巧用運算模型，聯(lián)系算理和算法

【摘要】當(dāng)下的小學(xué)計算教學(xué)，教師往往更加重視學(xué)生的計算正確率和計算的速度，而忽視了學(xué)生對算理的理解。文章重點談?wù)勀Ｐ退枷朐谛W(xué)數(shù)學(xué)計算教學(xué)中的滲透和應(yīng)用，旨在讓教師發(fā)現(xiàn)對算理的理解有助于提高計算正確率和計算的速度。教師只有加深學(xué)生對各類運算模型的理解并有效遷移，理解算理和算法，才能有效提高學(xué)生的計算正確率和計算的速度。教師在小學(xué)數(shù)學(xué)計算教學(xué)中有意識地滲透模型思想，有助于培養(yǎng)學(xué)生的計算能力、應(yīng)用意識和創(chuàng)新能力。

【關(guān)鍵詞】模型思想;運算模型;定律模型;應(yīng)用意識;創(chuàng)新能力

【基金項目】本文系福建省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2020年度課題“在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透模型思想的實踐研究”（立項編號：FJJKCG20-150）的研究階段性成果之一。

作者簡介：吳謀友（1984—），男，福建省福州市城門中心小學(xué)（一級教師，曾獲得福州市小學(xué)數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課現(xiàn)場評選一等獎）。

模型思想是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》的十大核心詞之一?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出，教師在教學(xué)中滲透模型思想有助于學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系與規(guī)律。學(xué)生可以從生活情境或數(shù)學(xué)情境中，提取數(shù)學(xué)信息，建立數(shù)學(xué)模型，解決問題，驗證模型，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)模型的價值，并把發(fā)現(xiàn)和建立的模型應(yīng)用到其他生活情境或數(shù)學(xué)情境中[1]。這樣的數(shù)學(xué)建?；顒佑兄趯W(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)方法和研究方法，有助于啟發(fā)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察生活，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識。計算教學(xué)中存在的數(shù)學(xué)模型是學(xué)生后續(xù)進行計算學(xué)習(xí)的原動力，數(shù)學(xué)計算模型有助于學(xué)生理解數(shù)學(xué)算理，培養(yǎng)學(xué)生的計算能力。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，計算是重要的教學(xué)內(nèi)容之一，也是學(xué)生在生活中必須掌握的一項技能。作為數(shù)學(xué)教學(xué)的一部分，計算教學(xué)還需要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力、推理能力等數(shù)學(xué)素養(yǎng)。教師在小學(xué)計算教學(xué)中有意識地滲透模型思想，有助于培養(yǎng)學(xué)生的計算能力、應(yīng)用意識和創(chuàng)新能力。

一、 巧用運算模型，理解算理，掌握計算方法

掌握計算方法的關(guān)鍵在于理解算理，理解了才能“通”，“通”才能“久”。如果學(xué)生不理解算理，只是單純地模仿或記憶教師的算法，那么即便學(xué)生當(dāng)下會計算，并且能正確地計算出結(jié)果，對后續(xù)學(xué)習(xí)也不能起到多少幫助，甚至?xí)綄W(xué)越糊涂，產(chǎn)生負遷移。教師在計算教學(xué)中，要有意識地提煉各類運算模型，讓學(xué)生掌握各類運算模型的算理，進而能推廣至其他同類的或相似的計算情境中去;開展一系列的數(shù)學(xué)活動，讓學(xué)生理解整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)的四則運算體系，把握運算規(guī)律，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)[2]。

例如，在人教版三年級數(shù)學(xué)上冊“多位數(shù)乘一位數(shù)”這部分內(nèi)容中，學(xué)生需要學(xué)習(xí)多位數(shù)乘一位數(shù)（不進位）的筆算乘法。教學(xué)中，教師可借助小棒、計數(shù)卡片等教具，讓學(xué)生熟悉多位數(shù)乘一位數(shù)（不進位）的筆算乘法豎式的寫法，理解乘法豎式中的加法豎式使用的是簡潔形式（如圖1所示）。

在此基礎(chǔ)上，學(xué)生在學(xué)習(xí)進位乘法時（如14×3），就很容易想到4×3=12，10×3=30，向十位進一，所以得42。通過小棒圖，學(xué)生可以更容易地理解個位滿幾個十，就要向十位進幾。

又如，教師在教學(xué)人教版三年級數(shù)學(xué)下冊“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”這部分內(nèi)容時，應(yīng)善于利用學(xué)生之前學(xué)過的運算模型——多位數(shù)乘一位數(shù)的計算法則，讓學(xué)生將已有經(jīng)驗有效遷移到新知識的學(xué)習(xí)中。如在教學(xué)14×12的豎式寫法時，教師可以引導(dǎo)學(xué)生在點子圖上分一分、圈一圈、畫一畫，并把想法用算式表示出來。通過操作，學(xué)生發(fā)現(xiàn)在計算14×12時，應(yīng)先算14×2=28，再算14×10=140，最后算28+140=168（如圖2所示）。之后，教師再引導(dǎo)學(xué)生歸納兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算法。通過運算模型，學(xué)生很容易想到兩位數(shù)乘兩位數(shù)是多位數(shù)乘一位數(shù)的2.0版本，從算理上講，兩者之間的差異只是數(shù)位對齊的問題。學(xué)生明白了算理之后，在計算時就不容易出現(xiàn)將第二步的計算結(jié)果寫錯位置的錯誤。

在教學(xué)中，教師要善于引導(dǎo)學(xué)生對比兩位數(shù)乘兩位數(shù)和兩位數(shù)乘一位數(shù)這兩種運算的異同點，不斷地體會算理的統(tǒng)一性及算法的相似性，體會到乘法計算即加法計算的累加。通過辨析、討論，學(xué)生能自覺地將兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算理和算法納入自己的計算方法體系中，為將來學(xué)習(xí)三位數(shù)乘兩位數(shù)積累經(jīng)驗和奠定基礎(chǔ)。

二、 巧用定律模型，理解法則，提高簡算能力

在小學(xué)階段需要學(xué)習(xí)的運算定律中，乘法分配律是學(xué)生學(xué)習(xí)的重點，更是難點，特別是在辨析其與乘法結(jié)合律的區(qū)別上，令許多學(xué)生頭疼。教師通過分析學(xué)生的錯題可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的錯誤主要是對運算定律的特征認識不夠深入。而部分教師在教學(xué)中往往采用不完全歸納法，如a×c+b×c=（a+b）×c這樣的例子，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)這些算式的共同點，歸納總結(jié)出乘法分配律的定義與特點。筆者認為這樣的教學(xué)缺少了一個環(huán)節(jié)，那就是分析及歸納乘法分配律的結(jié)構(gòu)模型的環(huán)節(jié)。

例如，教師可以向?qū)W生展示乘法分配律的直觀圖（如圖3所示）。通過直觀圖，學(xué)生可以很容易地理解5個4加3個4等于8個4，即5×4+3×4=（5+3）×4。這樣直觀的展示形式，不僅能揭示乘法與加法之間的聯(lián)系，還能讓學(xué)生更容易接受、理解相關(guān)知識。

在此基礎(chǔ)上，教師可以再列舉一些滿足這種規(guī)律的等式，引導(dǎo)學(xué)生觀察這些等式兩邊結(jié)構(gòu)的異同點，如等式的左邊有3個數(shù)，右邊卻有4個數(shù);等式左邊有括號，右邊沒有;等式右邊出現(xiàn)了兩個c……讓學(xué)生體會“分配”二字的含義，進而總結(jié)出“（a+b）×c=a×c+b×c”（順向應(yīng)用）和“a×c+b×c=（a+b）×c”（逆向應(yīng)用）這兩個運算模型。

另外，教師還可以設(shè)計如下練習(xí)，提高學(xué)生對乘法分配律和乘法結(jié)合律這兩個運算模型的辨別能力。

找一找哪些算式是相等的？

①25×（4×3）? ? ? ? ? ? ④25×4×3

②25×（4+3）? ? ? ? ? ⑤25×4+3

③25×4+25×3? ? ? ? ⑥25×4×25×3

教師可以借助模型思想，從運算定律的模型結(jié)構(gòu)入手，加深學(xué)生對運算模型的直觀認識，使學(xué)生對各種運算定律的結(jié)構(gòu)模型印象深刻，培養(yǎng)學(xué)生由此及彼的推理能力，讓學(xué)生感受知識的產(chǎn)生和發(fā)展過程。

三、 巧用“一題多變”，類比分析，體會估算價值

估算教學(xué)是小學(xué)數(shù)學(xué)計算教學(xué)的重要組成部分，但由于部分教師在教學(xué)中缺乏指導(dǎo)，或者一些習(xí)題的命題導(dǎo)向不清晰，導(dǎo)致部分學(xué)生錯誤地認為估算沒有筆算準(zhǔn)確，既然能準(zhǔn)確算出結(jié)果，為什么還要進行估算呢？那么教師該如何避免這樣的現(xiàn)象發(fā)生？如何讓學(xué)生對估算產(chǎn)生需求，感受估算的優(yōu)越性、簡潔性和必要性？筆者認為，教師可通過“一題多變”，營造不同的教學(xué)情境，但需注意這些情境應(yīng)符合估算的模型特征，符合學(xué)生的生活實際，具有一定的可操作性，給學(xué)生廣闊的估算空間，讓學(xué)生在“變”中了解估算的優(yōu)勢和必要性，體會估算模型的價值，培養(yǎng)學(xué)生在具體情境中應(yīng)用估算的主動性，讓學(xué)生學(xué)會求同存異。

例如，教師在教學(xué)加法估算時，可呈現(xiàn)如下情境。

1.媽媽去商店買衣服，一件襯衫54元，一件短褲43元，買這兩件衣服，媽媽帶90元夠嗎？（去尾法：50+40=90，不夠。）

2.媽媽去商店買衣服，一件西服158元，一件長褲133元，買這兩件衣服，媽媽帶300元夠嗎？（進一法：160+140=300，夠。）

3.媽媽去商店買衣服，因標(biāo)簽信息模糊了，只能看到一件襯衫5□元，一件短褲4□元，買這兩件衣服，媽媽帶100元夠嗎？（引導(dǎo)學(xué)生進行分類討論，主要看個位的兩數(shù)之和是否大于10。）

4.媽媽去商店買衣服，因標(biāo)簽信息模糊了，只能看到一件西服15□元，一件短褲14□元，買這兩件衣服，媽媽至少帶（? ?）元才夠。（這題是利用第3小題的結(jié)論進行估算的問題。）

只有教師設(shè)置的問題具有可行性和可操作性，學(xué)生才有興趣參與到數(shù)學(xué)活動中去。有意義的“一題多變”，能幫助學(xué)生在“變”中找出“不變”，進而找出估算的方法。在這一過程中，教師要注意每一題不一定都引導(dǎo)學(xué)生采用四舍五入法進行估算。不論是四舍五入法、進一法還是去尾法，關(guān)鍵是方法需要適用于問題情境。

在此基礎(chǔ)上，教師可以改變情境，引入更多物品的計算問題，可呈現(xiàn)如下情境。

媽媽帶100元去超市購物。她買了1袋大米，花了61.8元;還買了1kg肉，花了26.4元。

1.剩下的錢夠買一盒10元的雞蛋嗎？（把一個或兩個數(shù)據(jù)估大或是一個估大、一個不變。）

2.剩下的錢夠買一盒20元的雞蛋嗎？（把一個或兩個數(shù)據(jù)估小或是一個估小、一個不變。）

創(chuàng)設(shè)“一題多變”情境，拓展了學(xué)生的思維空間，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)估算的內(nèi)在動力，同時能讓學(xué)生在分析、類比、拓展、歸納、總結(jié)等活動中體會估算模型在不同問題情境中的應(yīng)用，有助于培養(yǎng)學(xué)生的思辨能力和創(chuàng)新能力。

四、 巧用“一題多解”，發(fā)散思維，優(yōu)化運算模型

計算教學(xué)中的“一題多解”，即計算方法多樣化。日常教學(xué)中，教師往往只重視計算方法的“多”，不求計算方法的“精”，也就是說，在滲透模型思想時，沒有反思各類計算模型的優(yōu)缺點，這樣的教學(xué)會影響學(xué)生更好地改進計算方法[3]。教師在計算教學(xué)中，應(yīng)有意識地滲透模型思想，引導(dǎo)學(xué)生對建模的全過程進行反思，使學(xué)生在觀察、討論、分析等活動中逐步領(lǐng)悟相關(guān)知識，獲得自我體驗，最終找到具有普遍性、規(guī)律性、持久性的適合自己的算法，實現(xiàn)算法的優(yōu)化。

例如，人教版一年級數(shù)學(xué)教材中有關(guān)20以內(nèi)退位減法的計算方法很多，教師在教學(xué)時關(guān)鍵是要讓學(xué)生自主選擇最佳的計算模型。教師可先讓學(xué)生結(jié)合操作分析算理，然后說明算理內(nèi)容，在這一過程中，學(xué)生的思維層次能不斷提升，知識不斷內(nèi)化，很容易感受到平十法和破十法（如圖4所示）在計算中的優(yōu)勢，從而達到算法的優(yōu)化。在此基礎(chǔ)上，教師要善于引導(dǎo)學(xué)生回顧和思考，使學(xué)生認識到不論是平十法還是破十法，都是把新知識轉(zhuǎn)化為舊知識的過程，即10以內(nèi)的減法。學(xué)生可以體會到10以內(nèi)的減法和20以內(nèi)退位減法的模型意義，并認識到此類模型可推廣到其他的減法中，為將來學(xué)習(xí)多位數(shù)的減法、小數(shù)減法、分數(shù)減法等內(nèi)容打下基礎(chǔ)。

再如，在人教版四年級數(shù)學(xué)下冊“運算定律與簡便計算”單元的學(xué)習(xí)中，學(xué)生在計算中經(jīng)常出現(xiàn)關(guān)于乘法分配律與乘法結(jié)合律的錯誤，如25×（4+40）=25×4+40;67×38+62×67=（38+62）×（67+67）;125×32×25=125×8+4×25;99×99=99×100-1，為了讓學(xué)生了解乘法分配律和乘法結(jié)合律的運算模型的異同點，找出錯誤的原因，筆者設(shè)計了“一題多解”環(huán)節(jié)，讓學(xué)生用多種計算方法解題，體會不同的算法和思維過程。如學(xué)生在計算125×48這一算式時，運用了以下3種方法：125×8×6，125×（40+8），（125×8）×（48÷8）。通過對不同算法的梳理與比較，學(xué)生能夠針對模型的特點再次進行總結(jié)，對運算模型結(jié)構(gòu)進行完善。

綜上所述，教師要充分運用各類運算模型來揭示數(shù)學(xué)計算中的本質(zhì)和聯(lián)系，在教學(xué)中向?qū)W生滲透模型思想，引導(dǎo)學(xué)生借助模型去學(xué)習(xí)和思考數(shù)學(xué)知識。教師要具備培養(yǎng)學(xué)生模型思想的自覺意識，將模型思想的培養(yǎng)工作自始至終落實到數(shù)學(xué)計算教學(xué)的每個環(huán)節(jié)中，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

【參考文獻】

中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

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謝碧瑾.發(fā)散性思維在小學(xué)計算教學(xué)中的應(yīng)用研究[J].小學(xué)教學(xué)參考，2020（11）：68-69.