結(jié)合信號(hào)諧波特性的均值參數(shù)測(cè)量窗設(shè)計(jì)

周期信號(hào)(實(shí)際中為周期和幅度均隨時(shí)間變化的準(zhǔn)周期信號(hào))是人類活動(dòng)中廣為應(yīng)用的一類信號(hào),如電網(wǎng)電壓與電流信號(hào),廣播、通信和雷達(dá)等各類無線電設(shè)備發(fā)射的電波信號(hào),引擎與馬達(dá)發(fā)出的振動(dòng)信號(hào)等等。周期信號(hào)參數(shù)的實(shí)時(shí)、準(zhǔn)確測(cè)量是電子測(cè)量的基本內(nèi)容,是設(shè)備工作狀態(tài)分析與故障診斷的重要依據(jù)。均值參數(shù)是一類重要參數(shù),其計(jì)算的核心環(huán)節(jié)為求信號(hào)的均值,如周期信號(hào)的有效值、功率及功率的導(dǎo)出參數(shù)等均屬于周期信號(hào)的均值參數(shù)

?；谛盘?hào)采樣法對(duì)周期信號(hào)均值參數(shù)的測(cè)量主要有同步采樣法

和非同步采樣法

。本文研究非同步采樣法,通過加窗函數(shù)的優(yōu)化設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)非同步測(cè)量誤差的有效抑制。均值參數(shù)非同步采樣測(cè)量的主要步驟為信號(hào)的周期預(yù)估、采樣、截取與加窗求均值。由于采樣周期只能取整數(shù)個(gè)時(shí)鐘周期,因而信號(hào)的截取和采樣均與信號(hào)周期不同步,這將導(dǎo)致均值參數(shù)的測(cè)量誤差。為了方便,在頻域中對(duì)周期信號(hào)均值參數(shù)的測(cè)量誤差進(jìn)行分析。信號(hào)在時(shí)域中的加窗和非同步采樣,在頻域中分別表現(xiàn)為頻譜泄漏和柵欄效應(yīng)

,二者均會(huì)導(dǎo)致諧波測(cè)量誤差。為了抑制加窗引起的頻譜泄漏,人們針對(duì)不同應(yīng)用背景和需求下的信號(hào)分析構(gòu)建了一系列窗函數(shù)

。為了抑制非同步采樣引起的柵欄效應(yīng),采用了多譜線插值

以及構(gòu)造平頂窗

等多種方法。信號(hào)均值在頻域中對(duì)應(yīng)直流分量,而直流分量的頻域采樣不存在柵欄效應(yīng),對(duì)其測(cè)量誤差的分析只需考慮基波和各次諧波在直流分量處的泄漏干擾。研究發(fā)現(xiàn)對(duì)信號(hào)多次平均可有效抑制非同步采樣法的均值測(cè)量誤差,且多次平均與矩形卷積窗加權(quán)等價(jià)

。仿真表明相對(duì)于其他同寬的窗函數(shù),基于矩形卷積窗對(duì)周期信號(hào)進(jìn)行加權(quán)時(shí)基波和各次諧波在直流分量處的泄漏很小,特別適用于周期信號(hào)均值類參數(shù)的測(cè)量,但矩形卷積窗的最優(yōu)性尚待研究。

信號(hào)分析中的各種加窗函數(shù)均可視為不同窗系數(shù)加權(quán)的組合余弦窗

。傳統(tǒng)的窗函數(shù)在設(shè)計(jì)時(shí)并沒有結(jié)合信號(hào)頻譜的特性,主要基于窗函數(shù)頻譜的最大旁瓣峰值最小和遠(yuǎn)程衰減快等約束條件建立窗系數(shù)方程組

。本文針對(duì)周期信號(hào)均值參數(shù)的測(cè)量,基于窗函數(shù)的組合余弦模型并結(jié)合周期信號(hào)頻譜的諧波結(jié)構(gòu)特性,研究組合余弦窗滿足的有效條件及構(gòu)建時(shí)的優(yōu)化準(zhǔn)則,建立并求解窗系數(shù)方程組進(jìn)而完成窗函數(shù)的設(shè)計(jì)。另外,對(duì)基于矩形卷積窗均值測(cè)量的最優(yōu)性進(jìn)行了理論分析。

1 組合余弦窗加權(quán)測(cè)量分析

1.1 周期信號(hào)的均值類參數(shù)

計(jì)算周期信號(hào)均值參數(shù)時(shí)的均值項(xiàng)通常不是原周期信號(hào)的均值,而是運(yùn)算過程中某一周期相同的中間信號(hào)的均值

。均值參數(shù)計(jì)算的關(guān)鍵是算出中間信號(hào)的均值,如計(jì)算交流電壓有效值的關(guān)鍵就是計(jì)算交流電壓的平方信號(hào)(中間信號(hào))的均值。設(shè)中間信號(hào)用

(

)表示,其周期為

,則均值

可表示為在整數(shù)個(gè)周期(

)內(nèi)信號(hào)的平均

由于房地產(chǎn)市場(chǎng)火爆異常，各方面的資金、技術(shù)力量都潮水般地涌向房地產(chǎn)市場(chǎng)，使住宅工程質(zhì)量在一定程度上得到提高，但現(xiàn)階段仍存在許多質(zhì)量通病問題，其中最直觀也是引起群眾集中上訪投訴最多的主要是“漏、裂、滲、殼、銹”五大類，包含屋面、衛(wèi)生間漏水；墻體開裂、滲水；墻面抹灰空鼓、不平整，陰陽角不垂直；扶手、欄桿銹蝕等多種問題。

(1)

實(shí)際中由于信號(hào)的截取和采樣與信號(hào)周期不同步,計(jì)算時(shí)只能用預(yù)估周期

替代式中的實(shí)際周期

,得到均值的近似值

進(jìn)一步分析矩形卷積窗的傅里葉變換在周期信號(hào)預(yù)估諧波頻點(diǎn)的平坦性,

(

)的1階導(dǎo)數(shù)為

(2)

該均值測(cè)量是時(shí)間的函數(shù),稱為均值測(cè)量信號(hào)。

采區(qū)2號(hào)專用回風(fēng)巷布置在本采區(qū)最東面(圖1)，主要用于76采區(qū)的回風(fēng)等，巷道埋深560～580 m，沿3號(hào)煤層頂板掘進(jìn)。3號(hào)煤層，平均厚6.27 m，以亮煤為主，暗煤次之，加少量絲炭條帶；直接頂為泥巖、頁巖，平均厚1.29 m，灰黑色，具光滑面，見植物化石；基本頂為細(xì)、中粒砂巖，平均厚7.10 m，深灰色，硅質(zhì)膠結(jié)，礦物成分以石英為主，云母次之、含長(zhǎng)石；直接底為泥巖、砂質(zhì)頁巖，平均厚0.61 m，深灰色，質(zhì)均，含云母；基本底為中粒石英砂巖，平均厚3.38 m，灰黑色、中厚層狀、含云母，水平紋理發(fā)育，上部為角礫結(jié)構(gòu)。

1.2 組合余弦窗及其有效條件

(2)組合余弦窗中諧波次數(shù)為

的整數(shù)倍的窗系數(shù)為0,即

(3)

(

)通常為偶函數(shù)。不失一般性,將窗函數(shù)表示為由直流分量和

個(gè)余弦分量組成的組合余弦窗的形式

,即

按實(shí)驗(yàn)方法，繪制試劑空白和鈦顯色溶液在不同波長(zhǎng)下測(cè)定的吸收光譜。由圖1可見，在阿拉伯樹膠溶液存在下，于稀硫酸中，鈦與百里香酚藍(lán)形成了藍(lán)紫色絡(luò)合物，絡(luò)合物/試劑空白的最大吸收峰位于590nm處，試劑空白/水最大吸收峰位于440nm處，對(duì)比度為150nm，說明絡(luò)合物與顯色劑之間的顏色差異大。實(shí)驗(yàn)選擇590nm作為測(cè)量波長(zhǎng)。

針對(duì)綜合課程設(shè)計(jì)教學(xué)過程中出現(xiàn)的上述問題，筆者認(rèn)為，綜合課程設(shè)計(jì)教學(xué)中應(yīng)充分體現(xiàn) “以學(xué)生為中心”的教學(xué)模式，在具體實(shí)施過程中采用任務(wù)型教學(xué)法和討論法相結(jié)合的教學(xué)方法，探索實(shí)踐環(huán)節(jié)過程管理與考核結(jié)果并重的綜合成績(jī)?cè)u(píng)定方法，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性、能動(dòng)性和團(tuán)隊(duì)合作精神，重視學(xué)生工程實(shí)踐能力和團(tuán)隊(duì)合作能力的培養(yǎng)。

(4)

其中

(

)為歸一化矩形函數(shù)

(5)

為組合余弦窗的系數(shù)。

取式(4)的傅里葉變換,組合余弦窗的頻譜為

(6)

一個(gè)組合余弦窗的具體形式?jīng)Q定于窗寬

、余弦分量的個(gè)數(shù)

以及各窗系數(shù)

的取值。為了分析組合余弦窗用于周期信號(hào)均值測(cè)量的有效性,首先分析均值測(cè)量無誤差時(shí)組合余弦窗須滿足的有效條件。

將信號(hào)

(

)展開為有限項(xiàng)正弦級(jí)數(shù)

1)建立并求解了壓縮過程的控制方程，結(jié)果表明對(duì)于等截面的柱形液壓缸，活塞質(zhì)量、液壓缸截面積、液壓缸長(zhǎng)度是影響載荷脈寬的主要因素，通過減小活塞質(zhì)量、增大液壓缸截面積及減小液壓缸長(zhǎng)度可以減小載荷脈寬。

(7)

其傅里葉變換為

(8)

實(shí)際上式(3)給出的均值測(cè)量信號(hào)恰好是

(

)與

(

)的卷積,故均值測(cè)量信號(hào)的頻譜為

(9)

均值測(cè)量的誤差決定于均值測(cè)量信號(hào)中的交流分量,即

≠0的各次諧波分量。假設(shè)均值測(cè)量信號(hào)中的各次諧波能夠完全得以抑制,且直流分量與被測(cè)信號(hào)的直流分量相等,對(duì)上式進(jìn)行分析可得到用于均值測(cè)量的組合余弦窗的有效條件。

根據(jù)頻域采樣定理,寬度為

的

重矩形卷積窗在頻域可以通過頻率采樣間隔為Δ

=1

的頻域采樣進(jìn)行重建

=

=1,2,3,…

(10)

這一條件表明,窗函數(shù)頻譜在信號(hào)各次諧波頻點(diǎn)的值為0。

計(jì)算均值的更一般的表示形式為基于寬度為

的窗函數(shù)

(

)對(duì)信號(hào)加權(quán)

=0

mod

=0且

≠0

(11)

這一條件表明,組合余弦窗中不含與信號(hào)諧波同頻的余弦分量。

(3)組合余弦窗為單位面積的窗函數(shù),即

(12)

該條件可使均值測(cè)量信號(hào)的直流分量與中間信號(hào)的直流分量相等。

以上為組合余弦窗的有效條件。只有組合余弦窗滿足以上3個(gè)條件,才能準(zhǔn)確算出周期信號(hào)的均值。

1.3 均值參數(shù)測(cè)量的誤差分析

實(shí)際中在構(gòu)建組合余弦窗時(shí),只能用信號(hào)的預(yù)估周期

替代信號(hào)的實(shí)際周期

,因而組合余弦窗的有效條件表現(xiàn)為

=

、

=1以及不含與預(yù)估諧波頻率(

)相同的余弦分量。在式(4)中引入有效組合余弦窗條件,得

(13)

其傅里葉變換為

模擬得到圓柱殼、開孔圓柱殼、含補(bǔ)強(qiáng)件圓柱殼的軸向壓力與軸向位移變化關(guān)系如圖9所示，軸壓曲線先增大后減小。軸壓峰值分別為195.4 MPa、158.4 MPa、164.8 MPa。

(14)

在一般情況下預(yù)估周期

雖然不等于信號(hào)周期

,但二者非常接近。為了定量分析因信號(hào)的截取和采樣與信號(hào)周期不同步帶來的均值測(cè)量誤差,引入相對(duì)頻偏

=(

-

)

=(

-

)

(15)

該式中

和

分別為周期信號(hào)的實(shí)際頻率和預(yù)估頻率。再利用信號(hào)第

次諧波的頻率

=

,則均值測(cè)量信號(hào)的頻域表示式(9)可寫為

(16)

函數(shù)在一點(diǎn)平坦意味著函數(shù)在該點(diǎn)的鄰域內(nèi)為頻偏的高階無窮小量。無窮小量的階數(shù)可用于函數(shù)平坦性度量,階數(shù)越高則函數(shù)在該點(diǎn)的平坦性越好,因此窗寬為

個(gè)周期的窗函數(shù)的優(yōu)化設(shè)計(jì)準(zhǔn)則可描述為

,

(

)=

(17)

對(duì)式(16)進(jìn)行傅里葉反變換,均值測(cè)量的時(shí)域形式為

(18)

式中右邊第二項(xiàng)為

時(shí)刻的測(cè)量誤差。用均值測(cè)量信號(hào)隨時(shí)間變化的標(biāo)準(zhǔn)差表示均值參數(shù)的測(cè)量誤差,再利用各次諧波之間的正交性可得測(cè)量誤差為

(19)

2 窗函數(shù)的優(yōu)化設(shè)計(jì)

滿足均值測(cè)量有效條件的組合余弦窗可使相對(duì)頻偏為0時(shí)的均值測(cè)量誤差為0,但實(shí)際中相對(duì)頻偏不為0,因而均值測(cè)量誤差也不為0。組合余弦窗的設(shè)計(jì)就是在誤差最小的原則下確定組合余弦窗的系數(shù),為此需首先給出組合余弦窗的優(yōu)化準(zhǔn)則及其相應(yīng)的數(shù)學(xué)表示。在進(jìn)行一般信號(hào)的頻譜分析時(shí),文獻(xiàn)中通常以窗函數(shù)頻譜的旁瓣峰值最小以及旁瓣的遠(yuǎn)程衰減最快作為優(yōu)化準(zhǔn)則,這在一般意義上可以最大限度地抑制各頻譜分量之間的相互泄漏,但若用于周期信號(hào)均值參數(shù)測(cè)量,組合余弦窗的優(yōu)化準(zhǔn)則尚待研究。

周期信號(hào)的主要結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是諧波性,其頻譜為分布于各諧波頻點(diǎn)(

=

)上的離散譜。實(shí)際中的非同步采樣雖然存在相對(duì)頻偏,但預(yù)估周期非常接近信號(hào)的實(shí)際周期,周期信號(hào)的各次諧波頻率只在以各次諧波預(yù)估頻率(

)為中心的鄰域內(nèi)變化。為了有效抑制周期信號(hào)的均值測(cè)量誤差,在以各次諧波預(yù)估頻率為中心的鄰域內(nèi)均值測(cè)量信號(hào)的頻譜幅值越小越好,這等同于組合余弦窗在滿足均值測(cè)量有效條件的基礎(chǔ)上其頻譜在各次諧波預(yù)估頻點(diǎn)滿足平坦性。可見,在進(jìn)行周期信號(hào)均值參數(shù)測(cè)量時(shí),所選的加窗函數(shù)的頻譜只需在各次諧波預(yù)估頻點(diǎn)的鄰域內(nèi)最小,而不必關(guān)心在其他頻域處的取值。綜上所述,面向周期信號(hào)均值測(cè)量的組合余弦窗的優(yōu)化準(zhǔn)則為:窗函數(shù)的頻譜在信號(hào)諧波頻點(diǎn)的值為0且滿足平坦性。

其中

,

為信號(hào)第

次諧波的衰減因子

一個(gè)晶體,往往不是一次長(zhǎng)成，在不同生長(zhǎng)階段,介質(zhì)環(huán)境可能會(huì)出現(xiàn)某些顯著差異,特別是鐵、鈦、釩離子等致色元素的含量變化,致使同一晶體不同階段形成的各部份之間的顏色差異,并在晶體中留下每一階段生長(zhǎng)的痕跡,這就是色帶。

(20)

如果上式成立,則在以

次諧波頻點(diǎn)為中心的鄰域內(nèi)組合余弦窗的頻譜

(

)為頻偏的

階無窮小量。

將式(14)代入式(20)給出窗系數(shù)

的方程組,其中

(

)在

次諧波頻點(diǎn)的1～3階導(dǎo)數(shù)為0對(duì)應(yīng)的系數(shù)方程分別為

(21)

(22)

(23)

進(jìn)一步還可以導(dǎo)出4階以上導(dǎo)數(shù)為0對(duì)應(yīng)的窗系數(shù)方程,這里從略。

設(shè)信號(hào)含有

個(gè)諧波,組合余弦窗的寬度為

個(gè)信號(hào)預(yù)估周期,則待確定的

(

-1)個(gè)窗系數(shù)為

,

,…,

-1

,

+1

,

+2

,…,

2-1

,

2+1

,…,

+1

,

+2

,…,

-1

。根據(jù)組合余弦窗應(yīng)滿足的有效條件2,與信號(hào)諧波同頻的余弦分量對(duì)應(yīng)的窗系數(shù)須為0。窗系數(shù)方程的個(gè)數(shù)應(yīng)該與待定的窗系數(shù)的個(gè)數(shù)相等。一般情況下,在建立窗系數(shù)方程時(shí),一方面要提高

(

)在各信號(hào)諧波頻點(diǎn)連續(xù)導(dǎo)數(shù)為0的階數(shù),一方面又要求

(

)在這些頻點(diǎn)有相同的平坦性。為此,由

(

)在各信號(hào)諧波頻點(diǎn)的前(

-1)階導(dǎo)數(shù)為0列出

-1個(gè)方程,

個(gè)諧波頻點(diǎn)共列出

(

-1)個(gè)方程。

對(duì)只有部分諧波分量不為0的周期信號(hào),列方程時(shí)不必要求

(

)在所有預(yù)估諧波頻點(diǎn)具有相同的平坦性。這種情況下,通常在信號(hào)能量較強(qiáng)的頻點(diǎn)賦予較高的平坦性,在信號(hào)能量很弱或不存在的頻點(diǎn)賦予較低的平坦性或完全不予置理。較多的窗系數(shù)意味著組合余弦窗中有更多的余弦分量可用于調(diào)控預(yù)估諧波頻點(diǎn)的頻譜平坦性,但往往以增大各預(yù)估諧波頻點(diǎn)之間的頻譜為代價(jià),一旦信號(hào)有諧波落入這些區(qū)域就會(huì)帶來較大誤差。較少的窗系數(shù)雖然只能使較少預(yù)估諧波頻點(diǎn)處的頻譜平坦性得到控制,但其他頻域處的頻譜往往可以維持在較低的幅度,即便信號(hào)有諧波落入這些區(qū)域也能得到有效抑制。事實(shí)上,由于平坦性約束條件可以進(jìn)行多種組合,適用于任一周期信號(hào)均值參數(shù)測(cè)量的最佳窗函數(shù)并不存在。實(shí)際中組合余弦窗的窗寬和窗系數(shù)的選擇應(yīng)根據(jù)具體信號(hào)的諧波分布特點(diǎn)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。

在精彩的歌舞表演中，頒獎(jiǎng)典禮高潮迭起。在眾人期待中，主持人正式公布本屆金樽獎(jiǎng)金樽大獎(jiǎng)及金獎(jiǎng)名單，晚宴嘉賓為獲得金樽大獎(jiǎng)的5款葡萄酒，獲得金樽獎(jiǎng)金獎(jiǎng)的19款葡萄酒頒獎(jiǎng)、合影留念，并頒出“金樽獎(jiǎng)微醺大師”等單項(xiàng)獎(jiǎng)。

3 矩形卷積窗性能分析

矩形卷積窗用于周期信號(hào)均值參數(shù)測(cè)量時(shí)可以有效抑制非同步采樣帶來的測(cè)量誤差,而且算法簡(jiǎn)單高效

。本節(jié)基于組合余弦窗的有效條件和優(yōu)化設(shè)計(jì)準(zhǔn)則對(duì)矩形卷積窗的性能進(jìn)行分析。

板澗河調(diào)蓄水庫主要建筑物，包括大壩、溢洪道、導(dǎo)流泄洪洞、連通洞及補(bǔ)水泵站。大壩為2級(jí)建筑物，溢洪道和泄洪洞為3級(jí)建筑物，補(bǔ)水泵站為2級(jí)建筑物。洪水標(biāo)準(zhǔn)為50年一遇設(shè)計(jì)，1 000年一遇校核。

3.1 矩形卷積窗的時(shí)域表示

對(duì)式(5)給出的歸一化矩形窗進(jìn)行多重卷積,得歸一化

重矩形卷積窗

(24)

更一般情況,借助寬度為1個(gè)信號(hào)預(yù)估周期

的矩形窗

(25)

定義一般情況下的

重矩形卷積窗為

(26)

它是一個(gè)

周期寬、單位面積的偶函數(shù)。

3.2 矩形卷積窗的頻域表示

根據(jù)卷積定理,式(26)給出的矩形卷積窗的頻域表示為

(27)

(1)組合余弦窗的窗寬為信號(hào)周期的整數(shù)倍,即

(

)=

(28)

與式(14)對(duì)照可知,如果將矩形卷積窗理解為組合余弦窗的一種,則其對(duì)應(yīng)的組合余弦窗系數(shù)為

(29)

由式(28)可知在諸諧波頻點(diǎn)上,矩形卷積窗的頻譜為0;由式(29)可知矩形卷積窗對(duì)應(yīng)的組合余弦窗系數(shù)

為1,且不存在與信號(hào)諧波同頻的余弦分量(

為

的整數(shù)倍時(shí)

=0),因此矩形卷積窗為滿足均值測(cè)量有效條件的組合余弦窗。

斜杠人生的雛形就是我們平時(shí)所說的興趣愛好。一個(gè)人有什么愛好，就用斜杠表述。比如俺老彭愛寫稿、愛打羽毛球、愛養(yǎng)蘭花。三者呈并列關(guān)系，用斜杠隔開，便是：寫稿/打羽毛球/養(yǎng)蘭花。不過，“不是所有牛奶都叫特某蘇”，也不是所有帶斜杠的東西都叫“斜杠人生”。

1.2.6 Transwell實(shí)驗(yàn)檢測(cè)過表達(dá)miR-454-3p對(duì)SW480細(xì)胞侵襲能力的影響 將以無血清細(xì)胞培養(yǎng)液稀釋的Matrigel基質(zhì)膠包被transwell小室基底膜的上室表面,加入100 μL無血清培養(yǎng)基稀釋的各組細(xì)胞懸液,在小室下層孔板中加入含10%血清的完全培養(yǎng)液，置于37℃孵箱培養(yǎng)培養(yǎng)24 h后取出培養(yǎng)小室的,濕棉簽輕輕拭去上層小室內(nèi)的基質(zhì)膠和細(xì)胞，4%多聚甲醛固定后行結(jié)晶紫染色，晾干后，顯微鏡下選5個(gè)視野計(jì)數(shù)穿出細(xì)胞數(shù)目。

(π

)

-(-1)

sin

-1

(π

)cos(π

)

-

-

故{An(xk)}是([0,1], ρ)的Cauchy-列。由題設(shè)條件知([0,1], ρ)完備,從而{An(xk)}是([0,1], ρ)的收斂列。設(shè)

(π

)

-

sin

(π

)

-(+1)

(30)

進(jìn)一步還可求出各高階導(dǎo)數(shù),不難看出

(

)的第1至

-1階導(dǎo)數(shù)的各求和項(xiàng)中均含有sin(π

)的冪。頻率

為1

的整數(shù)倍時(shí)sin(π

)=0,因而矩形卷積窗的頻譜在各信號(hào)諧波頻點(diǎn)的1～

-1階導(dǎo)數(shù)均為0。這表明2重以上矩形卷積窗的

(

)在信號(hào)的各預(yù)估諧波頻點(diǎn)均滿足平坦性(至少為1階導(dǎo)數(shù)為0),當(dāng)頻偏趨于0時(shí),周期信號(hào)的均值測(cè)量誤差為相對(duì)頻偏的

階無窮小量。

矩形卷積窗為含有無限個(gè)余弦分量的組合余弦窗,基于矩形卷積窗的均值測(cè)量信號(hào)的傅里葉變換仍由式(16)給出,

次諧波的衰減因子為

(31)

均值測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差由式(18)給出,相對(duì)頻偏趨于0時(shí)的近似為

圖3為模擬后不同壓下量下的等效應(yīng)變分布云圖，從圖3(a)可以發(fā)現(xiàn)，在第30步時(shí)，上下端面位置應(yīng)變較大，心部最小，在試樣鼓肚位置應(yīng)力均勻分布。圖3(b)中的應(yīng)變分布有所增加，其最小和最大應(yīng)變值均有所提高。在圖3(c)中，試樣中應(yīng)變分布與圖3(b)相似，應(yīng)變值進(jìn)一步增加。

(32)

4 優(yōu)化組合余弦窗應(yīng)用舉例

實(shí)際信號(hào)可能只包含有限次的諧波分量,且信號(hào)能量在各次諧波上的分布極不平衡,如電力信號(hào)主要由奇次諧波組成。交流電有效值計(jì)算中的中間信號(hào)為交流電的平方信號(hào),主要由偶次諧波組成。作為實(shí)例,基于優(yōu)化組合余弦窗對(duì)交流電有效值的測(cè)量進(jìn)行數(shù)值仿真。設(shè)被測(cè)交流電信號(hào)含有5項(xiàng)奇次諧波,即

(33)

其中各諧波的有效值

=1、

=0.356 236 9、

=0.213 742 1、

=0.152 673 0、

=0.118 745 6,該交流電壓信號(hào)的總有效值

=1.1。有效值對(duì)應(yīng)交流電的均方根,計(jì)算中的中間信號(hào)為

(

)=

(

),顯然該信號(hào)僅含有最高諧波次數(shù)為18的偶次諧波。

信號(hào)

(

)的有效值的加窗測(cè)量過程為,首先用窗函數(shù)對(duì)中間信號(hào)

(

)加權(quán)求其均值,然后再計(jì)算平方根。由于

(

)僅含偶次諧波,并考慮到隨著諧波次數(shù)的提高其在直流分量處的泄漏干擾逐漸消弱,以下以窗函數(shù)的頻譜

(

)在諧波次數(shù)為2、4、6、8、10的頻點(diǎn)處平坦作為構(gòu)建組合余弦窗的優(yōu)化條件。在該5個(gè)諧波頻點(diǎn)上,通過使

′(

)=

″(

)=0構(gòu)建2周期窗寬的優(yōu)化組合余弦窗WCOS2,通過使

′(

)=

″(

)=

?(

)=0構(gòu)建3周期窗寬的優(yōu)化組合余弦窗WCOS3。表1給出了方程(21)(22)(23)解得的窗系數(shù)。

在已有的窗函數(shù)中,矩形卷積窗用于周期信號(hào)均值參數(shù)測(cè)量時(shí)的非同步誤差最小,故只需將優(yōu)化組合余弦窗與同寬的矩形卷積窗進(jìn)行對(duì)比分析。圖1、圖2分別給出了2周期窗寬的優(yōu)化組合余弦窗WCOS2、矩形卷積窗WCON2與3周期窗寬的優(yōu)化組合余弦窗WCOS3、矩形卷積窗WCON3的幅度譜。可以看出,在選定的偶次諧波頻點(diǎn)處優(yōu)化余弦組合窗的頻譜(實(shí)線)明顯較矩形卷積窗的頻譜(虛線)平坦。

仿真中一個(gè)預(yù)估周期內(nèi)對(duì)信號(hào)采樣100次,信號(hào)相對(duì)頻偏

的變化范圍為-10%～10%。圖3為相對(duì)頻偏變化時(shí),優(yōu)化組合余弦窗WCOS2、WCOS3和矩形卷積窗WCON2、WCON3用于有效值測(cè)量時(shí)的測(cè)量誤差。比較WCOS2(點(diǎn)線)、WCON2(實(shí)線)、WCOS3(點(diǎn)劃線)、WCON3(虛線)可知,與同寬的矩形卷積窗相比,采用窗寬為2個(gè)和3個(gè)信號(hào)周期的優(yōu)化組合余弦窗后測(cè)量精度分別提高了11倍和27.5倍以上;3周期窗寬的優(yōu)化組合余弦窗的測(cè)量精度高出2周期窗寬的優(yōu)化組合余弦窗40倍以上。另外,在整個(gè)±10%的頻偏范圍內(nèi),WCOS2和WCON3的測(cè)量精度大致相近,這是因?yàn)槎叩念l譜

(

)在信號(hào)主要諧波(2、4、6、8、10次諧波)處均有

′(

)=

″(

)=0,但當(dāng)頻偏較小(±1.6%之內(nèi))時(shí),WCOS2明顯低于WCON3的測(cè)量精度。實(shí)際上用于均值測(cè)量的中間信號(hào)

(

)還含有12、14、16、18次諧波分量,但由于WCOS2的頻譜在這些頻點(diǎn)并未用

′(

)=

″(

)=0加以約束,頻偏很小時(shí)這些高次諧波分量在直流分量(均值)處的干擾逐漸顯露。

通過對(duì)只有奇次諧波的交流電有效值進(jìn)行仿真計(jì)算表明,信號(hào)頻率在較大范圍(±10%)變化時(shí),WCOS2和WCON3對(duì)應(yīng)的有效值測(cè)量的相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差分別小于10

和10

,這說明實(shí)際中只需2個(gè)或3個(gè)信號(hào)周期的采樣數(shù)據(jù)即可實(shí)現(xiàn)高精度測(cè)量。

5 結(jié) 論

采樣不同步是影響周期信號(hào)均值類參數(shù)測(cè)量精度的主要因素,對(duì)信號(hào)加窗能夠有效抑制不同步誤差。論文基于組合余弦窗并結(jié)合周期信號(hào)的諧波特性進(jìn)行研究,導(dǎo)出了信號(hào)頻率變化時(shí)均值參數(shù)測(cè)量的誤差公式;基于頻偏為0時(shí)的測(cè)量誤差為0,給出了組合余弦窗的有效條件:窗寬為信號(hào)周期的整數(shù)倍、所含余弦分量不能與信號(hào)諧波同頻以及窗函數(shù)的面積為1;提出了組合余弦窗的優(yōu)化準(zhǔn)則:窗函數(shù)的頻譜在信號(hào)諧波頻點(diǎn)應(yīng)滿足平坦性,也即在這些頻點(diǎn)上窗函數(shù)頻譜的1階導(dǎo)數(shù)為0或連續(xù)有多階導(dǎo)數(shù)為0;基于優(yōu)化設(shè)計(jì)準(zhǔn)則建立了組合余弦窗的系數(shù)方程組,實(shí)現(xiàn)了適于周期信號(hào)均值測(cè)量的組合余弦窗優(yōu)化設(shè)計(jì);基于組合余弦窗分析了廣泛用于周期信號(hào)分析的矩形卷積窗,導(dǎo)出了矩形卷積窗對(duì)應(yīng)的組合余弦窗系數(shù),說明了信號(hào)各諧波同等地位時(shí)矩形卷積窗的最優(yōu)性。最后,基于優(yōu)化組合余弦窗對(duì)測(cè)試信號(hào)進(jìn)行了數(shù)值模擬,結(jié)果表明信號(hào)頻率在較大范圍(±10%)變化時(shí),基于優(yōu)化組合余弦窗的測(cè)量精度顯著高于同寬的矩形卷積窗的測(cè)量精度。

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