美妙的特征數(shù)

李大順

特征數(shù)指的是眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、百分位數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差或方差，為了從整體上更好地把握總體的規(guī)律，通過對(duì)樣本數(shù)據(jù)的研究來(lái)比較全面地認(rèn)識(shí)和估計(jì)總體，進(jìn)而使我們能從整體上更好地把握總體的規(guī)律、對(duì)總體作出合理的推斷與決策，初步體會(huì)、領(lǐng)悟“用數(shù)據(jù)說話”的統(tǒng)計(jì)思想方法。

一、眾數(shù)

例1 某班50名學(xué)生的一次安全知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)分布如表1所示（滿分10分）。

這次安全知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的眾數(shù)是（）。

A.10

B.9

C.8

D.6

解析眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)。由表中數(shù)據(jù)可知，成績(jī)9分出現(xiàn)的次數(shù)最多，所以眾數(shù)是9。應(yīng)選B。

評(píng)注：眾數(shù)就是樣本數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù)。眾數(shù)可以有兩個(gè)或兩個(gè)以上。

二、中位數(shù)

例2 某校舉行“社會(huì)主義核心價(jià)值觀”演講比賽，學(xué)校對(duì)30名參賽選手的成績(jī)進(jìn)行了分組統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如表2所示。

由上可知，參賽選手分?jǐn)?shù)的中位數(shù)所在的分?jǐn)?shù)段為（）。

A.5≤x<6

B.6≤x<7

C.7≤x<8

D.8≤x<9

解析已知數(shù)據(jù)共有30個(gè)數(shù)，中位數(shù)是第15，16個(gè)數(shù)的平均數(shù)，而第15，16個(gè)數(shù)所在分?jǐn)?shù)段均為6≤x<7，所以參賽選手分?jǐn)?shù)的中位數(shù)所在的分?jǐn)?shù)段為6≤x<7。應(yīng)選B。

評(píng)注：中位數(shù)是一組數(shù)據(jù)按大小順序排列后，處于中間位置的數(shù)。如果這組數(shù)據(jù)是偶數(shù)，則取中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)即為中位數(shù)。

三、平均數(shù)

例3 期中考試后，班長(zhǎng)算出全班40名同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分為M，如果把M當(dāng)成一個(gè)同學(xué)的分?jǐn)?shù)，再與原來(lái)的40個(gè)分?jǐn)?shù)一起，算出這41個(gè)同學(xué)的平均分為N，那么M：N=（）。

A.40：41

B.1：1

C.41：40

D.2：1

解析

設(shè)40個(gè)同學(xué)的成績(jī)依次是a1，a2，···，a40，則平均分a+a2+··+ao。因?yàn)檫@41個(gè)同學(xué)的平均分為N，所以平均分N=a1+a2+···+a40+M，即M=N。應(yīng)選B。

評(píng)注：平均數(shù)是樣本數(shù)據(jù)的重要數(shù)字特征，平均數(shù)越大表明數(shù)據(jù)的平均水平越高，平均數(shù)越小表明數(shù)據(jù)的平均水平越低。由于平均數(shù)與每一個(gè)樣本數(shù)據(jù)有關(guān)，所以任何一個(gè)樣本數(shù)據(jù)的改變都會(huì)引起平均數(shù)的改變，這是中位數(shù)、眾數(shù)都不具有的性質(zhì)。

四、百分位數(shù)

例4 一個(gè)容量為20的樣本，其數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為1，2，2，3，5，6，6，7，8，8，9，10，13，13，14，15，17，17，18，18，則該組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為，第86百分位數(shù)為。

解析

因?yàn)?6%x20=17.2，所以第86百分位數(shù)為第18個(gè)數(shù)據(jù)，即為17。

例5 已知一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為11，12，15，x，17，y，22，26，經(jīng)過計(jì)算，該組數(shù)據(jù)的50%分位數(shù)是16，75%分位數(shù)是20，則x=，y=。

解析因?yàn)?0%x8=4，所以50%分位數(shù)是（x+17）÷2=16，解得x=15。

因?yàn)?5%x8=6，所以75%分位數(shù)是（y+22）÷2=20，解得y=18。

評(píng)注：計(jì)算一組n個(gè)數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的三個(gè)步驟：第1步，按從小到大排列原始數(shù)據(jù);第2步，計(jì)算i=nxp%;第3步，若i不是整數(shù)，而大于i的比鄰整數(shù)為j，則第p百分位數(shù)為第j項(xiàng)數(shù)據(jù)，若i是整數(shù)，則第p百分位數(shù)為第i項(xiàng)與第（i+1）項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù)。

五、方差或標(biāo)準(zhǔn)差

例6 樣本中共有5個(gè)個(gè)體，其值分別為a，0，1，2，3。若該樣本的平均數(shù)為1，則樣本方差為（）。

A.

B.

C.

D.

解析由題意可知樣本的平均數(shù)為1，所以a+0+1+2+3，解得a=—1。所以樣本的方差為s2=1/5[（-1-1）2+（0-1）2+（1-1）2+（2- 1）2+（3—1）2]=2。應(yīng)選D。

評(píng)注：方差或標(biāo)準(zhǔn)差是描述一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)性大小，方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，這組數(shù)據(jù)越穩(wěn)定。

六、特征數(shù)的綜合運(yùn)用

例7 由正整數(shù)組成的一組數(shù)據(jù)為x1，x2，x3，x4，其平均數(shù)和中位數(shù)都是2，且標(biāo)準(zhǔn)差等于1，則這組數(shù)據(jù)為。（按照從小到大順序排列）

解析由題意得

因?yàn)閤1，x2，x3，x4都是正整數(shù)，所以只有1，3組合或2，2組合。

若是2，2組合，不妨設(shè)x1=x4=2。由標(biāo)準(zhǔn)差等于1，可得s2=1/4x[（x1—2）2+（x2-2）2+（x3-2）2+（x4-2）2]=1，所以（x2-2）2+（x3-2）2=4，而x2+x3=2，此時(shí) x2=0，x3=4或x2=4，x3=0，不滿足條件，所以x1與x4，x2與x3都是1，3組合。因此這組數(shù)據(jù)為1，1，3，3。

評(píng)注：理解平均數(shù)，中位數(shù)，方差或標(biāo)準(zhǔn)差的含義是解題的關(guān)鍵。

感悟與提高

1.一組觀察值4，3，5，6出現(xiàn)的次數(shù)分別是3，2，4，2，則樣本平均數(shù)為（）。

A.4.55

B.4.5

C.12.5

D.1.64

提示：。應(yīng)選A。

2.從某公司生產(chǎn)的產(chǎn)品中，任意抽取12件，得到它們的質(zhì)量（單位：kg）如下：

7.9，9，8.9，8.6，8.4，8.5，8.5，8.5，9.9， 7.8，8.3，8。

求這組數(shù)據(jù)的四分位數(shù)。

提示：這組數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列為7.8，7.9，8，8.3，8.4，8.5，8.5，8.5，8.6，8.9，9，9.9。

作者單位：甘肅省臨夏州臨夏市河州中學(xué)

（責(zé)任編輯郭正華）231A7922-C614-48CB-A169-C66B93C05CC3