如何求不規(guī)則陰影圖形的面積

顧杰超

求陰影部分圖形的面積是一類常見的問題，但題目中的陰影部分常常不是以規(guī)則的形狀出現(xiàn)，而是由一些基本圖形組合、拼湊而成的.它們的面積無法直接利用公式計(jì)算，一般我們稱這樣的圖形為不規(guī)則圖形.對(duì)于這類不規(guī)則陰影圖形的面積，我們可根據(jù)圖形的特點(diǎn)，將它們分解、轉(zhuǎn)化成我們所熟悉的規(guī)則圖形來求解，但在轉(zhuǎn)化的過程中方法是多種多樣的.現(xiàn)介紹幾種常用的方法.

一、利用平移法求解

平移法是求解不規(guī)則陰影圖形面積的一種常用方法.它是指通過對(duì)圖形的平移，使圖形的位置發(fā)生改變，從而使不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形，進(jìn)而達(dá)到輕松求解的目的.

例1如圖1，兩個(gè)半圓中，小圓的圓心O’在大⊙O的直徑CD上，長(zhǎng)為4的弦AB與直徑CD平行且與小半圓相切，那么圓中陰影部分的面積等于.

分析：通過仔細(xì)觀察，可以看出，較小的半圓是夾在弦AB與直徑CD這兩條平行線之間的，如果把較小的半圓沿著直徑CD向右平移，使圓心O’與較大的半圓的圓心O重合，小半圓的面積不變，因而陰影部分的面積未變.連接OB，作OP⊥AB于點(diǎn)P，用大半圓的面積減去小半圓的面積即可得到陰影部分的面積.

解：把較小的半圓向右平移，使其圓心O’與較大的半圓的圓心O重合，可知切點(diǎn)P即為弦AB的中點(diǎn)，再連接OB，過圓心O作OP⊥AB于點(diǎn)P，就可以得到Rt△PBO，如圖2.

評(píng)注：本題通過小半圓的平移，使圓心O1與大半圓的圓心O重合，將一個(gè)不易求解的不規(guī)則圖形面積轉(zhuǎn)化為兩個(gè)規(guī)則圖形的面積差.

二、利用旋轉(zhuǎn)法求解

旋轉(zhuǎn)法是指按照順時(shí)針或逆時(shí)針的方向，將圖形的某部分繞著某一定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)適當(dāng)?shù)慕嵌?，使已知圖形與所求圖形之間能夠建立起某種聯(lián)系，從而找到解題的突破口.

評(píng)注：本題利用圖形的特點(diǎn)，將圖中某一部分圖形進(jìn)行旋轉(zhuǎn)后把陰影部分組合為一個(gè)規(guī)則的圖形，然后利用面積公式求解.

三、利用割補(bǔ)法求解

割補(bǔ)法是指通過對(duì)幾何圖形進(jìn)行合理的分割和添補(bǔ)，把不規(guī)則、不熟悉、復(fù)雜的幾何圖形變?yōu)橐?guī)則、熟悉、簡(jiǎn)單的幾何圖形.它是求不規(guī)則陰影圖形面積的有效方法之一.

例3如圖5，正方形ABCD邊長(zhǎng)為2，兩對(duì)角線交點(diǎn)為O，OEFG也為正方形，則圖中陰影部分面積為.

故答案為：1.

評(píng)注：本題運(yùn)用了正方形性質(zhì)和三角形全等的知識(shí).通過將△QON割補(bǔ)到△POM的位置，把陰影圖形的面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積，從而便于求解.

綜上所述，不管是平移法、旋轉(zhuǎn)法，還是割補(bǔ)法，其實(shí)質(zhì)都是通過圖形的位置變換，化不規(guī)則為規(guī)則，化陌生為熟悉，化繁難為容易，從而順利解題.同學(xué)們?cè)谇蠼獠灰?guī)則陰影圖形的面積時(shí)，要注意從題設(shè)出發(fā)，結(jié)合圖形特征，靈活運(yùn)用這些方法，有效破解難題.