基于數(shù)學(xué)大觀念理論的單元整體教學(xué)建構(gòu)
——以北師版小學(xué)數(shù)學(xué)教材六年級上冊“比的認(rèn)識”為例

董文彬

（北京市海淀區(qū)中關(guān)村第一小學(xué)教育集團）

英國學(xué)者查爾斯在“作為中學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的偉大思想和理解”一文中將“數(shù)學(xué)大觀念”定義為：對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)至關(guān)重要的觀念的陳述，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心，能夠把各種數(shù)學(xué)理解聯(lián)系成一個連貫的整體。澳大利亞維多利亞州教育和兒童早期發(fā)展部將“數(shù)學(xué)大觀念”界定為：是思考數(shù)學(xué)某些關(guān)鍵方面的一種觀念、策略或方法，涵蓋并聯(lián)系著其他多種觀念和策略；是一種理想化的認(rèn)知模型，它提供了支持進一步學(xué)習(xí)和概括的組織結(jié)構(gòu)或參考框架；無法明確界定，但可以在活動中觀察。查爾斯認(rèn)為數(shù)學(xué)大觀念應(yīng)當(dāng)居于數(shù)學(xué)學(xué)科的核心位置，并且能夠用其將數(shù)學(xué)構(gòu)建為連貫的整體。澳大利亞維多利亞州教育和兒童早期發(fā)展部認(rèn)識到數(shù)學(xué)大觀念對于關(guān)鍵知識、技能、思想方法的學(xué)習(xí)具有重要價值，并指出數(shù)學(xué)大觀念應(yīng)當(dāng)落實到實踐中去，并可以在活動中觀察。由此，數(shù)學(xué)大觀念的本質(zhì)內(nèi)涵應(yīng)是：結(jié)構(gòu)、聯(lián)系和遷移。

“比的認(rèn)識”作為“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域兩種數(shù)量關(guān)系教學(xué)的核心內(nèi)容，是發(fā)展學(xué)生模型思想的重要學(xué)習(xí)載體，在小學(xué)數(shù)學(xué)課程中占有十分重要的地位。教學(xué)中，應(yīng)依據(jù)教材和學(xué)情，基于數(shù)學(xué)大觀念理論對“比的認(rèn)識”進行單元整體教學(xué)建構(gòu)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)模型思想這一數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

一、基于數(shù)學(xué)大觀念的概念解釋和本質(zhì)思考

“比的認(rèn)識”這一單元屬于“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域內(nèi)容。在單元教學(xué)時，我先對“比”的概念解釋和“比”的本質(zhì)進行了系統(tǒng)梳理與思考。

（一）“比”的概念解釋

由此可見，相比于《辭?！泛同F(xiàn)行教材，我國臺灣地區(qū)教材對“比”的概念解釋——對并置的兩個量對等關(guān)系的記錄，更接近“比”的本質(zhì)。

（二）“比”的本質(zhì)思考

東北師范大學(xué)史寧中教授認(rèn)為，“比”的本質(zhì)其實就是兩個數(shù)量倍數(shù)關(guān)系的表達和度量。度量包括兩個要素：一是度量單位；二是度量單位的個數(shù)即度量值，也稱“量數(shù)”。通過測量，用“量數(shù)=量/度量單位”表示度量的結(jié)果。物體的長度、面積、體積、質(zhì)量等具有可度量的屬性，而顏色、形狀、質(zhì)地等屬不可度量的屬性，要用“比”來記錄對等關(guān)系。

關(guān)于度量與“比”的本質(zhì)聯(lián)系，具體體現(xiàn)如表2。

表2 “比”與度量本質(zhì)聯(lián)系的具體體現(xiàn)

由此可見，與度量相比，“比”能找到與其一一對應(yīng)的本質(zhì)屬性。如果這種一一對應(yīng)的本質(zhì)聯(lián)系姑且算作“比”的外在特征的話，那么用“比”記錄兩個量的對等關(guān)系，進而刻畫物體不可度量屬性的可比性則是“比”的內(nèi)在表現(xiàn)。

二、基于數(shù)學(xué)大觀念的單元教材分析

在理清關(guān)于“比”的概念解釋、進行“比”的本質(zhì)思考基礎(chǔ)上，基于數(shù)學(xué)大觀念，我對單元教材分析如下。

（一）縱向梳理教材——構(gòu)建知識體系

“比”是對兩個數(shù)量之間倍數(shù)關(guān)系的表達和度量。以北師版教材為例，關(guān)于兩個數(shù)量之間關(guān)系的認(rèn)識與學(xué)習(xí)路徑，體現(xiàn)如圖1所示。

圖1 兩種數(shù)量之間關(guān)系的認(rèn)識與學(xué)習(xí)路徑

“比的認(rèn)識”是在第一學(xué)段經(jīng)歷了比較（比大?。⒊ㄒ饬x與倍的認(rèn)識、分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識、以及第二學(xué)段分?jǐn)?shù)的再認(rèn)識、百分?jǐn)?shù)的認(rèn)識基礎(chǔ)上展開學(xué)習(xí)的。從比差到比率，“比的認(rèn)識”更加凸顯數(shù)量關(guān)系的豐富性、聯(lián)系性、獨特性（比不僅能刻畫同類量的關(guān)系即倍比關(guān)系，也能刻畫不同類量的關(guān)系即衍生的量）。從常量世界到變量世界，“比的認(rèn)識”也是后續(xù)學(xué)習(xí)比例，正、反比例以及第三學(xué)段函數(shù)等其他有關(guān)方面知識的重要基礎(chǔ)。特別需要說明的是，“比的認(rèn)識”是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過分?jǐn)?shù)乘（除）法的意義和計算、分?jǐn)?shù)的意義及基本性質(zhì)以及分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系基礎(chǔ)上繼續(xù)學(xué)習(xí)的，這些知識都是學(xué)習(xí)本單元內(nèi)容的直接基礎(chǔ)和重要經(jīng)驗?！氨鹊恼J(rèn)識”是對分?jǐn)?shù)意義認(rèn)識的豐富，是分?jǐn)?shù)的認(rèn)識在經(jīng)歷了前兩個階段（分?jǐn)?shù)的份數(shù)定義、商的定義）之后的第三階段（“分?jǐn)?shù)的比”的定義），理解“比”的本質(zhì)意義能夠幫助學(xué)生進一步完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)和構(gòu)建知識體系。

（二）橫向?qū)Ρ冉滩摹盐铡氨取钡谋举|(zhì)

關(guān)于“比的認(rèn)識”，對比人教版、蘇教版和北師版教材的編排我們發(fā)現(xiàn)，無論是人教版、蘇教版還是北師版教材，都通過創(chuàng)設(shè)豐富的情境，如牛奶與果汁的關(guān)系、國旗長與寬的關(guān)系、照片的像與不像、路程與時間的關(guān)系、總價與數(shù)量的關(guān)系等，讓學(xué)生經(jīng)歷從具體情境中抽象出“比”的過程，充分感知“比”、體會“比”的意義。各版本的教材都從兩個角度呈現(xiàn)了“比”的意義：一個是用“比”刻畫兩個同類量之間的關(guān)系，另一個是用“比”刻畫兩個不同類量之間的關(guān)系。最終都呈現(xiàn)了對“比”的概念解釋：兩個數(shù)相除又叫做兩個數(shù)的比（北師版、蘇教版表述）；兩個數(shù)的比表示兩個數(shù)相除（人教版表述）。

在內(nèi)容編排上，本單元提供多種問題情境和呈現(xiàn)方式，讓學(xué)生經(jīng)歷從具體情境中抽象出“比”的過程，體會引入“比”的必要性以及“比”在生活中的廣泛存在，并按照“比的意義—比的化簡—比的應(yīng)用”的順序進行學(xué)習(xí)，層層進階，深入理解“比”的意義，建構(gòu)“比”的模型，在不斷深入學(xué)習(xí)中發(fā)展學(xué)生的模型思想，提高問題解決能力。

三、基于數(shù)學(xué)大觀念的單元學(xué)情分析

為了解學(xué)生在學(xué)習(xí)“比的認(rèn)識”之前對“比”的理解程度，我對六年級學(xué)生進行了前測調(diào)研。為避免“問題2”對“問題1”造成干擾和提示，用兩個班共計74人測試“問題1”，用另外兩個班共計69人測試“問題2”。

問題1：你在生活中聽過或見過“比”嗎？請你用自己喜歡的方式把它表示出來。（意圖：調(diào)研學(xué)生對“比”的生活經(jīng)驗和認(rèn)識程度）

問題2：有一種泡泡液，要把它調(diào)制成泡泡水來吹泡泡。按照說明，其中1:2是什么意思？你知道該怎樣使用這種泡泡液嗎？（意圖：調(diào)研學(xué)生對配比情境中“比”的意義的理解狀況）

“問題1”的調(diào)研結(jié)果分析如表3。

表3 “問題1”學(xué)生作答結(jié)果統(tǒng)計表

通過對六年級兩個班共計74名學(xué)生的前測可見：

其一，學(xué)生都聽過或見過他們心中的“比”。說明對于生活中的“比”有著豐富的經(jīng)驗和表達，但僅有35.1%的學(xué)生舉出了數(shù)學(xué)意義上的倍比關(guān)系的例子。而舉例并能正確解釋的學(xué)生只占31.1%，且其中有8.1%的學(xué)生舉例時還涉及賽場上的比分，另有4%的學(xué)生無法對“比”做出解釋。由此可見，有近七成的學(xué)生沒有觸及“比”的本質(zhì)，不能理解“比”的意義。

其二，有13.5%的學(xué)生對“比”只停留在的字面意義層面上的認(rèn)識。部分學(xué)生對“比”的認(rèn)識仍停留在感性比較上，比如誰比誰長得好看，誰比誰寫字好；當(dāng)教師提到百分比的例子時，因為這部分學(xué)生還未學(xué)習(xí)百分?jǐn)?shù)，之所以能提及百分比，也只是因為百分比中有“比”這個字而已。有4.1%的學(xué)生僅掌握舉例形式的“比”的知識，如“比”和除法、分?jǐn)?shù)的互化，“比”的化簡等。為進一步了解他們是怎么寫出來的，我對這部分學(xué)生進行了追訪，通過追訪發(fā)現(xiàn)，學(xué)生僅是通過課前預(yù)習(xí)或家長告知而獲得了對“比”的程序性或技能知識，而對“比的意義”的認(rèn)識還是模糊不清的。

其三，高達45.9%的學(xué)生所舉的都是生活中比差關(guān)系的例子。比如比大小、比多少、比長短等，說明比差關(guān)系是學(xué)生認(rèn)識比最原始的基礎(chǔ)和經(jīng)驗，也是本單元理解“比的意義”的最大障礙，必須加以區(qū)分。特別需要說明的是，有18.9%的學(xué)生談及了賽場上的比分，這說明在本單元“比的意義”的基礎(chǔ)上，對二者進行區(qū)分十分有必要。

通過對六年級另外兩個班共計69 名學(xué)生關(guān)于“問題2”的前測（如表4）可見：

表4 “問題2”學(xué)生作答結(jié)果統(tǒng)計表

其一，對于現(xiàn)實生活簡單配比情境中的“比的意義”，有79.7%的學(xué)生能夠從份數(shù)和倍數(shù)關(guān)系的角度作出正確解釋，且其中還有2 名學(xué)生聯(lián)系了分?jǐn)?shù)意義來對“比”作出解釋。這說明在本單元建立“比的意義”學(xué)習(xí)之前，學(xué)生已經(jīng)有了一定的知識經(jīng)驗。份、倍、分?jǐn)?shù)等這些知識經(jīng)驗有助于學(xué)生理解“比的意義”，為建立“比”的關(guān)系模型提供必備的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)。配置泡泡水這樣的配比情境十分貼近學(xué)生生活，多數(shù)學(xué)生都有吹泡泡的生活經(jīng)驗，這樣的經(jīng)驗?zāi)軌驇椭麄兘忉尅氨鹊囊饬x”，說明創(chuàng)設(shè)這樣貼近學(xué)生生活的配比情境對于本單元學(xué)習(xí)是十分必要的。

其二，有20.3%的學(xué)生對“比的意義”作出錯誤解釋或完全解釋不清，需引起教師的特別重視。另外，即便學(xué)生能解釋簡單情境中“比的意義”，也未必真正建立了“比”的關(guān)系模型。因此，本單元需要創(chuàng)設(shè)豐富的問題情境，幫助學(xué)生在問題解決中逐步建立、拓展和豐富“比”的模型，層層深入理解比的意義，深化對“比”的本質(zhì)認(rèn)識。

四、基于數(shù)學(xué)大觀念的單元整體教學(xué)體系構(gòu)建

基于上述單元教材與學(xué)情分析，我產(chǎn)生了一連串的問題與思考：兩個數(shù)相除又叫做兩個數(shù)的“比”是否能夠準(zhǔn)確定義“比”？除法就是“比”，還是“比”就是除法？二者是等價的嗎？有了除法和分?jǐn)?shù)，為何還要學(xué)習(xí)“比”？“比”獨特的價值體現(xiàn)在哪里？到底什么是“比”？“比”的本質(zhì)是什么？為此，我擬定了“比的認(rèn)識”的單元問題框架（如圖2）。

圖2 “比的認(rèn)識”單元問題框架

在這個問題框架下，結(jié)合大觀念理論，我對“比”的認(rèn)識如下。

其一，“比”的本質(zhì)是表達和度量兩個數(shù)的倍數(shù)關(guān)系，是刻畫事物某種屬性的重要模型。“比”源于同類量的比較關(guān)系，但是可以推廣到“不同類量”的情形。不同類量的“比”可以產(chǎn)生新的量（衍生的量）。

其二，“比”源于度量，度量解決了物體可度量的屬性，“比”更多是為了表征隱含于數(shù)量之中的、不可度量的事物屬性，這也是除法所不能及的。

其三，認(rèn)識“比”可為比例的學(xué)習(xí)做準(zhǔn)備，并可以擴展為一種變量之間的正比例函數(shù)關(guān)系。

其四，要在以上過程中發(fā)展學(xué)生的模型思想、度量思想，提高問題解決能力。

基于此，我在大觀念的引領(lǐng)下對“比的認(rèn)識”進行單元整體構(gòu)建，確定了“比的認(rèn)識”單元學(xué)習(xí)目標(biāo)和學(xué)習(xí)重難點。

【單元學(xué)習(xí)目標(biāo)】

一是在大量豐富的問題情境中逐步感知“比”，理解“比的意義”及其與除法、分?jǐn)?shù)的關(guān)系，能正確讀寫“比”，知道“比”的各部分名稱，理解比值的概念，能正確地求出比值。會正確化簡“比”，并能解決一些簡單的用“比”刻畫事物不可度量屬性的可比性的問題。

二是經(jīng)歷從具體情境中抽象出“比”的過程，體會引入“比”的必要性以及“比”在生活中的廣泛存在與應(yīng)用，能運用“比的意義”解決有關(guān)按比分配的實際問題，感受“比”的價值，豐富認(rèn)識，提升思維，培養(yǎng)度量意識，發(fā)展模型思想。

三是作為學(xué)習(xí)共同體的一員，使學(xué)生在問題解決的過程中形成聯(lián)系的視角，培育嚴(yán)謹(jǐn)求實的態(tài)度、勇于嘗試的精神和持續(xù)思考的勇氣，感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，享受數(shù)學(xué)思維的樂趣，獲得成功的體驗。

【學(xué)習(xí)重點】

經(jīng)歷從具體情境中抽象出“比”的過程，理解“比”的意義，合理應(yīng)用“比”解決實際問題。

【學(xué)習(xí)難點】

理解比的意義，感悟“比”的價值。

本單元學(xué)習(xí)主題為“作為關(guān)系的比——比的認(rèn)識”，在大觀念引領(lǐng)下設(shè)置三個課題“比的意義”“比的化簡”和“比的應(yīng)用”，共計5 課時。“比的意義”設(shè)置2 課時，以兩個分課題“生活中的比（一）”和“生活中的比（二）”分別進行學(xué)習(xí)，其中“生活中的比（一）”設(shè)置1 課時，在聚焦“哪幾張圖片與A 比較像”的核心問題下設(shè)計學(xué)習(xí)活動，主要是指向認(rèn)識“比”用來刻畫同類量關(guān)系，建立“比”的模型?！吧钪械谋龋ǘ痹O(shè)置1 課時，在聚焦“哪個游泳池更擁擠”的核心問題下設(shè)計學(xué)習(xí)活動，主要是指向認(rèn)識“比”用來刻畫不同類量關(guān)系，拓展“比”的模型?！氨鹊幕啞痹O(shè)置1 課時，在“哪杯水更甜”的核心問題下設(shè)計學(xué)習(xí)活動，主要是指向再理解“比”所表示的兩個同類量關(guān)系，再認(rèn)識“比的意義”，豐富“比”的模型?！氨鹊膽?yīng)用”設(shè)置2 課時，以兩個分課題“比的應(yīng)用（一）”和“比的應(yīng)用（二）”進行學(xué)習(xí)，分別聚焦“橘子怎樣分合理”和“怎樣調(diào)制巧克力奶”的核心問題下設(shè)計學(xué)習(xí)活動，主要是指向深化理解“比”用來刻畫同類量關(guān)系，再認(rèn)識“比的意義”，應(yīng)用“比”的模型解決問題。

本單元通過對三個主課題的學(xué)習(xí)，幫助學(xué)生逐步理解“比的意義”，建構(gòu)“比”的模型，深化“比”的關(guān)系本質(zhì)，以完成對“比”完整、豐富而又立體的認(rèn)識。整個單元基于學(xué)生從比差到比率的思考角度，確定單元內(nèi)容線索，單元構(gòu)建有根基；通過對同類量與不同類量關(guān)系的刻畫與理解構(gòu)建“比”的關(guān)系模型，實現(xiàn)建構(gòu)，單元構(gòu)建有邏輯；模型貫穿單元每個課時，通過單元整體構(gòu)建實現(xiàn)模型思想發(fā)展的進階，單元構(gòu)建有張力（如圖3）。

圖3 “比的認(rèn)識”單元整體教學(xué)結(jié)構(gòu)