基于動力測試的簡支梁模型修正與參數(shù)分析*

劉才瑋，趙元元，黃緒宏，苗吉軍，楊大彬

（1.青島理工大學土木工程學院 青島，266033）

（2.建筑結構加固改造與地下空間工程教育部重點實驗室 濟南，250101）

引言

火災已成為影響建筑結構安全的重要因素之一［1］。受火災過程復雜、高溫對設備的損壞、振動特性監(jiān)測方法困難等諸多條件的限制，數(shù)值仿真試驗是研究火災下?lián)p傷識別及評估行之有效的手段，而初始有限元模型修正對于仿真結果的合理性和可信度具有重要研究價值。

在以往模型修正案例中，彭濤等［2］采用帶精英策略的快速非支配排序遺傳算法對混凝土斜拉橋進行了模型修正。陳輝等［3］提出了一種基于隨機有限元方法的隨機模型修正方法，完成了對某固支梁的有限元模型修正。秦仙蓉等［4］重點考慮了邊界條件對結構的影響，采用二次響應面法對塔機有限元模型進行修正。結果均表明，邊界條件的修正對模型準確性具有重要影響。當一次修正樣本點較多時，極易產生“數(shù)據(jù)爆炸”及映射能力降低等現(xiàn)象，其中分步修正策略可作為模型修正算法改進修正精度的依據(jù)。翁順等［5］提出了基于子結構的模型修正方法并完成了對橋梁的有限元模型修正。劉才瑋等［6］針對空間網(wǎng)格結構桿件眾多的特點，提出了分步修正的方法，結果表明該算法可以提高模型修正的計算精度及收斂效率。

在火災作用下結構振動方面，文獻［7］對框架結構中梁、板等構件在火災下振動特性發(fā)展規(guī)律進行了深入研究，發(fā)現(xiàn)整體結構中構件頻率呈現(xiàn)波動式衰減趨勢，通過頻率分析可以有效地監(jiān)測板的受火行為。劉才瑋等［8］對4 根混凝土梁分別進行了火災前、中、后的動力測試，并利用動力測試結果對其災后損傷識別及評估進行了研究。以上研究均證明頻率可反映火災中以及火災后力學性能的退化，但現(xiàn)有研究主要側重于試驗方面，火災作用下結構動力特性發(fā)展規(guī)律數(shù)值模擬方面的研究較少。

筆者以4 根矩形試驗梁、3 根T 形試驗梁為研究對象，首先，重點考慮邊界條件及多物理參數(shù)對模型的影響，利用所提出支持向量機（support vector mechanic，簡稱SVM）分步修正方法對初始模型進行修正，并采用試驗數(shù)據(jù)驗證方法的可行性；其次，為進一步驗證其合理性并探究火災下基頻衰減規(guī)律，進行了試驗研究；最后，進行了參數(shù)影響分析，擬合得到基頻隨受火時間的衰減公式，為后續(xù)混凝土梁的火災損傷識別與評估提供參考依據(jù)。

1 基于SVM 的混凝土梁分步修正方法

1.1 損傷特征參數(shù)

對于多物理參數(shù)的模型修正，樣本構造主要包括樣本采集及損傷特征參數(shù)確定。筆者以各物理參數(shù)取值范圍作為參考，采用均勻設計方法進行取樣，利用對應各物理參數(shù)取值組合下的混凝土梁模態(tài)響應，組合作為損傷特征參數(shù)。所構造混凝土梁損傷特征參數(shù)（vibration comprehensive index parameter，簡稱VCIP）詳見文獻［9］。

1.2 SVM 分步有限元模型修正方法

以混凝土密度ρ為例，利用SVM 算法進行修正，訓 練樣本步長為100，即2 400，2 500，2 600，2 700，2 800 共5 個樣本。設p為修正參數(shù)個數(shù)，將其帶入到有限元模型中進行計算，得到樣本個數(shù)為p個相乘，即()p，當p=7 時，所 得數(shù)據(jù)個數(shù)近80 000 個，映射能力低下。若采用分步修正，首次訓練樣本步長為200，即2 400，2 600，2 800 代入模型進行計算，得到樣本個數(shù)為p個相乘，即()p；二次修正以首次修正結果ρ'為基準，將訓練步長設為100，即2 500，2 600，2 700，得到樣本個數(shù)為p個相乘，即()p，數(shù)據(jù)個數(shù)為2 187 個。分步修正與一次修正的樣本數(shù)之比為()p/()p=0.028，總樣本數(shù)之比為2()p/()p=0.056。分步修正算法可大大減少樣本量，有效防止“數(shù)據(jù)爆炸”。

綜上所述，修正過程如下：設aij為第i個物理參數(shù)j次的修正基準值，［aij-Rij，aij+Rij］（其中Rij為修正區(qū)間半徑）為j次修正的第i個物理參數(shù)修正區(qū)間，初次修正區(qū)間為［Xi，Yi］。構造樣本過程中，設bij為第i個物理參數(shù)j次的訓練步長，Cij為步長個數(shù)，bij與Cij取決于修正區(qū)間大小及所選用均勻設計表格的計算值。

1）首次修正：首次修正區(qū)間［Xi，Yi］根據(jù)工程經(jīng)驗及參考文獻確定，修正區(qū)間中值不一定為基準值。首先，步長b1j及個數(shù)C1j由均勻設計表計算確定，將Xi，Xi+b1，…，Xi+C1b1即對應的樣本點輸入到有限元模型進行模態(tài)計算，提取頻率、振型構造VCIP1*，建立損傷特征參數(shù)與對應物理參數(shù)的樣本庫A1；其次，以VCIP1*作為輸入，對應物理參數(shù)作為輸出，可訓練得到SVM 回歸機SVR1；最后，采用結構實測頻率、振型構造參數(shù)VCIP1，輸入到SVR1中，輸出即為模態(tài)實測值所對應的首次物理參數(shù)修正結果。

2）二次修正：［ai1*-Ri2，ai1*+Ri2］為二次修正區(qū)間（Ri2的取值由工程經(jīng)驗確定，筆者對修正區(qū)間減半進行構造樣本，即2Ri2=（Yi-Xi）/2）［10］，b2j與C2j的取值原則與b1j與C1j一致。首先，將ai1*-Ri2，ai1*-Ri2+b2，…，ai1*-Ri2+C2b2即對應樣本點輸入到有限元模型進行模態(tài)計算，提取頻率、振型并構造，建立損傷特征參數(shù)與對應物理參數(shù)的樣本庫A2；其次，以VCIP2*作為輸入，對應物理參數(shù)作為輸出，訓練回歸機SVR2；最后，采用結構實測頻率、振型構造參數(shù)VCIP2，輸入到SVR2中，輸出即為物理參數(shù)二次修正值ai2*。

3）n次修正：根據(jù)n-1 次修正結果，按照上述相同流程進行計算，從而獲得物理參數(shù)的n次修正結果ain*。按照上述提出的多參數(shù)修正終止指標，對模型修正結果進行評估，若滿足指標要求則結束修正；反之，對于不滿足要求的模型，已收斂的物理參數(shù)將作為最終的修正結果，尚未收斂的參數(shù)通過合適的均勻設計表構造樣本庫繼續(xù)進行修正。

筆者在建立SVM 回歸機SVR 的過程中，在原有LIBSVM 工具箱［11］基礎上對修正界面進行了改進，改進功能如下：①針對回歸問題，增加了平方相關系數(shù)（r2）隨輸入?yún)?shù)取值的變化，以便鎖定最優(yōu)解；②增加了核函數(shù)及輸入?yún)?shù)類型，便于調整核函數(shù)。在訓練回歸機的過程中，選用高斯徑向基核函數(shù)（radial basis function，簡稱RBF）進行回歸，設置懲罰參數(shù)c及函數(shù)參數(shù)g取值范圍均為（-8，8），運用交叉驗證方法，在上述范圍內綜合考慮平均平方誤差及平方相關系數(shù)，從而合理選擇輸入?yún)?shù)。

1.3 修正終止指標

對于修正終止指標的選擇，當修正參數(shù)較少時，物理參數(shù)收斂與結構響應具有一致性；當其較多時，結構響應絕對收斂所對應的物理參數(shù)真值可能并不唯一，此時應采用相對收斂。因此，筆者綜合考慮修正效率及結果準確性，收斂指標選取為

其中：為第i階n次修正后結構頻率；為第i個參數(shù)j次修正后結果；Xi，Yi為第i個修正參數(shù)初始修正區(qū)間的上下限；δ，ε為理想收斂界限值；i為感興趣的頻率階次。

依據(jù)工程經(jīng)驗，本模型修正過程中取δ=1%，ε=5%。

2 SVM 分步修正算法試驗驗證

2.1 簡支梁試件設計

共設計制作4 根3 m 的矩形簡支梁（編號為L1～L4）和3 根3 m 的T 形簡支梁（編號分別為T1～T3），并分別進行火災前、火災中模態(tài)測試及火災試驗，構件基本信息如表1 所示，配筋信息及熱電偶布置如圖1 所示?；炷翉姸葹镃35，鋼筋為HRB400，如表1 所示。

表1 材料強度Tab.1 Material propertise

圖1 配筋及熱電偶布置圖(單位：mm)Fig.1 Reinforcement and thermocouple layout (unit:mm)

2.2 初始有限元模型及修正物理參數(shù)確定

混凝土使用ANSYS 中的SOLID65 實體單元，鋼筋使用LINk8 單元，采用正六面體進行網(wǎng)格劃分，忽略鋼筋與混凝土之間的滑移影響，重點考慮支座剛度對模型的影響，選用COMBIN14 單元模擬支座剛度，其模型如圖2 所示?？紤]模型修正的實際意義，矩形簡支梁選取混凝土彈性模量（E）、混凝土密度（DS）、支座偏移（D1，D2）、支座剛度（K1，K2）作為有限元模型修正的待修正參數(shù)，T 形簡支梁還額外選取翼緣寬度（Bf）作為待修正參數(shù)?；诠こ探?jīng)驗及設計參數(shù)，矩形梁及T 形梁物理參數(shù)修正區(qū)間如表2 所示?；贏NSYS 的概率分析模塊分別進行靈敏度分析，限于篇幅，以矩形梁為例進行說明，如圖3 所示，其中：Fi為第i階平面內自振頻率；Zij為第i階j位置振型位移。

圖3 物理參數(shù)靈敏度分析Fig.3 Sensitivity analysis of physical parameters

表2 預估修正參數(shù)取值范圍Tab.2 Estimate range of modified parameter value

圖2 初始有限元模型Fig.2 The initial FEM

由矩形梁靈敏度分析可知：頻率對K1，K2，DS，E變化較敏感；振型對K1，K2，D1變化較敏感。由于結構的對稱性，依然考慮D2對結構的影響。因此，矩形梁選取E，DS，K1，K2，D1，D2作為最終待修正參數(shù)。

由T 形梁靈敏度分析可知：頻率對K1，K2，D1，D2變化較敏感；振型對所有待修正參數(shù)變化均較敏感。因此，T 形梁選取E，DS，K1，K2，D1，D2，Bf 作為最終待修正參數(shù)。

2.3 火災前簡支梁振動測試

采用錘擊法激勵結構，拾取結構振動時域信息，并采用快速傅里葉變換以及增強型頻域分解方法對比識別結構模態(tài)信息。火災前加速度傳感器布置如圖1 所示?；馂那皩崪y模態(tài)信息與數(shù)值模擬信息誤差如表3 所示。

由表3 結果可知，ER 值最大為24.01%，MAC最小值為0.891，頻率及振型誤差均較大。為獲得更加精確的結構響應，建立精確的有限元模型具有很大的現(xiàn)實意義，因此有必要對初始有限元模型進行修正。

表3 簡支梁相關性分析結果Tab.3 Correlation analysis results of simply support beams

2.4 基于實測模態(tài)信息的有限元模型修正

以實測火災前前2 階模態(tài)數(shù)據(jù)為依據(jù)，按照筆者提出的SVM 分步模型修正方法，依次進行矩形梁及T 形梁有限元模型修正，并與ANSYS 自帶的修正方法［11］進行對比。限于篇幅，筆者僅列出頻率修正結果。矩形梁及T 形梁物理參數(shù)修正結果如表4 所示，修正前后結構響應評價如圖4 所示。

表4 各物理參數(shù)修正結果Tab.4 Correction results of physical parameters

對圖4 分析可知：基于SVM 的分步模型修正方法修正后，除T1梁ER1值超過5%外，其他均在5%以內，且MAC 值均趨近與1，修正效果較好；與AN-SYS 優(yōu)化算法相比，基于SVM 的分步修正方法效果更加明顯。結果表明，修正后的模型能夠反映實際結構的動力特性，證明了筆者所提出修正方法的合理有效性。

圖4 修正前后結構響應對比Fig.4 Comparison of structural response before and after correction

2.5 基于有限元模型修正的火災下基頻衰減規(guī)律

矩形梁在青島理工大學結構實驗室完成，試驗過程中依次進行60，90，120 及150 min 下的受火試驗，T 形梁在山東建筑大學火災實驗室完成，依次進行60，90 及120 min 下的受火試驗。通過安捷倫34980A 數(shù)據(jù)采集儀及爐內熱電偶采集截面溫度變化。對試件施加環(huán)境激勵，通過布置加速度傳感器及測試系統(tǒng)實時捕捉結構振動信號，為數(shù)值模擬提供數(shù)據(jù)支持。火災試驗現(xiàn)象如圖5 所示。

圖5 T2火災試驗Fig.5 Fire test of T2

結構在火災過程中高頻振動難以被激發(fā)，結構振動主要由低頻控制，筆者拾取結構基頻進行研究，基頻在火災過程中具有較好的穩(wěn)定性，且能很好地反映結構自身剛度的變化［1］。分析過程中，截取每2 min 時域信息，模態(tài)識別后獲取結構實測基頻信息，并與理論值進行對比。以L4為例，實測及模擬對比結果如圖6 所示。

圖6 L4火災過程中基頻模擬Fig.6 Fundamental frequency simulation of L4 during fire test

T 形梁與矩形梁實測頻率衰減規(guī)律較為統(tǒng)一，綜合T 形梁與矩形梁火災過程中實測與數(shù)值模擬可得以下幾點結論。

1）由實測頻率分析可知，火災過程中頻率衰減規(guī)律基本相同，總體呈下降趨勢，且為波動式衰減；受火前期頻率降低較快，后期趨勢變緩，停火后頻率有繼續(xù)降低的趨勢。分析原因主要是由于梁在受火過程中，隨著截面溫度的升高，鋼筋、混凝土的力學性能逐漸下降，停火后截面溫度仍有“延遲”增加；此外火災試驗中伴隨的開裂、爆裂及其他劣化因素也會導致截面剛度減小，從而引起頻率降低。

2）實測值與模擬值對比顯示，修正后的簡支梁頻率衰減曲線與實測值較為接近。由此可說明，在對火災下混凝土梁頻率計算時對初始模型進行修正是必要的，筆者提出的分步修正方法具有實際應用價值。

3）實測值與模擬值對比發(fā)現(xiàn)，受火初期模擬結果與實測值較為接近，隨著受火時間的增加，修正后頻率計算值明顯高于實測值，這主要是因為雖然修正后模型考慮了高溫對材料力學性能的影響，但對受火過程中混凝土裂縫發(fā)展、混凝土與鋼筋之間的黏結力下降等因素尚未考慮。

3 矩形梁基頻參數(shù)分析及公式

3.1 參數(shù)分析

除受火時間t外，影響基頻的主要參數(shù)有截面寬度（B）、高跨比（H/L）、混凝土彈性模量（E）、縱向受拉鋼筋配筋率（ρ）及保護層厚度（c）。根據(jù)《混凝土結構設計規(guī)范》（GB 50010—2010），矩形梁高寬比H/B取值范圍一般為2.0～3.0 左右、梁的高跨比H/L一般在1/10～1/16 左右，根據(jù)工程經(jīng)驗，鋼筋混凝土梁的經(jīng)濟配筋率為0.6%～1.5%。本研究簡支梁高寬比選定在2 左右，配筋率選定在1%左右，建模時設定模型長度為4 000 mm，取彈性模量E為3～3.35，截面寬度B為0.12～0.2 m，每種工況下進行受火150 min 的火災模擬，同時計算30，60，90，120 及150 min 下的頻率，分析各因素與受火時間t對矩形梁基頻f1的影響，如圖7 所示。

分析圖7 可以得到以下結論。

圖7 各物理參數(shù)對基頻的影響Fig.7 Influence of physical parameters on fundamental frequency

1）當B較小時，隨著t的增加，梁的基頻衰減幅度較大，當B逐漸增加時，基頻衰減幅度變小?；炷亮撼貢r隨著截面寬度的增加，梁基頻變化可忽略不計，當t保持不變時，截面寬度增長初期梁基頻增長幅度較大，后期增長幅度較小。

2）H/L一定時t越大基頻越小，同一時刻H/L越大基頻值越大。t越小H/L越大簡支梁的基頻值越大，t一定基頻與H/L的關系曲線可視為線性發(fā)展。

3）當t相同時，基頻受E影響大致呈線性發(fā)展，不同受火時間的簡支梁基頻值隨E變化規(guī)律類似。在受火初期基頻衰減幅度較大，之后基頻值持續(xù)減小，但衰減幅度明顯降低。

4）t一定時，ρ的增加導致基頻值增大，發(fā)展趨勢基本呈線性，不同受火時間對應的基頻值變化趨勢相近?；l隨t逐漸降低，在受火初期基頻值降幅較為明顯，后期基頻值降幅逐漸減小。

5）在簡支梁受火初期，基頻衰減幅度較大。隨著t的增加，基頻持續(xù)衰減，但幅度明顯降低。當t較小時，隨著c的增加，基頻逐漸衰減，這是由于相比較于t對基頻的影響，c的影響更加明顯；但是隨著t的增加，截面剛度明顯減小，t對基頻的影響漸漸成為主要影響因素，c 對頻率影響逐漸減小。

3.2 基頻衰減公式擬合

通過各參數(shù)對基頻的影響可以看出，當t一定時，基頻隨各參數(shù)的增加大致呈線性變化，筆者僅選出對基頻影響較大的參數(shù)，即H/L，E，ρ及t，對簡支梁的基頻公式進行擬合。頻率比數(shù)值計算（ft/f0，受火與未受火時的頻率比值）結果如表5 所示。

表5 頻率比數(shù)值計算結果Tab.5 Numerical results of frequencies ratio

采用統(tǒng)計分析軟件SPSS 對表5 中數(shù)據(jù)進行擬合，可得到ft/f0與t，E以及H/L之間的近似關系為

其中：ft/f0為矩形梁剛性支座基頻折減系數(shù)；ft為剛性支座混凝土梁受火時間t時的基頻；f0為混凝土梁未受火時的基頻；參數(shù)取值范圍為1/16≤H/L≤1/10，30 min≤t≤150 min，3≤E≤3.35（單位：104MPa）。

式（2）相關系數(shù)為0.97，標準偏斜度錯誤為0.033，滿足精度要求。

為驗證公式的合理性，其有限元與擬合公式計算結果比較見圖8。圖中縱坐標表示某工況的擬合公式計算結果，橫坐標表示對應相同工況的有限元計算結果。若同一工況兩種結果相同，則該點位于圖中45°中線處，否則將偏離該中線。

圖8 基頻公式值與有限元值比較(剛性支座)Fig.8 Comparison between formula value and simulation value of fundamental frequency (rigid support)

從圖8 可以看出，數(shù)值模擬與回歸計算結果總體吻合較好，均在±10%以內。但若將簡支試驗梁頻率實測值放入進行比較，則誤差明顯偏大，出現(xiàn)這種結果的原因主要是本次數(shù)值模擬的支座為剛性，與實際支座剛度存在一定差異。

為解決此問題，在剛性模型的基礎上將支座形式修改為彈性支座，且假定梁兩端支座剛度變化相同，與剛性模型計算類似，可得出彈性支座條件下的矩形梁的頻率定量關系，最終得到ft'/f0'與t，E以及H/L之間近似關系為

式（3）相關系數(shù)為0.91，標準偏斜度錯誤為0.032，滿足精度要求。

同剛性模型，為驗證彈性支座模型的合理性，將數(shù)值模擬值與試驗頻率實測值進行對比，如圖9 所示，可發(fā)現(xiàn)試驗值及模擬值吻合度較好，誤差在±10%以內；剛性支座下兩工況的“剛性值”誤差較大，在±10% 左右，進一步說明了式（3）的合理性。

圖9 基頻公式值與有限元值比較(彈性支座)Fig.9 Comparison between formula value and simulation value of fundamental frequency (elastic support)

4 結論

1）為獲取用于混凝土梁結構火災健康監(jiān)測的準確有限元模型，提出了重點考慮邊界條件基于SVM 的分步有限元模型修正方法，并利用4 根矩形試驗梁、3 根T 形試驗梁的試驗數(shù)據(jù)對所提出的算法進行了驗證。結果表明，修正后有限元模型能較好反映混凝土梁的真實動力特性，采用分步修正算法可精簡計算量，能夠有效用于混凝土梁結構的有限元模型修正。

2）為進一步驗證所提修正方法的適用性，以火災下簡支梁振動特性作為背景，利用修正后有限元模型耦合火災升溫曲線，模擬火災過程中頻率衰減規(guī)律，通過與實測值對比顯示，修正后的計算結果較為合理。

3）以矩形簡支梁為例，分別分析了H/L，E，ρ及t對基頻的影響，并擬合出了基頻折減公式，數(shù)值模擬及試驗結果驗證了公式的合理性，可為后續(xù)損傷識別與評估提供參考依據(jù)。