基于超幾何級數(shù)的中心二項(xiàng)式系數(shù)恒等式

劉紅梅，金 萱，李若慧

(大連民族大學(xué) 理學(xué)院，遼寧 大連 116650)

推廣的調(diào)和數(shù)定義如下：

顯然，當(dāng)x=1時(shí)，經(jīng)典調(diào)和數(shù)Hn=Hn(1)。

超幾何級數(shù)，表現(xiàn)形式為

這里升階乘(a)0=1,(a)n=a(a+1)…(a+n-1),n>1，在理論物理、數(shù)論、統(tǒng)計(jì)學(xué)中有重要的應(yīng)用。

1 兩個(gè)引理

為了給出本文的結(jié)果，引入下列兩個(gè)經(jīng)典的超幾何級數(shù)求和公式。

引理1 Gauss定理[5-6]：

(1)

引理2 Dixon定理[5-6]：

(R(a-2b-2c)>-3)。

(2)

(3)

因此希望通過將上面兩個(gè)公式微分的方法，結(jié)合Gamma函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)來獲取含有中心二項(xiàng)式系數(shù)和調(diào)和數(shù)的無窮級數(shù)求和公式。

2 兩個(gè)含有中心二項(xiàng)式系數(shù)和調(diào)和數(shù)的級數(shù)恒等式

因此

(4)

由Gauss定理(1)，上式中

(5)

其中最后一個(gè)等號是由Gamma函數(shù)的下列性質(zhì)得到的：

由Gauss定理(1)，又可計(jì)算無窮級數(shù)

對此式左右兩邊求導(dǎo)，

根據(jù)Digamma函數(shù)的特殊取值以及相關(guān)性質(zhì)：

(6)

(7)

可得

(8)

最后由(4),(5)和(8)式，定理結(jié)論成立。

定理2

證明由Dixon定理(2)，利用微分的方法,文獻(xiàn)[7]給出下列兩個(gè)恒等式：

[Hn+1(a)-Hn+1(1+a-b)-Hn+1(1+a-c)]

[Hn+1(b)+Hn+1(1+a-b)]

利用Digamma函數(shù)的特殊取值(6)和性質(zhì)(7)以及Gamma函數(shù)和Digamma函數(shù)的關(guān)系式：

ψ(1-x)-ψ(x)=πcot(πx),

證此定理結(jié)論。

獲得無窮級數(shù)求和公式本身就比較困難，本文能夠建立兩個(gè)含有中心二項(xiàng)式系數(shù)與調(diào)和數(shù)的無窮級數(shù)求和公式，是一項(xiàng)非常有意義的工作。

3 結(jié) 論