巧用直線的斜率公式解答三類問題

盧潔

直線的斜率公式k = x2-x1是解析幾何中的一個(gè)重要公式，在解題中應(yīng)用廣泛，常用于求直線的斜率、傾斜角、方程，解答中點(diǎn)弦問題等.本文重點(diǎn)談一談如何巧妙運(yùn)用直線的斜率公式解答下列三類問題.

一、證明三點(diǎn)共線

在證明三點(diǎn)共線時(shí)，可以任意選取其中的兩個(gè)點(diǎn)，將其坐標(biāo)代入直線的斜率公式中，求出兩點(diǎn)所在直線的斜率;再選取另兩個(gè)點(diǎn)，求出其所在直線的斜率.若這兩個(gè)斜率相等，則證明三點(diǎn)共線.

例1.已知過原點(diǎn)O 的一條直線與函數(shù) y =log8x 的圖象交于 A，B 兩點(diǎn)，分別過 A，B 作 y 軸的平行線與函數(shù) y =log2x 的圖象交于 C，D 兩點(diǎn)，求證： C，D，O 三點(diǎn)在同一直線上.

證明：設(shè) A，B 兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是 x1，x2，則 A（x1，log8x1），B（x2，log8x2），C（x1，log2x1），D（x2，log2x2），

因?yàn)?A，B 在過原點(diǎn)的直線上，所以kOA =kOB，

即? x1? =? x 2? ，

又kOC =? x1? =? x1? ，kOD =? x2? =? x2?? ，

所以kOC =kOD，即 C，D，O 三點(diǎn)在同一直線上.

一般地，共線的三點(diǎn)所在直線的斜率相等，而兩點(diǎn)能確定一條直線，所以運(yùn)用直線的斜率公式來證明三點(diǎn)共線較為便捷.值得注意的是，有時(shí)需考慮直線的斜率不存在的情況，此時(shí)三點(diǎn)所在的直線與 x 軸垂直.

二、求解等差數(shù)列的通項(xiàng)公式問題

當(dāng)?shù)炔顢?shù)列的通項(xiàng)公式 an=a1+（n -1）d 可以變形為 an=dn +（a1-d），當(dāng) d ≠0時(shí)，可將該式視為關(guān)于 n 的一次函數(shù)，故當(dāng) n ∈ N 時(shí)，點(diǎn)（n，an）可看作直線 y =dx +（a1-d）上的點(diǎn)，于是便可利用直線的斜率公式來研究等差數(shù)列中的項(xiàng)、通項(xiàng)，判斷等差數(shù)列的單調(diào)性.

例2.已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，若 a59=70，a80= 112，求 a122的值.

解：由 a59=70，a80= 112可設(shè) A（59，70），B（80，112）， C（122，a122），

根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式與函數(shù)的關(guān)系知 A，B，C 三點(diǎn)共線，這樣 A，B，C 可構(gòu)成直線，所以kAB =kBC，由直線的斜率公式得? =a122- 122解得 a122= 196.

如果將等差數(shù)列的通項(xiàng)公式看作關(guān)于 n 的一次函數(shù)，則在平面直角坐標(biāo)系中，等差數(shù)列的項(xiàng)和其對(duì)應(yīng)的項(xiàng)數(shù)可構(gòu)成直線上的一些孤立的點(diǎn)，根據(jù)直線的斜率公式即可解題.同學(xué)們?cè)诮忸}時(shí)，要將直線的斜率公式和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式關(guān)聯(lián)起來，巧妙利用直線的斜率公式，可以給我們解題帶來很大的便捷.

三、證明不等式

有些不等式可變?yōu)轭愃朴谥本€的斜率公式的形式，因此在證明不等式時(shí)，可將這個(gè)不等式進(jìn)行合理的變形，以便根據(jù)直線的斜率公式來解題.可通過比較直線的斜率的大小，比較出不等式兩邊式子的值的大小，從而證明不等式.

例3.已知函數(shù) f（x）=? （x ∈ R），且 a ≠ b，求證：f（a）-f（b）<a - b .

證明：設(shè)Aa，f a，Bb，f b（a ≠ b）是雙曲線y2-x2= 1（y ≥1）上的任意兩點(diǎn)，則kAB =

因?yàn)殡p曲線的兩條漸近線為 y =±x，其斜率為±1，由圖可知-1<kAB< 1，即|kAB|< 1，

所以<1，即 f|（a）-f（b）|< |a -b|得證.

令 y =f（x）=? ，則 y2-x2= 1（y ≥1）為等軸雙曲線的上支，而 可看成為曲線上兩點(diǎn)Aa，fa，Bb，fb（a ≠ b）連線的斜率的絕對(duì)值，于是問題就轉(zhuǎn)化為證明雙曲線上支的任意一弦所在直線的斜率的絕對(duì)值小于1的問題，借助圖形即可快速解題.

可見，將三點(diǎn)共線問題、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式問題、不等式證明問題與直線的斜率公式關(guān)聯(lián)起來，合理構(gòu)造直線模型，巧妙運(yùn)用直線的斜率公式，能快速解題.這就要求同學(xué)們?cè)诮忸}時(shí)要學(xué)會(huì)聯(lián)想，由此及彼，靈活運(yùn)用創(chuàng)造性思維來尋找解題的思路.

（作者單位：江蘇省如東高級(jí)中學(xué)）