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    追本溯源 激活思維

    2022-05-25 08:03:30黃晚霞
    福建中學數(shù)學 2022年4期
    關(guān)鍵詞:動點周長本題

    黃晚霞

    問題是數(shù)學的心臟,培養(yǎng)學生利用數(shù)學知識與思想方法去解決問題的能力是數(shù)學教學核心任務(wù)之一,數(shù)學標準強調(diào)在數(shù)學活動中,培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力,并形成解決問題的一些基本策略,縱觀近幾年中考,數(shù)學壓軸題的得分率不盡人意,很多教師在復習中花了大量精力反復訓練、不斷強化,學生也疲于應(yīng)付,但效果不明顯,甚至沒有效果,究其原因,教師以題論題,強調(diào)課堂容量,卻沒有“授人以漁”,使得學生面對中考壓軸題中復雜多變的情景,無從下手、束手無策,下面以一道習題的教學為例,談?wù)劰P者的教學感悟與反思.

    1 問題呈現(xiàn)

    如圖1,將半徑為4的圓O沿弦AB折疊,圓上點O‘折疊后恰好與圓心O重合,連接AO并延長交圓O于點C,連接BC.點P為弧OB上一動點,點M,N分別為線段OC,BC上一動點,求APMN周長的最小值.

    2 試題分析

    初看題目貌似平凡,細細品味才發(fā)覺它有著深藏不露的“精彩”,本題以圓為載體,結(jié)合折疊、含30。的直角三角形、動點求最值等有關(guān)問題,著重考查學生運用數(shù)學模型以及分析問題、解決問題的能力,其文字敘述簡明扼要、內(nèi)容豐富,對學生的綜合能力要求較高,

    本題中,點P為弧OB上一動點,點M,N分別為線段OC,BC上一動點,總共三個動點.如何在三個動點的環(huán)境下,追尋周長的最小值是本題的難點,解決問題的關(guān)鍵點有:如何化曲為直求三角形周長;如何三角形周長用CP表示;如何利用模型求最值,因此教學中做到引導學生追本溯源,建立模型,突破思維障礙,是教學的關(guān)鍵.

    3 教學過程

    3.1 找準支點,合理鋪墊

    本題主要是考查在運動過程中幾何線段、圖形周長求最值的問題,問題解決必然要建立在學生已有的知識、方法、經(jīng)驗和模型的基礎(chǔ)上,特別是學生具備的方法、模型應(yīng)是教師教和學生學習的重要支撐點,也是學生學習發(fā)展的生長點,合理鋪墊是打開思維、解決問題的鑰匙,本題是三個動點求三角形周長的問題,學生已有一定的知識和方法,比如一個動點或兩個動點時的將軍飲馬問題等等,在解決最短路徑問題時,我們通常利用軸對稱變換化曲為直,把復雜問題轉(zhuǎn)化為容易解決的問題,為了更好幫助學生,做了以下鋪墊,

    教學鋪墊1:如何解決兩個動點分別在兩條直線上運動的最值問題?

    己知:如圖2,A是銳角∠MON內(nèi)部任意一點,在∠MON的兩邊OM,ON上各取一點B,C,組成三角形,使三角形周長最小,

    分析分別作點A關(guān)于OM,ON的對稱點A‘,A”;連接A'A”,分別交OM,ON于點B,點C,則點B,點C即為所求,

    教學鋪墊2:圓外一定點與圓上一動點的距離最值問題,

    如圖3,點P是圓O上一點,點A是圓O外一點,當點P動到點B時,AP最短,當點P動到點C時,AP最長.

    3.2科學轉(zhuǎn)化,解決問題

    3.2.1化動為靜,用模型

    本題中,點P為弧OB上一動點,點M,N分別為線段OC,BC上一動點,共三個動點,如何在三個動點的環(huán)境下,追尋周長的最小值.化動為靜,假設(shè)點P是弧OB上一定點,點M,N分別為線段OC,BC上一動點,化為兩個動點問題,降低難度,利用教學鋪墊1,化陌生為熟悉,具體如下,

    首先,根據(jù)對稱性可知OO'⊥AB,且OK=1/2OO',

    =1/2OA.因此sin ∠CAB1/2,可得∠CAB=30度,由于

    AC是直徑,所以∠ABC= 90度,所以∠ACB= 60度,假設(shè)點P是弧OB上的一定點,作點P關(guān)于直線AC的對稱點P‘,作點關(guān)于直線BC的對稱點P”,連接PP”,分別交線段AC,線段BC于點M,N,則L△PMN= PM+PN+ MN= P'M+ MN+P”N=P|'P”,所以當PP”最小時,L△PMN取最小值.

    3.2.2激活思維,化難點

    問題轉(zhuǎn)化為如何求P'P”的值?但P”的長度和位置會隨著點P的變化而變化,而且關(guān)系不明顯.變不明顯到明顯,這是解決本題的另一個關(guān)鍵,

    現(xiàn)在把問題進一步轉(zhuǎn)化為點P是弧OB上的一動點,如何求線段CP的值?

    3.2.3 溯源模型,破障礙

    如何解決這個思維障礙?再次追本溯源,發(fā)現(xiàn)點P在以O(shè)‘為圓心,OO‘為半徑圓上的運動,點C為圓O‘外一點,這就是圓中最值基本模型“圓外一點與圓上一點的距離最值問題”.

    4 教學反思

    4.1 追本溯源,突出模型

    數(shù)學建模思想是一項重要的數(shù)學核心素養(yǎng),幫助學生建立數(shù)學模型并用模型去解決實際問題是教學的重要目標,初中幾何問題中蘊含豐富的模型,比如“將軍飲馬”、“一線三等角”等,幾何模型的教學是培養(yǎng)學生數(shù)學直觀素養(yǎng),樹立學生建模意識的重要途徑,在總結(jié)、提煉、運用模型同時,要引導學生弄清模型所蘊含的知識本源和數(shù)學思想方法.

    4.2 挖掘思想,提升素養(yǎng)

    教學中中考壓軸題,情境復雜,綜合性強,對學生分析問題、解決問題的能力要求較高,涉及到數(shù)學思想、方法多,在教學中,教師要有意識總結(jié)提煉數(shù)學思想和方法,在本題的教學中要以問題為導向,突出模型、轉(zhuǎn)化、運動變化等思想,如在問題的解決中將P點化動為靜,動靜結(jié)合,化曲為直求周長以及將P'P”的長轉(zhuǎn)化CP,最終將問題轉(zhuǎn)化為模型去解決,從而實現(xiàn)所求目標,整個過程突出轉(zhuǎn)化思想、模型思想,通過不斷總結(jié)、提煉、運用數(shù)學思想,展開學生的思維,在課堂教學中落實和發(fā)展學生數(shù)學建模、幾何直觀和邏輯推理等核心素養(yǎng),

    參考文獻

    [1]戴秀梅.對一道經(jīng)典數(shù)學題的再探究[J].中學數(shù)學教學參考,2020(3)(中旬):58-60

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