué)特性.不但通過改變不同的初始參數(shù)使雙勢阱BEC 從類約瑟夫森振蕩轉(zhuǎn)變?yōu)镸QST,而且發(fā)現(xiàn)MQST 表現(xiàn)為三種不同的形式.

2 物理模型

基于玻色-費(fèi)米混合體系的實(shí)驗(yàn)和理論研究,探究了玻色-費(fèi)米超流混合體系的隧穿動(dòng)力學(xué).其中弱排斥相互作用的玻色原子氣體囚禁于雙勢阱中,在雙勢阱中心位置處對稱放置的簡諧勢阱中囚禁了粒子數(shù)相等的雙組份費(fèi)米氣體.當(dāng)體系的溫度足夠低時(shí),對于粒子數(shù)足夠多且處于同一量子態(tài)的玻色原子,可以用GP 方程來描述其動(dòng)力學(xué)特性.對于簡諧勢阱中的費(fèi)米氣體,利用Feshbach共振技術(shù)調(diào)節(jié)費(fèi)米原子間的相互作用可以實(shí)現(xiàn)從BCS 超流端渡越到BEC 端.此時(shí),贋自旋方向向上和向下的兩個(gè)費(fèi)米原子構(gòu)成了弱相互作用的兩體束縛態(tài).遠(yuǎn)離幺正區(qū)域時(shí),處于BEC 端的費(fèi)米氣體可以看作弱相互作用的分子BEC,因此BEC端的費(fèi)米氣體也可以用GP 方程來描述.這里僅探究一維的情況,耦合含時(shí)玻色-費(fèi)米超流混合物在零溫時(shí)可以用如下GP 方程來表述[18?20]:

其中,ψb(x,t)和ψf(x,t)分別為玻色子和費(fèi)米子的序參量,滿足=Nb,f,Nb,Nf分別為玻色子和費(fèi)米子的原子數(shù);mf為費(fèi)米子的質(zhì)量;玻色子的質(zhì)量mb=2mf;參照文獻(xiàn)[15],取雙勢阱VD=(1/2)mω2x2+,簡諧勢阱VH=(1/2)×mω2x2,d為雙勢阱的勢壘高度,ω為簡諧勢的捕獲頻率,σ為高斯勢壘寬度;gb=為玻色-玻色種內(nèi)相互作用系數(shù),gf=為費(fèi)米-費(fèi)米種內(nèi)相互作用系數(shù),gbf=為玻色-費(fèi)米種間相互作用系數(shù),mR=mbmf/(mb+mf)為約化質(zhì)量,abb,aff和abf分別為玻色-玻色散射長度、費(fèi)米-費(fèi)米散射長度和玻色-費(fèi)米間散射長度.取簡諧振蕩的無量綱單位=mf=ω=1 .

雙模近似方法在研究雙勢阱中BEC 的動(dòng)力學(xué)特性時(shí)被廣泛使用[21?23].在弱耦合極限下,采用雙模近似,雙勢阱中玻色原子凝聚體的序參量ψb(x,t)可以寫為

將方程(3)代入到方程(1)中,在方程兩邊分別乘以ψ1(x)和ψ2(x),然后在全空間積分,利用正交歸一條件,可以得到b1,2(t),θ1,2(t)所滿足的動(dòng)力學(xué)方程:

其中,

通過把b1,2(t)的表達(dá)式代入到(4)式和(5)式,分離虛部和實(shí)部,再把方程(3)代入到方程(2)中,可以得到玻色-費(fèi)米超流混合體系最終的演化方程:

3 數(shù)值模擬

目前,各研究小組已經(jīng)研究了雙組份BEC 在雙勢阱中的玻色-玻色隧穿動(dòng)力學(xué)[24,25]、費(fèi)米-費(fèi)米隧穿動(dòng)力學(xué)[26]及玻色-費(fèi)米隧穿動(dòng)力學(xué)[27].研究結(jié)果表明,玻色-愛因斯坦凝聚的隧穿動(dòng)力學(xué)大致可以分為3 種模式:1)0 相位振蕩模式(0-模),即粒子布居數(shù)差在一個(gè)周期內(nèi)的平均值〈Zb(t)〉=0,相位平均值〈φb(t)〉=0 的振蕩模式;2) π 相位振蕩模式(π-模),即粒子布居數(shù)差在一個(gè)周期內(nèi)的平均值〈Zb(t)〉=0,相位平均值〈φb(t)〉=π 的振蕩模式;3) MQST 模式,即粒子布居數(shù)差在一個(gè)周期內(nèi)的平均值〈Zb(t)〉≠0 ,相位平均值可以為正負(fù)、零或π的振蕩模式.下面對以上3 種模式進(jìn)行詳細(xì)討論.

1) 雙勢阱中的初始粒子數(shù)Nb對0-模的影響

當(dāng)Nb=0.3Nf時(shí),玻色原子數(shù)較小,原子間相互作用較弱,原子可以自由地在兩個(gè)勢阱中來回隧穿.雙勢阱中玻色子的粒子布居數(shù)差隨時(shí)間的變化表現(xiàn)為正弦振蕩,相位隨時(shí)間的變化是有界的,Zb-φb相圖表現(xiàn)為一個(gè)封閉的圓圈,這種振蕩模式被稱為類約瑟夫森振蕩,如圖1(a)所示.當(dāng)Nb=Nf時(shí),隨著玻色原子數(shù)增加,原子間排斥相互作用增強(qiáng),粒子隧穿效應(yīng)受到抑制,進(jìn)而局域在雙勢阱的某一側(cè),體系進(jìn)入了自囚禁狀態(tài),具體表現(xiàn)為〈Zb(t)〉Zb(0),相位隨時(shí)間演化是有界的,此時(shí)Zb-φb相圖是封閉的,稱這種囚禁模式為MQST2模式,如圖1(d)所示.當(dāng)Nb=7Nf時(shí),體系仍然處于自囚禁狀態(tài)〈Zb(t)〉>Zb(0),此時(shí)相位與時(shí)間呈正相關(guān),并隨時(shí)間單調(diào)增大,此時(shí)Zb-φb相圖不再封閉,稱此囚禁模式為MQST3模式,如圖1(e)所示.

圖1 0-模時(shí)雙勢阱玻色子初始粒子布居數(shù)差 Zb(t)和相對相位 φb(t)隨時(shí)間 t 的變化關(guān)系,以及 Zb-φb相圖 (a)Nb=0.3Nf;(b)Nb=Nf;(c) Nb=2.2Nf;(d)Nb=5.5Nf;(e)Nb=7Nf.(a)—(e)圖中的初始條件為 Zb(0)=0.6,φb(0)=0,Nf=260,gb=2×10?4,gf=2×10?4,gbf=2×10?2Fig.1.For zero mode,population imbalance change with time t,phase change with t and population imbalance change with the phase of the double-well:(a)Nb=0.3Nf;(b) Nb=Nf;(c) Nb=2.2Nf;(d)Nb=5.5Nf;(e)Nb=7Nf.For (a)–(e) figures the initial condition is set to Zb(0)=0.6,φb(0)=0 ,Nf=260,gb=2×10?4 ,gf=2×10?4 ,gbf=2×10?2 .

2) 雙勢阱中初始粒子數(shù)Nb對 π-模的影響

如圖2 所示,雙勢阱中玻色子的振蕩開始表現(xiàn)為類約瑟夫森振蕩,隨玻色原子數(shù)的增加依次由MQST2模式轉(zhuǎn)變?yōu)镸QST1模式再回到類約瑟夫森振蕩,最后進(jìn)入MQST3模式.然而0-模時(shí)體系開始表現(xiàn)為類約瑟夫森振蕩,之后隨著玻色原子數(shù)的增加,經(jīng)歷由MQST1模式到類約瑟夫森振蕩再到MQST2模式的轉(zhuǎn)變,最后進(jìn)入MQST3模式,其中MQST1模式時(shí)〈Zb(t)〉Zb(0).而對于 π-模,MQST1模式時(shí)〈Zb(t)〉>Zb(0),MQST3模式時(shí)〈Zb(t)〉

4 相圖和相變分析

已經(jīng)分析了當(dāng)費(fèi)米粒子數(shù)不變,0-模和 π-模時(shí)雙勢阱中玻色粒子數(shù)目對雙勢阱中BEC 隧穿動(dòng)力學(xué)的影響.接下來,當(dāng)費(fèi)米粒子數(shù)目Nf=300 時(shí),改變玻色粒子布居數(shù)差,得到了Zb-φb平面內(nèi)的相圖,如圖3 所示.當(dāng)Nb=10 時(shí),體系在0-模及 π-模時(shí)只存在類約瑟夫森振蕩,如圖3(a)所示.當(dāng)Nb=30時(shí),體系存在3 種振蕩模式:0-模時(shí),當(dāng)Zb(0)較小時(shí),體系處于類約瑟夫森振蕩;隨Zb(0)的增大,體系由類約瑟夫森振蕩向MQST1模式轉(zhuǎn)變,轉(zhuǎn)變的臨界值為Zb(0)=0.92.π-模時(shí),當(dāng)Zb(0)較小時(shí),體系處于MQST2模式;隨著Zb(0) 的增大,體系由MQST2模式向類約瑟夫森振蕩轉(zhuǎn)變,轉(zhuǎn)變的臨界值為Zb(0)=0.87,如圖3(b)所示.當(dāng)Nb=300時(shí),0-模時(shí)與圖3(b)的演化過程相同,但是體系由類約瑟夫森振蕩向MQST1轉(zhuǎn)變的臨界值Zb(0)為0.58; π-模時(shí),體系只存在自囚禁模式,體系由MQST1向MQST2模式轉(zhuǎn)變的臨界值Zb(0)為0.8,如圖3(c)所示.當(dāng)Nb=600 時(shí),0-模時(shí)體系由類約瑟夫森振蕩向MQST1轉(zhuǎn)變的臨界值Zb(0)為0.65; π-模時(shí)與圖3(b)和圖3(c)的演化不同,體系一開始處于類約瑟夫森振蕩,當(dāng)Zb(0) 增大到0.83 時(shí),體系向MQST3模式轉(zhuǎn)變,如圖3(d)所示.當(dāng)Nb=1800 時(shí),0-模時(shí)體系只存在自囚禁模式,體系由MQST3向MQST2模式轉(zhuǎn)變的臨界值Zb(0)為0.51; π-模時(shí)與圖3(d)的演化過程相同,但是體系由類約瑟夫森振蕩向MQST3轉(zhuǎn)變的臨界值為0.27,如圖3(e)所示.進(jìn)一步增加玻色粒子數(shù)目,當(dāng)Nb=2100 時(shí),體系又重復(fù)圖3(e)的過程,如圖3(f)所示.

由圖3 的相圖可以看到,0-模時(shí),隨玻色粒子數(shù)增加,體系由類約瑟夫森振蕩向MQST1模式轉(zhuǎn)變的臨界值先減小后增大,最后僅存在自囚禁相.由此說明玻色粒子數(shù)增加抑制了雙勢阱中BEC的隧穿效應(yīng).同時(shí),簡諧勢阱中的費(fèi)米原子豐富了雙勢阱BEC 動(dòng)力學(xué),使其出現(xiàn)了3 種不同特征的MQST 模式.而 π-模時(shí)情況較復(fù)雜,玻色粒子數(shù)較小時(shí),體系由MQST2模式向類約瑟夫森振蕩轉(zhuǎn)變;增大玻色粒子數(shù),體系只存在自囚禁模式;進(jìn)一步增大玻色粒子數(shù),體系由類約瑟夫森振蕩向MQST3模式轉(zhuǎn)變,轉(zhuǎn)變的臨界值隨玻色粒子數(shù)增加而減小.

簡諧勢阱中費(fèi)米子對雙勢阱中玻色子的調(diào)制與二者之間的相互作用能有關(guān),然而粒子數(shù)比值Nb/Nf和相互作用強(qiáng)度gb,gf,gbf都會(huì)影響二者之間的耦合強(qiáng)度,進(jìn)而共同調(diào)制雙勢阱BEC 的隧穿動(dòng)力學(xué).圖4 展示了雙勢阱BEC 在粒子數(shù)比值Nb/Nf和相互作用強(qiáng)度gb,gbf下的相圖.除了前面討論的增加Nb可以使雙勢阱BEC 由類約瑟夫森振蕩向自囚禁轉(zhuǎn)變外,從圖4 可以得出,固定Nb/Nf之值,增大gb和gbf的值也能使體系產(chǎn)生由類約瑟夫森振蕩向自囚禁相的轉(zhuǎn)變.

圖4 (a),(c)0-模和(b),(d)π-模時(shí),Nb/Nf-gb 和Nb/Nf-gbf 平面內(nèi)的相圖,其中(a),(b)參數(shù)為 gf=2×10?4,gbf=2×10?2;(c),(d)參數(shù)為 gb=2×10?4,gf=2×10?4Fig.4.For (a),(c) zero mode and (b),(d) π mode,the phase diagram in the Nb/Nf-gb and Nb/Nf-gbf plane with (a),(b)gf=2×10?4,gbf=2×10?2 and (c),(d) gb=2×10?4,gf=2×10?4.

5 結(jié)論

本文研究了玻色-費(fèi)米超流混合物的隧穿動(dòng)力學(xué)特性,其中玻色子位于雙勢阱中,費(fèi)米子位于雙勢阱中心的簡諧勢阱中.利用雙模近似方法得到描述雙勢阱BEC 的動(dòng)力學(xué)特性方程組,并將其與描述簡諧勢阱中分子BEC 的GP 方程進(jìn)行耦合,通過數(shù)值模擬討論了玻色-費(fèi)米超流混合物相互作用調(diào)制的隧穿動(dòng)力學(xué)特性.研究發(fā)現(xiàn),通過改變體系的初始參數(shù),如玻色粒子數(shù)、費(fèi)米粒子數(shù)、玻色子間相互作用強(qiáng)度、費(fèi)米子間相互作用強(qiáng)度、玻色-費(fèi)米間相互作用強(qiáng)度以及粒子布居數(shù)差和相對相位,都能使雙勢阱中的BEC 由類約瑟夫森振蕩向自囚禁模式轉(zhuǎn)變.0-模時(shí)隨著玻色原子數(shù)的增加,體系依次經(jīng)歷了以下變化:類約瑟夫森振蕩→相位隨時(shí)間單調(diào)減小并始終小于零的自囚禁(MQST1)→類約瑟夫森振蕩→相位隨時(shí)間在有界范圍內(nèi)變化的自囚禁(MQST2)→相位隨時(shí)間單調(diào)增大并始終大于零的自囚禁(MQST3). π-模時(shí)隨著玻色原子數(shù)的增加,體系依次經(jīng)歷了以下變化:類約瑟夫森振蕩→相位有界的自囚禁(MQST2)→相位隨時(shí)間單調(diào)減小并始終小于零的自囚禁(MQST1)→類約瑟夫森振蕩→相位隨時(shí)間單調(diào)增大并始終大于零的自囚禁(MQST3).以上變化過程與雙勢阱中BEC 的隧穿特性顯著不同.由此可以得出,位于雙勢阱中心簡諧勢阱中的費(fèi)米子與雙勢阱中玻色子之間的相互作用豐富了雙勢阱BEC 的隧穿動(dòng)力學(xué)特性.