基于Markov切換的HIV傳染病模型的動態(tài)分析

董朝麗

（江西農(nóng)業(yè)大學(xué) 南昌商學(xué)院，江西 共青城 332020）

0 引言

HIV病毒通過攻擊CD4T淋巴細(xì)胞，導(dǎo)致人類身體免疫功能喪失，感染各種疾病致死。從HIV病毒發(fā)現(xiàn)以來，每年約有上百萬人被感染HIV病毒，具有非常迅速的傳播能力［1-2］。因此，國內(nèi)外十分重視HIV病毒，研發(fā)HIV病毒治療手段，降低艾滋病死亡率，時至今日，艾滋病治療已經(jīng)取得些許療效，但是并未完全攻克艾滋病毒，依然是世界上未解傳染?。?］?；诖?，國內(nèi)外眾多學(xué)者紛紛采用多種手段，建立艾滋病病毒HIV模型，分析病毒模型特征，以期攻克艾滋病。

國內(nèi)外眾多學(xué)者運(yùn)用數(shù)學(xué)知識，從宏觀和微觀兩種角度著手，建立HIV傳染病的四維模型、常微分方程模型、離散數(shù)學(xué)模型、動力學(xué)模型、多種類型的傳染病模型等，分析HIV病毒的傳染過程、增殖現(xiàn)象、傳播時間、周期性等特征［4-5］。在國內(nèi)外基礎(chǔ)上，相關(guān)學(xué)者針對HIV傳染病模型，作出如下研究。文獻(xiàn)［6］針對傳染病發(fā)病率和潛伏期等信息，建立SEIR傳染病模型，根據(jù)模型的平衡點，分析模型的動力學(xué)特征。文獻(xiàn)［7］根據(jù)傳染病的雙線性發(fā)生率和飽和治愈率等信息，建立SIR傳染病動力學(xué)模型，分析模型的穩(wěn)定性。文獻(xiàn)［8］將Beverton-Holt函數(shù)與傳染病的雙時滯特點相結(jié)合，建立階段結(jié)構(gòu)傳染病模型，分析模型的穩(wěn)定性。文獻(xiàn)［9］根據(jù)傳染病周期，建立傳染病動力模型，分析傳染病生存周期。文獻(xiàn)［10］通過建立SEIR傳染病模型，分析傳染病的局部穩(wěn)定性，并采用數(shù)值模擬的方式，驗證分析結(jié)果。文獻(xiàn)［11］通過Liapunov函數(shù)，建立SIQS傳染病模型，證明模型的滅絕性和持久性，并采用數(shù)值模擬的方式，驗證分析結(jié)論。文獻(xiàn)［12］根據(jù)傳染病的信息變量和治愈率信息，建立傳染病的一類SI傳染病模型，根據(jù)模型的平衡點，分析模型的穩(wěn)定性。文獻(xiàn)［13］根據(jù)傳染病的非線性傳染率，建立傳染病模型，通過模型的時滯，分析模型Hopf分支和穩(wěn)定性。在上述研究基礎(chǔ)上，此次研究采用Markov切換，進(jìn)一步分析HIV傳染病模型的動態(tài)性，提出基于Markov切換的HIV傳染病模型的動態(tài)分析，以期為艾滋病攻克提供更多參考依據(jù)。

1 基于Markov切換的HIV傳染病模型的動態(tài)分析方法

1.1 建立HIV傳染病模型

HIV傳染病在人群中傳播，存在8～9年的潛伏期［14］。因此，將HIV傳染病，分為易感、潛伏、已經(jīng)感染、免疫4種狀態(tài)，作為HIV傳染病模型節(jié)點，分別采用字母Y、Q、G、M表示。其中，易感Y表示非常容易感染HIV病毒的個體；潛伏Q表示已經(jīng)感染HIV病毒，但個體并不知情，因此并未采取任何治療措施；已經(jīng)感染G表示個體已經(jīng)發(fā)現(xiàn)自己感染HIV病毒，并采取積極的治療隔離措施；免疫M(jìn)表示不容易感染或已經(jīng)治療好的HIV病毒個體，具有一定的抗病毒能力，且不再具有傳染性［15］。

基于此，存在具有n個節(jié)點的網(wǎng)絡(luò)O，則每個節(jié)點i∈{1 ,2,…,n}，在時間t時，具有Xi(t)∈{Y,Q,G,M}狀態(tài)。從上述描述中可以看出，若有一個節(jié)點Y被HIV病毒感染，至少會產(chǎn)生XQ(t)狀態(tài)和XG(t)狀態(tài)。為此，在節(jié)點的有向網(wǎng)絡(luò)中，將節(jié)點i鄰居分為感染鄰居和可能被感染的鄰居2類。此時，可以將HIV傳染病，按照動力學(xué)狀態(tài)轉(zhuǎn)移，分為2種傳播模式（圖1）。

圖1 HIV傳染病2種傳播模式Fig.1 Two transmission modes of HIV infectious diseases

圖1中，pi表示能被網(wǎng)絡(luò)A中的節(jié)點j感染的節(jié)點i的恢復(fù)概率；p(Y,i)表示節(jié)點i恢復(fù)后，重新轉(zhuǎn)變?yōu)閄Y(t)的概率；p(Q,Y)表示Y被網(wǎng)絡(luò)中Q感染的概率；p(G,Y)表示Y被G感染的概率；p(M,Y)表示Y轉(zhuǎn)變?yōu)镸的概率；p(Q,G)表示Q轉(zhuǎn)變?yōu)镚的概率；p(Q,M)表示Q轉(zhuǎn)化為M的概率。其中，p(Q,Y)和p(G,Y)之間存在p(Q,Y)＜p(G,Y)、p(Q,Y)=p(G,Y)、p(Q,Y)＞p(G,Y)3種關(guān)系［16］。

此外，假設(shè)網(wǎng)絡(luò)O的鄰接網(wǎng)絡(luò)為A，當(dāng)網(wǎng)絡(luò)O中的節(jié)點i能被網(wǎng)絡(luò)A中的節(jié)點j感染時，存在aij=1，即反之，aij=0。從上述分析中可以看出，網(wǎng)絡(luò)中的感染參數(shù)是非負(fù)的。為此建立的2類不同傳播方式的HIV傳染病模型如下：

綜合上述內(nèi)容，即可完成HIV傳染病模型建立，此時，只需要尋找模型的參數(shù)，將模型參數(shù)與傳播方式相結(jié)合，以此來分析HIV傳染病模型的動態(tài)性質(zhì)。

1.2 基于Markov切換計算HIV傳染病模型參數(shù)

從圖1中可以看出，此次建立HIV傳染病模型，設(shè)計pi、p(Y,i)、p(Q,Y)、p(G,Y)、p(M,Y)、p(Q,G)、p(Q,M)幾個概率值，結(jié)合式（1）和式（2），當(dāng)幾個概率值達(dá)到最大化時，可以得到模型中HIV傳染病4種狀態(tài)傳播過程的最優(yōu)傳播參數(shù)?；诖?，采用Markov切換訓(xùn)練的方式求取，其求取步驟如下：

⑥最終得到HIV傳染病模型，概率分布向量γ、狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣P、觀測值矩陣B的最優(yōu)值，其表達(dá)式如下：

綜合上述6步得到的HIV傳染病模型參數(shù)最優(yōu)值，結(jié)合HIV傳染病模型，確定HIV傳染病模型的動態(tài)性質(zhì)。

1.3 確定HIV傳染病模型的動態(tài)性質(zhì)

如式（2）和式（3）所示的HIV傳染病模型，根據(jù)式（4）所示的模型3個參數(shù)最優(yōu)值，計算HIV傳染病模型的平衡點，判斷模型的穩(wěn)定性，得到穩(wěn)定閾值，從而通過穩(wěn)定閾值，確定HIV傳染病模型的動態(tài)性質(zhì)。

依據(jù)圖1中HIV傳染病第一類傳播模式，以及式（1）所示的第一類HIV傳染病模型，設(shè)HIV傳染病模型的無病平衡點為Qi(t)=Gi(t)=0，將其記為?i(t)，則有：

綜合上述內(nèi)容，只有滿足式（9）和式（10）所示的條件時，HIV傳染病模型的無病平衡點Qi(t)=Gi(t)=0才能實現(xiàn)，具有動態(tài)穩(wěn)定性。

2 數(shù)值模擬

為驗證此次研究對HIV傳染病模型的動態(tài)穩(wěn)定性分析結(jié)果，根據(jù)此次研究計算，設(shè)定pi、p(Y,i)、p(Q,Y)、p(G,Y)、p(M,Y)、p(Q,G)、p(Q,M)幾個概率值參數(shù)，進(jìn)行數(shù)值模擬，并將模擬的數(shù)值代入上述10個公式的計算過程中，得到模型參數(shù)的最大特征值λmax，以此驗證此次研究計算結(jié)果。

2.1 數(shù)值設(shè)定

第一類傳播模式傳播模型幾個概率參數(shù)值，設(shè)定2種情況下的數(shù)值模擬，其具體數(shù)值設(shè)定如下：

（1）第一種情況：p(Y,i)=0.010，pi=10，p(Q,Y)=0.006，p(G,Y)=0.005，p(Q,G)=0.040，p(M,Y)=0.003，此時最大特征值λmax=0.244 9＜1。

（2）第二種情況：p(Y,i)=0.010，pi=10，p(Q,Y)=0.100，p(G,Y)=0.034，p(Q,G)=0.065，p(M,Y)=0.045，此時最大特征值λmax=2.004 5＞1。

第二類傳播模式傳播模型幾個概率參數(shù)值，設(shè)定2種情況下的數(shù)值模擬，其具體數(shù)值設(shè)定如下：

（1）第一種情況：p(Y,i)=0.010，pi=10，p(Q,Y)=0.100，p(G,Y)=0.010，p(Q,G)=0.020，p(M,Y)=0.030，p(Q,M)=0.003，此時最大特征值λmax=0.707 1＜1。

（2）第二種情況：p(Y,i)=0.010，pi=10，p(Q,Y)=0.100，p(G,Y)=0.100，p(Q,G)=0.200，p(M,Y)=0.003，p(Q,M)=0.003，此時最大特征值λmax=7.071 1＞1。

2.2 模擬結(jié)果

2.2.1 第一類傳播模式傳播模型

根據(jù)此次實驗，設(shè)定的2種情況下，第一類傳播模式傳播模型幾個概率參數(shù)值，得到的HIV傳染病模型Y、Q、G、M4種狀態(tài)關(guān)于時間的圖像見圖2。

圖2 4種狀態(tài)關(guān)于時間的圖像Fig.2 Images of four states about time

從圖2中可以看出，第一類HIV傳染病模型的穩(wěn)定性屬于全局漸進(jìn)穩(wěn)定。驗證了此次研究計算的模型動態(tài)穩(wěn)定性。

2.2.2 第二類傳播模式傳播模型

根據(jù)此次實驗，設(shè)定的2種情況下，第二類傳播模式傳播模型幾個概率值參數(shù)值，得到的HIV傳染病模型Y、Q、G、M4種狀態(tài)關(guān)于時間的圖像見圖3。

圖3 4種狀態(tài)關(guān)于時間的圖像Fig.3 Images of four states about time

從圖3中可以看出，第二類HIV傳染病模型的穩(wěn)定性，同樣屬于全局漸進(jìn)穩(wěn)定。驗證了此次研究計算的模型動態(tài)穩(wěn)定性。

3 結(jié)束語

此次研究，利用Markov切換，計算模型最優(yōu)特征值，以此獲取模型最大特征值，確定模型動態(tài)穩(wěn)定性。并采用模擬數(shù)值的方式，驗證此次分析結(jié)果的正確性。但是，此次研究分析HIV傳染病模型的動態(tài)穩(wěn)定性，研究方向較為單一，在今后的研究中，還需深入研究HIV傳染病模型的復(fù)雜性、滅絕性和動態(tài)性，從而為HIV傳染病治療提供依據(jù)。