基于雙樹復小波變換與樣本熵的自適應降噪法*

劉嘉輝，秦仙蓉，王玉龍，孫遠韜，張 氫

（同濟大學機械與能源工程學院 上海，201804）

引言

由于工程監(jiān)測環(huán)境、設備以及人為因素等影響，大型機械裝備的結(jié)構(gòu)監(jiān)測信號往往受到背景噪聲的干擾。當機械裝備的結(jié)構(gòu)產(chǎn)生損傷或故障時，噪聲干擾會使反映結(jié)構(gòu)健康、輕微損傷或嚴重故障的特征信息被噪聲污染，有效信息被弱化且難以獲取。此外，噪聲通常具有非線性、非平穩(wěn)性和隨機性，會導致結(jié)構(gòu)監(jiān)測信號產(chǎn)生畸變，掩蓋結(jié)構(gòu)的實際健康狀態(tài)，影響結(jié)構(gòu)健康狀態(tài)特征的挖掘［1］。因此，對監(jiān)測信號進行降噪，提高信噪比是有效提取結(jié)構(gòu)健康狀態(tài)特征信息、實現(xiàn)結(jié)構(gòu)故障診斷的前提。然而，由于多數(shù)的大型工程機械長期處于低速重載的循環(huán)工作狀態(tài)，使其結(jié)構(gòu)監(jiān)測信號也呈現(xiàn)非平穩(wěn)性、非線性特點，加大了降噪難度，傳統(tǒng)消噪方法的去噪效果并不理想。

目前，非平穩(wěn)信號的降噪方法主要有小波閾值法、經(jīng)驗模態(tài)分解、奇異值分解和雙樹復小波變換等。崔治等［2］采用小波熵確定超聲信號在小波閾值降噪中的自適應最優(yōu)分解層數(shù)，有效去除了含噪超聲信號中的噪聲，不僅提高了信噪比，而且更有效地保留了原始信號中的有用成分。沈微等［3］針對噪聲背景下的振動信號采用同步擠壓小波變換，通過自相關(guān)系數(shù)峰度閾值法二次剔除經(jīng)同步擠壓小波變換和瞬時頻率復雜度篩選后的分量，最終實現(xiàn)對原始信號的消噪。吳定海等［4］利用小波尺度間的相關(guān)性來增強信號中的有用信息，并與分塊閾值相結(jié)合進行聯(lián)合降噪，通過雙樹復小波包變換的空域和鄰域聯(lián)合降噪方法，有效抑制低信噪比下信號中的噪聲干擾。曲巍崴等［5］提出一種噪聲方差估計的新方法，基于此方法，將小波閾值法應用到反求工程的降噪中，使得實際信號在降噪后的光滑性和特征保持上均有較好的效果。Daubechies 等［6］以小波變換為基礎，通過對小波系數(shù)進行壓縮重組的方法抑制噪聲以實現(xiàn)高精度、高分辨率的時頻分析。Thakur等［7］分析了同步擠壓小波變換的穩(wěn)定性對信號的有界擾動和高斯白噪聲具有魯棒性，適用于工程中普遍存在的噪聲或非均勻采樣數(shù)據(jù)的降噪，亦能用于識別時變頻率。張培林等［8］提出基于雙樹復小波的自適應油液磨粒超聲回波信號降噪方法，對實測超聲回波信號進行降噪處理。

工程監(jiān)測信號含大量背景噪聲，其成分復雜且信噪比較低，而且信噪比及噪聲方差無法預知。噪聲消除的不充分則會影響有效信息的提取，而過分降噪會將原信號中的有用信息一起濾掉，從而引起信號失真。針對實際工程監(jiān)測信號降噪過程中的這些問題，筆者提出基于雙樹復小波變換與樣本熵相結(jié)合的監(jiān)測信號自適應降噪方法。根據(jù)雙樹復小波分解所獲得的監(jiān)測信號的各尺度樣本熵變化確定分解最優(yōu)層以及降噪閾值，重構(gòu)降噪后的小波系數(shù)與尺度系數(shù)，在實現(xiàn)信號自適應消噪的同時減少信號失真，較好地保留原信號中的有效成分。

1 基本理論

1.1 樣本熵

熵是表征系統(tǒng)無序狀態(tài)的一種測度，可以定量描述系統(tǒng)的復雜度，當系統(tǒng)的狀態(tài)發(fā)生變化的時候，其熵值也會隨之改變。樣本熵反映了時間序列的復雜度和無規(guī)律程度，樣本熵值越大，表明該信號時間序列成分越復雜，自相似性越低，取值越隨機。樣本熵值越小，意味著該時間序列的自相似度越高，序列就越規(guī)律［9］。

x={x1，x2，…，xN}表示N個數(shù)據(jù)點的離散的時間序列，那么樣本熵［10］可以定義為

其中：Bm(r)為兩組序列在容差下能匹配m個點的概率；Bm+1(r)為兩組序列能匹配m+1 個點的概率。

設定一組m維的向量組

其中：xm(i)={x(i)，x(i+1)，…，x(i+m-1)}，1 ≤i≤N-m+1。

當1 ≤i≤N-m時，Bm(r)和Bm+1(r)計算分別如下

其中：Bi為d[xm(i)，xm(j)]≤r的j(1 ≤j≤Nm+1，j≠i)的數(shù)量；r為給定的容差。

定義向量xm(i) 和向量xm(j) 之間的距離d[xm(i)，xm(j)]

通過上述的計算過程即可得到序列的樣本熵。實際應用中N為有限長度，由式（1）可知，m和r的大小與樣本熵的結(jié)果相關(guān)。當m=1 或2，r=0.1σ～0.25σ（σ為離散的時間序列x={x1，x2，…，xN}的標準差）時，樣本熵才有統(tǒng)計意義。本研究選擇m=2，r=0.2σ。

1.2 雙樹復小波變換

雙樹復小波變換由實部樹和虛部樹的兩個并行的實小波變換構(gòu)成。雙樹復小波的構(gòu)造［11］可表示為

其中：hh(t)，hg(t)為兩個實小波；i 為復數(shù)單位。

經(jīng)過雙樹復小波變換的實部樹和虛部樹的聯(lián)合重構(gòu)信號可表示為

其中：dj(t)和cj(t)為實部樹和虛部樹的聯(lián)合。

其中：(t)和(t)分別為實部樹小波變換的小波系數(shù)和尺度系數(shù)；dImj(t)和(t)分別為虛部樹小波變換的小波系數(shù)和尺度系數(shù)。

雙樹復小波變換分解的小波系數(shù)d和尺度系數(shù)c表示為

其中：j為分解層數(shù)；J為最大分解層數(shù)。

綜上，雙樹復小波變換的分解和重構(gòu)實現(xiàn)了實部樹和虛部樹的信息互補，既能保持信號的完全重構(gòu)性，又提高了計算效率，具有比傳統(tǒng)小波分解更高效的優(yōu)良特性。

2 雙樹復小波與樣本熵自適應降噪

2.1 雙樹復小波分解最優(yōu)層的確定

在實際應用中，雙樹復小波分解的層數(shù)對信號降噪效果具有重要影響。雙樹復小波變換將原始信號分解為小波系數(shù)和尺度系數(shù)，即細節(jié)分量和近似分量兩部分，而噪聲主要集中在細節(jié)分量（高頻部分）上。噪聲的能量會隨分解層數(shù)的增加逐漸衰減，主要表現(xiàn)為噪聲經(jīng)分解后的小波系數(shù)越來越小，但這并不代表分解層數(shù)越多越好。分解層數(shù)越多，信號的信噪比反而下降，同時會使得有用信息丟失造成信號失真；分解層數(shù)過少，使得信號降噪不徹底，這又會影響有效信息的提取。因此，對于不同信噪比的監(jiān)測信號存在降噪效果相對較好的一個最優(yōu)分解層數(shù)。

如果分解層數(shù)達到j層，細節(jié)分量中噪聲的含量與j-1 層分解基本無差別，此時不需再繼續(xù)分解，第j-1 層就是最優(yōu)的分解層數(shù)［12］。由此可知，要確定分解最優(yōu)層數(shù)，將監(jiān)測信號中不同分解層數(shù)的噪聲含量表示出來是關(guān)鍵，其次再逐層對噪聲含量進行比較。由1.1 節(jié)可知，樣本熵可以表征噪聲大小，樣本熵值越大，噪聲含量也越多。確定監(jiān)測信號自適應分解最優(yōu)層數(shù)的步驟如下：

1）設置初始雙樹復小波分解層數(shù)j(j＞2)；

2）采用雙樹復小波變換對監(jiān)測信號進行j層分解；

3）分別計算各分解層的細節(jié)分量的樣本熵，依次求出相鄰分解層細節(jié)分量樣本熵之差的絕對值；

4）比較相鄰分解層細節(jié)分量樣本熵之差的絕對值大小，若第j層信號和第j-1 層信號細節(jié)分量樣本熵之差的絕對值均小于前j-1 層的相鄰分解層細節(jié)分量的樣本熵之差的絕對值，則分解層數(shù)為j，此時停止分解；否則令j=j+1，返回步驟2。

2.2 雙樹復小波降噪閾值自適應選擇

由2.1 節(jié)分析可知，在雙樹復小波分解過程中，噪聲的能量會隨著分解層數(shù)的增加逐漸衰減，導致小波系數(shù)越來越小，樣本熵值也越來越小。在確定了雙樹復小波最優(yōu)分解層數(shù)后，為了更充分地抑制噪聲，對雙樹復小波降噪閾值的選擇需要考慮噪聲的變化特征。因此，降噪閾值的合理選擇對降噪效果尤為重要。若閾值選取過大會導致原始信號的有效信息被過分濾掉；若閾值選取過小又造成降噪不充分。在閾值降噪中較為常用的是Donoho 提出的通用閾值原則，由于噪聲的小波系數(shù)會隨分解尺度的增大而減小，傳統(tǒng)的小波閾值選擇并沒有考慮分解尺度變化對閾值選取的影響。筆者采用改進的通用閾值原則［13］

其中：j為分解層數(shù)；N為第j層小波系數(shù)的長度；σ為信號中的噪聲方差，其估算為小波系數(shù)模|Wj，k|的中值與常數(shù)0.674 5 的比值［13］。

該閾值的改進不僅考慮了未知噪聲方差情況下的統(tǒng)計學分布特征，而且考慮了噪聲在不同分解層數(shù)之間的差異以及不同分解尺度對閾值選擇的影響。

雙樹復小波和樣本熵自適應降噪的流程如圖1所示。

圖1 DT-CWT-SE 自適應降噪法流程Fig.1 Process of DT-CWT-SE adaptive denoising

3 仿真分析

3.1 信號的噪聲與樣本熵關(guān)系

構(gòu)造非平穩(wěn)的結(jié)構(gòu)監(jiān)測仿真信號

該仿真信號具有S 型函數(shù)趨勢，與實際工程中結(jié)構(gòu)監(jiān)測信號趨勢相似，采樣頻率為100 Hz，采樣時長為10 s。向原始仿真信號中添加不同信噪比的白噪聲以及有色噪聲，并計算不同噪聲情況下的樣本熵值，圖2 為信號的樣本熵隨噪聲標準差的變化。

由圖2 可以看出，監(jiān)測信號的樣本熵隨著噪聲標準差的增大而增大，隨信噪比的增大而減小。當信號中存在除了白噪聲外的有色噪聲成分時，樣本熵值依然會隨著噪聲水平的增多而增大，但增長速率緩慢，這說明樣本熵對只有白噪聲的變化程度比對白噪聲和有色噪聲同時存在時的變化程度更為敏感。圖3 所示為不同信噪比信號的樣本熵變化規(guī)律。

圖2 不同標準差的噪聲的樣本熵變化Fig.2 The change of sample entropy with standard deviation of noise for different kinds of noise

圖3 樣本熵隨信號信噪比的變化Fig.3 The change of sample entropy with SNR

由圖3 可知，信號的信噪比與樣本熵值成反比，這說明當信號信噪比越高即信號中的有效成分越來越凸顯時，樣本熵值會相應降低，因此樣本熵可以表征信號中噪聲的含量。

3.2 DT-CWT-SE 降噪效果對比及評價

為了定量比較筆者提出的方法與傳統(tǒng)小波閾值降噪的效果差別，選擇3 個降噪效果的評價指標，即均方根誤差（root mean square error，簡稱RMSE）、信噪比（signal noise ratio，簡稱SNR）及樣本熵。

其中：x(i)為原始信號；y(i)為降噪后的信號；n為信號長度。

RMSE 表征降噪前后信號的區(qū)別，SNR 代表降噪效果，SE 代表降噪前后信號樣本熵的大小。評價標準為降噪后信號的RMSE 和SE 越小越接近原始信號，SNR 越大降噪效果越顯著。

為了驗證該方法能夠用于實際工程機械結(jié)構(gòu)監(jiān)測的位移、速度及加速度等信號的降噪中，現(xiàn)對3.1小節(jié)中構(gòu)造的仿真信號進行降噪，仿真信號以加速度為例進行說明。分別向仿真信號添加2 dB 和15 dB 信噪比的白噪聲及有色噪聲的混合噪聲，對含有噪聲的信號分別進行雙樹復小波分解，圖4 為雙樹復小波分解不同尺度下的樣本熵值曲線以及降噪閾值隨分解尺度變化曲線。

由圖4 可以看出，雙樹復小波不同分解尺度的樣本熵與降噪閾值均存在明顯差異，因此需要確定最優(yōu)分解層數(shù)和降噪閾值。根據(jù)第2 節(jié)方法確定最優(yōu)分解層數(shù)為4 層，不同信噪比信號經(jīng)過DT-CWTSE 降噪后的時域?qū)Ρ冉Y(jié)果如圖5 所示。

圖4 樣本熵及降噪閾值隨DT-CWT 分解尺度變化Fig.4 The change of sample entropy and denoising threshold with decomposed scale of DT-CWT

圖5 不同信噪比信號DT-CWT-SE 降噪效果對比Fig.5 Comparison of denoising effect by DT-CWT-SE for different SNR signal

由圖5 可知，在信號信噪比不同的情況下，DTCWT-SE 自適應降噪法均能很好地消除噪聲，降噪后的信號比較平滑，降噪效果顯著。由此可見，該方法對于中低信噪比的信號降噪程度較好，既能消除噪聲又不過分降噪。

為了更進一步說明本研究方法降噪效果的優(yōu)越性，分別采用小波閾值降噪和DT-CWT-SE 自適應降噪對2 dB 的低信噪比信號進行去噪。為便于比較，選擇Daubechies 小波基，小波分解層數(shù)設為4層，小波閾值選取2.2 小節(jié)中改進的通用閾值，閾值函數(shù)選擇軟閾值，則兩者對比結(jié)果如圖6 所示。

圖6 不同降噪方法降噪后的信號與原信號對比Fig.6 Comparison between the denoising signal and the original signal of different methods

由圖6（a）可以看出，小波閾值降噪與DT-CWT-SE 降噪均能達到明顯的去噪效果。圖6（b）是圖5（a）的4 處局部放大對比圖，由圖6（b）可知，兩者降噪后保留原信號的程度存在差異。DT-CWT-SE 降噪后的信號幾乎與原信號重合，保留了原信號的成分，基本不存在失真；而小波閾值降噪使降噪后的信號存在明顯失真。小波閾值降噪和DT-CWT-SE自適應降噪后信號的SNR，RMSE 和SE 對比如表1所示。

由表1 可知，不同噪聲水平下，經(jīng)DT-CWT-SE降噪后的信號信噪比由2 dB 提升至14.9 dB 及15 dB 提升至26.5 dB，降噪后信噪比與小波閾值降噪相比有所提高，樣本熵值低于小波閾值降噪。特別是經(jīng)DT-CWT-SE 降噪后的信號與原信號均方根誤差遠遠小于小波閾值降噪，說明經(jīng)DT-CWTSE 降噪后的信號幾乎沒有丟失原信號的信息，較好地保留了原信號的有效成分。由此可見，筆者提出的方法消噪效果明顯優(yōu)于傳統(tǒng)小波閾值去噪。

表1 不同方法對仿真信號的降噪效果對比Tab.1 The denoising effect of simulation for different methods

4 工程監(jiān)測信號實驗分析

大型工程機械裝備的結(jié)構(gòu)監(jiān)測信號受背景噪聲影響，其信噪比較低，且噪聲成分復雜，有效去除背景噪聲是挖掘監(jiān)測信號中的特征信息的重要前提。由于結(jié)構(gòu)監(jiān)測信號為低頻信號，外部環(huán)境和裝備本身產(chǎn)生的背景噪聲不利于后續(xù)對結(jié)構(gòu)狀態(tài)的判斷與識別，特別是結(jié)構(gòu)的健康狀態(tài)有所變化或產(chǎn)生輕微損傷時，損傷特征與噪聲混合較難區(qū)分。噪聲消除的不充分會影響結(jié)構(gòu)健康狀態(tài)特征的挖掘，而過分降噪會將原信號中所關(guān)注的結(jié)構(gòu)狀態(tài)變化的有用信息一起濾掉，從而引起信號失真。本研究降噪的目的在于實現(xiàn)結(jié)構(gòu)監(jiān)測信號自適應降噪的同時減少信號失真，盡可能多地保留所關(guān)注的結(jié)構(gòu)狀態(tài)的有用信息，分離出與狀態(tài)變化無關(guān)的成分，便于后續(xù)結(jié)構(gòu)狀態(tài)特征的提取。由于實際的工程監(jiān)測信號信噪比未知，因此本研究提出的3 個評價標準中的樣本熵能夠很好地表征噪聲變化特征，可以用來評價降噪效果。

為了驗證本研究降噪方法在工程應用中的有效性，選擇上海某港口某型號的岸橋前大梁靠機房垂直方向上的結(jié)構(gòu)監(jiān)測信號，傳感器被安裝在前大梁內(nèi)部，測點如圖7 所示。采集信號的傳感器為加速度傳感器，采樣頻率為100 Hz，截取時長為20 s 的一段監(jiān)測信號，對該監(jiān)測信號采用DT-CWT-SE 法進行去噪，確定的最優(yōu)分解層為3 層。小波閾值降噪和DT-CWT-SE 降噪前后對比結(jié)果如圖8 所示。

圖7 岸橋?qū)嶋H監(jiān)測Fig.7 Monitoring of quayside container crane

由圖8 可以看出，原結(jié)構(gòu)監(jiān)測信號經(jīng)過DTCWT-SE 降噪后比小波閾值降噪后更加平滑，背景噪聲被去除的更加徹底。

圖8 不同降噪方法降噪后的信號與原信號對比Fig.8 Comparison between the denoising signal and the orig inal signal of different methods

經(jīng)過計算，原監(jiān)測信號的樣本熵值為1.520，表2 定量給出了兩種方法降噪效果的對比。由表2可知，小波閾值降噪和DT-CWT-SE 降噪均使原信號的樣本熵值有所減小，說明兩種方法均能濾除原信號的背景噪聲。DT-CWT-SE 降噪后的信噪比較小波閾值降噪的信噪比有所提高，樣本熵值有所減小，這表明采用DT-CWT-SE 降噪不僅能夠有效去除噪聲，而且去除噪聲后均方根誤差遠小于小波閾值降噪，說明DT-CWT-SE 降噪的去噪效果以及保留原信號中有效信息完整性的能力要明顯優(yōu)于傳統(tǒng)小波閾值降噪。

表2 監(jiān)測信號降噪效果對比與評價Tab.2 The evaluation indexes of denoising effect for monitoring signal

5 結(jié)束語

樣本熵可以表征監(jiān)測信號中噪聲含量的大小以及噪聲的變化，樣本熵與噪聲方差成正比，和監(jiān)測信號的信噪比成反比，即樣本熵值越大，噪聲含量越多。本研究利用雙樹復小波變換的優(yōu)勢結(jié)合樣本熵，提出DT-CWT-SE 監(jiān)測信號自適應降噪法，利用樣本熵的變化規(guī)律進行雙樹復小波分解最優(yōu)層確定和各分解尺度降噪閾值的量化。仿真分析和實驗對比結(jié)果表明，該方法對噪聲消除比較徹底，且降噪后的信號失真度小，能較完整地保留原信號中的有用信息，降噪效果明顯優(yōu)于傳統(tǒng)的小波閾值降噪。