巧裂項,妙求和

繆桂林

裂項相消法是求解數(shù)列求和問題的常用方法.該方法主要適用于求解通項公式為分式的數(shù)列求和問題.在運用裂項相消法求數(shù)列的和時，通常要先將數(shù)列的通項公式裂為兩項之差的形式，這樣，數(shù)列中的前后項或前后幾項能夠相互抵消，化簡和式，求得數(shù)列的前n項和.運用裂項相消法求數(shù)列的和的關鍵在于對數(shù)列的通項公式進行合理的裂項.下面結合實例來談一談如何巧妙裂項，運用裂項相消法求數(shù)列的和.

例1.已知數(shù)列{a}中， a，=1 ，前n項和為S.，且lgs，lgn，lg為等差數(shù)列，令6n=n，求數(shù)列的前n項和Tn.

解：

對于形如（a- 1）a n=an+l—an的通項公式，在運用裂項相消法解答數(shù)列求和問題時，應考慮將通項公式變形為的形式，然后通過抵消部分項得到數(shù)列的和.

例3.等比數(shù)列{a}的各項均為正數(shù)，且2a+3a，=1，a=9aza。，設bn=log，a， +log;a，+……+ log;an，求數(shù)列的前n項和.

解：

對于含有對數(shù)式的數(shù)列，求其前 n 項的和式，可根據(jù)對數(shù)的運算性質對通項公式進行裂項，如loga? an? =logaan +1-logaan ，這樣數(shù)列中的部分項就能相互抵消，和式就能簡化.

例4.設各項均為正數(shù)的數(shù)列an的前 n 項和為 Sn ，已知數(shù)列Sn是首項為1、公差為1的等差數(shù)列，令 bn =，求數(shù)列bn的前 n 項和 Tn .

解：∵數(shù)列Sn是首項為1、公差為1的等差數(shù)列，

∴ =1+n -1=n ，即 Sn =n2，

∵當 n =1時，a1=1;

當 n ≥2時，an =Sn -Sn -1=2n -1，

∴ an =2n -1，n ∈ N?，

∴數(shù)列bn的前 n 項和 Tn 為 -1.

當遇到形如+ 、+ 的通項公式時，可通過分母有理化來進行裂項，即????? =- 、 =-，這樣數(shù)列各項的分母中就不會含有根式，且含有根號的式子便會通過正負相加抵消.

例5.設數(shù)列an，其前 n 項和 Sn =-3n2，bn為單調(diào)遞增的等比數(shù)列，b1b2b3=512，a1+b1=a3+b3.

（1）求數(shù)列an， bn的通項公式.

（2）若cn =bn -2 nbn -1，求數(shù)列cn的前 n 項和 Tn .

解：（1）略;

（2）由（1）可得 bn =b2?2n -2=2n+1，

所以Tn =c1+…+cn = -? + - +…+ -? = - =1-

觀察cn的表達式，可發(fā)現(xiàn)分母2n -12n +1-1為兩項乘積，且含有指數(shù)式，于是通過配湊將cn的表達式進行裂項2n -1-2n +1-1，然后通過正負相消求得數(shù)列的和.

通過對上述介紹，同學們應該熟悉了對含有對數(shù)式、指數(shù)式、根式、階乘式以及乘積形式的分式通項公式進行裂項的方式.對于分式通項公式的數(shù)列求和問題，只要對通項公式進行合理的裂項，通過恒等變形將通項公式表示為 an =fn-fn -k，k =1，2， …，便能快速化簡和式，順利求得數(shù)列的和.

（作者單位：云南省會澤縣茚旺高級中學）