時(shí)間尺度上變質(zhì)量非完整系統(tǒng)相對(duì)于非慣性系的Noether 對(duì)稱(chēng)性

方 蕊，朱建青

(蘇州科技大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇 蘇州 215009)

力學(xué)系統(tǒng)的對(duì)稱(chēng)性與守恒量在數(shù)學(xué)、物理等領(lǐng)域具有重要的研究意義，是分析力學(xué)的一個(gè)重要研究方向.許多學(xué)者研究力學(xué)系統(tǒng)的對(duì)稱(chēng)性和守恒量，并取得了一些研究成果[1-8].在研究經(jīng)典力學(xué)系統(tǒng)時(shí)，往往需要對(duì)于離散系統(tǒng)和連續(xù)系統(tǒng)分開(kāi)進(jìn)行研究，如何讓將兩者統(tǒng)一起來(lái)進(jìn)行研究成為了一個(gè)研究問(wèn)題.時(shí)間尺度是測(cè)度鏈的一種，通過(guò)選取不同的時(shí)間尺度，可以得到更普遍的結(jié)果.時(shí)間尺度理論可以將離散系統(tǒng)、連續(xù)系統(tǒng)等統(tǒng)一起來(lái)進(jìn)行研究，不僅避免了對(duì)于同一問(wèn)題的重復(fù)研究，同時(shí)可以更深刻地揭示出力學(xué)系統(tǒng)之間的本質(zhì)差異.自時(shí)間尺度理論被提出以來(lái)，已經(jīng)在經(jīng)濟(jì)學(xué)、物理學(xué)、生物學(xué)、最優(yōu)控制等許多領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用[9-11].在時(shí)間尺度上研究力學(xué)系統(tǒng)的對(duì)稱(chēng)性和守恒量具有重要的意義，已有一些學(xué)者對(duì)于此方面進(jìn)行了研究，并取得了一系列的研究成果[12-21].

隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，航天技術(shù)也在不斷發(fā)展，火箭和航空飛機(jī)等都是變質(zhì)量系統(tǒng)，變質(zhì)量系統(tǒng)的研究日益重要.近年來(lái)，一些學(xué)者對(duì)于非完整系統(tǒng)相對(duì)于非慣性系的對(duì)稱(chēng)性進(jìn)行了研究.1992 年，羅紹凱[22]給出了變質(zhì)量非完整系統(tǒng)相對(duì)于非慣性系的方程，隨后羅紹凱和蘇正雷研究了變質(zhì)量非完整系統(tǒng)相對(duì)于非慣性系的Noether 對(duì)稱(chēng)性[23].目前已經(jīng)有一些學(xué)者在時(shí)間尺度上對(duì)于變質(zhì)量系統(tǒng)的對(duì)稱(chēng)性進(jìn)行了一些研究，主要有時(shí)間尺度上變質(zhì)量完整系統(tǒng)和非完整系統(tǒng)的Lie 對(duì)稱(chēng)性和守恒量2 個(gè)研究成果[24-25].本文區(qū)別于以往研究成果，在時(shí)間尺度上對(duì)于相對(duì)于非慣性系的變質(zhì)量非完整的Noether 對(duì)稱(chēng)性與守恒量進(jìn)行了研究，給出Noether 廣義準(zhǔn)對(duì)稱(chēng)性的判據(jù)和守恒量，對(duì)守恒量進(jìn)行了證明，并舉例說(shuō)明研究結(jié)果的應(yīng)用.

1 時(shí)間尺度上變質(zhì)量非完整系統(tǒng)相對(duì)于非慣性系的運(yùn)動(dòng)方程

假設(shè)力學(xué)系統(tǒng)由n個(gè)廣義坐標(biāo)qs(s=1,2,···,n) 組成，在t時(shí)刻，第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為mi(i=1,2,···,N)，在t+Δt時(shí)刻，質(zhì)點(diǎn)并入或分離的質(zhì)量為 Δmi，其中質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量可表示為

系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)受g個(gè)理想非Chetaev 型非完整約束

時(shí)間尺度上的Lagrange 函數(shù)為

時(shí)間尺度上的Hamilton 原理為

并且滿足互易條件和邊界條件

ui為微粒相對(duì)于質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)速度.

原理(5)可表示為

其中 λβ為約束乘子.

根據(jù)Dubois-Reymond 引理和(9)式，則可得

對(duì)(10)兩邊進(jìn)行求導(dǎo)，可得

令

則方程(11)可表為

方程(13)稱(chēng)為時(shí)間尺度上變質(zhì)量非完整系統(tǒng)相對(duì)于非慣性系的運(yùn)動(dòng)方程.

假設(shè)系統(tǒng)非奇異，即

則由方程(3)和(11)可解得 λβ的函數(shù)，進(jìn)一步可解出所有的廣義加速度

2 時(shí)間尺度上變質(zhì)量非完整系統(tǒng)相對(duì)于非慣性系的Noether 對(duì)稱(chēng)性與守恒量

時(shí)間尺度上Hamilton 作用量為

引入無(wú)限小變換

其中 ε 為無(wú)限小參數(shù)，ξ0和 ξs為生成元.

定義1如果在無(wú)限小變換(17)下作用量(16)為廣義準(zhǔn)對(duì)稱(chēng)不變量，即對(duì)于任意的 [ta,tb]?[t1,t2]，有（18）式始終成立

和限制條件

其中

則相應(yīng)的不變性稱(chēng)為時(shí)間尺度上變質(zhì)量非完整系統(tǒng)相對(duì)于非慣性系的Noether 廣義準(zhǔn)對(duì)稱(chēng)性.

定理1如果無(wú)限小變換的生成元 ξ0和 ξs滿足(19)和(20)式，則時(shí)間尺度上變質(zhì)量非完整系統(tǒng)相對(duì)于非慣性系的守恒量為

證明：

定理1 得證.

推論1若時(shí)間尺度為 T=R，則此時(shí) σ(t)=t，μ(t)=0，進(jìn)而可推得經(jīng)典變質(zhì)量非完整系統(tǒng)相對(duì)于非慣性系的Noether 等式

相應(yīng)的經(jīng)典變質(zhì)量非完整系統(tǒng)相對(duì)于非慣性系的守恒量[23]為

3 算例

設(shè)時(shí)間尺度為

時(shí)間尺度上的Lagrange 函數(shù)為

其中m=m0(1?αt)，m0、α、ω 均為常數(shù)，微粒的絕對(duì)速度為0，即

所受的非Chetaev 型非完整約束為

虛位移的限制方程為

試研究系統(tǒng)的對(duì)稱(chēng)性與守恒量.

由題可知

由(13)式可得

由(29)、(32)式可解出

進(jìn)而可得

則由(18)式可得到

聯(lián)立方程(35)和(36)可得如下解

根據(jù)定理1 可得此系統(tǒng)的守恒量為

4 結(jié)論

本文基于時(shí)間尺度上的Hamilton 原理，研究時(shí)間尺度上變質(zhì)量非完整系統(tǒng)相對(duì)于非慣性系的Noether 對(duì)稱(chēng)性和守恒量，主要建立其運(yùn)動(dòng)方程，進(jìn)而給出其N(xiāo)oether 廣義準(zhǔn)對(duì)稱(chēng)性的判據(jù)以及守恒量及其證明.文章研究方法可運(yùn)用到時(shí)間尺度上變質(zhì)量系統(tǒng)相對(duì)于非慣性系的Mei 對(duì)稱(chēng)性等研究中.