謝建民,趙廷剛,洪文梅
(1.蘭州城市學(xué)院 信息工程學(xué)院,甘肅蘭州 730070;2.蘭州城市學(xué)院 幼兒師范學(xué)院,甘肅蘭州 730020)
網(wǎng)絡(luò)通信和數(shù)據(jù)安全有效傳送是計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)的重要功能,是計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)社會(huì)、經(jīng)濟(jì)、服務(wù)功能的基礎(chǔ).在網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化設(shè)計(jì)中,網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的選擇對(duì)網(wǎng)絡(luò)通信功能、數(shù)據(jù)傳輸功能的效率起著至關(guān)重要的作用,而計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的魔幻性質(zhì)對(duì)網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)和通信費(fèi)用等方面有重要影響,總線型網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)、星型網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和環(huán)型網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)是三種具有魔幻標(biāo)號(hào)性質(zhì)的基本網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),其魔幻性質(zhì)為網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計(jì)奠定了必要的理論基礎(chǔ).但是,它們結(jié)構(gòu)單一性又嚴(yán)重影響著現(xiàn)實(shí)生活中實(shí)用網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì).因此,將兩種或兩種以上的單一拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)有機(jī)結(jié)合構(gòu)成新型的混合拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),已經(jīng)成為科研人員、特別是網(wǎng)絡(luò)分析、設(shè)計(jì)人員的重要研究課題.到目前為止,已有大量關(guān)于特定網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)魔幻性質(zhì)的研究文章發(fā)表[1-6].本文給出一類混合網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)——路燈樹型網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的定義,利用算法分析與設(shè)計(jì)的思想設(shè)計(jì)了“路燈樹型網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的邊魔幻全標(biāo)號(hào)算法”,證明了算法的正確性、時(shí)間復(fù)雜度及時(shí)間最優(yōu)性,從而證明了路燈樹型網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的邊魔幻性.
本文討論的網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)G=(V,E)為無向簡(jiǎn)單網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu).其中,網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)G 的節(jié)點(diǎn)集和邊集分別用V 和E 表示,p,q 則表示網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)G所含的節(jié)點(diǎn)數(shù)和邊數(shù).記號(hào)[m,n]表示非負(fù)整數(shù)集{m,m+1,m+2,…,n},其中m 和n 均為整數(shù),且滿足0≤m≤n;記號(hào)[k,l]e表示非負(fù)偶數(shù)集{k,k+2,k+4,…,l},其中k 和l 均為偶數(shù),且滿足0≤k≤l;記號(hào)[s,t]o表示非負(fù)奇數(shù)集{s,s+2,s+4,…,t},其中s 和t均為奇數(shù)且滿足0≤s≤t.未說明的符號(hào)及術(shù)語參見文獻(xiàn)[7].
定義1[7]對(duì)于網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)G(V,E),如果存在常數(shù)k 及一個(gè)映射
則稱G 為一個(gè)邊魔幻網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),f 為網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)G 的一個(gè)邊魔幻全標(biāo)號(hào),λ 為魔幻常數(shù).
定義2由一個(gè)總線型網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)Pm和m個(gè)星型網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)Si,n(i∈[1,m])組合而成混合型網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)T(Pm,S1,n,S2,n,…,Sm,n)稱為路燈樹型網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu).
任給正偶數(shù)m 與正整數(shù)n,設(shè)路燈樹型網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)
其中節(jié)點(diǎn)集合
則路燈樹型網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)T(Pm,S1,n,S2,n,…,Sm,n)的節(jié)點(diǎn)標(biāo)定拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)見圖1.
圖1 路燈樹型網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)標(biāo)定拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)
由定義2 易知,對(duì)于任意給定的正偶數(shù)m 與正整數(shù)n,路燈樹型網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)T(Pm,S1,n,S2,n,…,Sm,n)含節(jié)點(diǎn)數(shù)p=m(n+1),邊數(shù)q=m(n+1)-1.因此,對(duì)路燈樹型網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)T(Pm,S1,n,S2,n,…,Sm,n)構(gòu)造邊魔幻全標(biāo)號(hào)的算法見算法1(路燈樹型網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)T(Pm,S1,n,S2,n,…,Sm,n)邊魔幻全 標(biāo)號(hào)算法簡(jiǎn)記為:STREETLAMP_EMTL 算法).
下面討論“STREETLAMP_EMTL 算法”的正確性及時(shí)間復(fù)雜度.
定理1給定正偶數(shù)m、正整數(shù)n以及N節(jié)點(diǎn)路燈樹型網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)T(Pm,S1,n,S2,n,…,Sm,n)(N=m(n+1)),“STREETLAMP_EMTL 算法”能夠在時(shí)間O(N)內(nèi)確定拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)T(Pm,S1,n,S2,n,…,Sm,n)的一個(gè)邊魔幻全標(biāo)號(hào).
證明:根據(jù)算法1,對(duì)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)T(Pm,S1,n,S2,n,…,Sm,n)的節(jié)點(diǎn)及邊做分類標(biāo)號(hào)f 如下:
由f(Vt)(t∈[1,4])與f(Et)(t∈[1,2])的表達(dá)式可知,它們?nèi)我鈨蓚€(gè)集合均不相交,所以標(biāo)號(hào)f 是網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)T(Pm,S1,n,S2,n,…,Sm,n)的節(jié)點(diǎn)集V與邊集E到數(shù)集
滿足定義1 中的(4).
所以,f 是網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)T(Pm,S1,n,S2,n,…,Sm,n)的一個(gè)邊魔幻全標(biāo)號(hào),即“STREETLAMP_EMTL 算法”能夠確定網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)T(Pm,S1,n,S2,n,…,Sm,n)的一個(gè)邊魔幻全標(biāo)號(hào).
在網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)T(Pm,S1,n,S2,n,…,Sm,n)中確定一個(gè)邊魔幻全標(biāo)號(hào),基本運(yùn)算是對(duì)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)T(Pm,S1,n,S2,n,…,Sm,n)中每個(gè)節(jié)點(diǎn)標(biāo)號(hào)運(yùn)算.設(shè)W(N)表示“STREETLAMP_EMTL 算法”對(duì)于規(guī)模為N 的輸入所做的標(biāo)號(hào)次數(shù).該算法的(2)~(7)步是對(duì)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)T (Pm,S1,n,S2,n,…,Sm,n) 中每個(gè)節(jié)點(diǎn)及邊標(biāo)號(hào)運(yùn)算過程,該過程需要做m(n+1)次標(biāo)號(hào)運(yùn)算.因此,
所以,該算法的時(shí)間復(fù)雜度為
綜上所述,給定正偶數(shù)m、正整數(shù)n 以及N 節(jié)點(diǎn)路燈樹型網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)T(Pm,S1,n,S2,n,…,Sm,n)(N=m(n+1)),“STREETLAMP_EMTL 算法”能夠在時(shí)間O(N)內(nèi)確定拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)T(Pm,S1,n,S2,n,…,Sm,n)的一個(gè)邊魔幻全標(biāo)號(hào).
由定理1 易得推論1.
推論1對(duì)于任意正偶數(shù)m 和正整數(shù)n,路燈樹型網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)T(Pm,S1,n,S2,n,…,Sm,n)都是邊魔幻網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu).
定理2“STREETLAMP_EMTL 算法”是確定路燈樹型網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)T(Pm,S1,n,S2,n,…,Sm,n)的一個(gè)邊魔幻全標(biāo)號(hào)的時(shí)間最優(yōu)算法.
證明:要確定路燈樹型網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)T(Pm,S1,n,S2,n,…,Sm,n)的一個(gè)邊魔幻全標(biāo)號(hào),就必須標(biāo)出該拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)每一個(gè)節(jié)點(diǎn)及邊的標(biāo)號(hào).由于網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)T(Pm,S1,n,S2,n,…,Sm,n)有
個(gè)節(jié)點(diǎn),所以至少進(jìn)行N 次標(biāo)號(hào)運(yùn)算才能確定T(Pm,S1,n,S2,n,…,Sm,n)的一個(gè)邊魔幻 全標(biāo)號(hào).由定理1可知,算法1 僅需要做N 次標(biāo)號(hào)運(yùn)算,就能確定該網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的一個(gè)邊魔幻全標(biāo).所以,“STREETL AMP_EMTL 算法”是該算法類中時(shí)間上最優(yōu)的算法.