數(shù)學(xué)建模思想融入空間解析幾何教學(xué)初探

韓海山

（內(nèi)蒙古民族大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，內(nèi)蒙古 通遼 028043）

0 引言

數(shù)學(xué)建模思想融入數(shù)學(xué)教學(xué)的研究已有多年，文獻(xiàn)［1］研究了將數(shù)學(xué)建模思想融入高中空間解析幾何的必要性和可行性。文獻(xiàn)［2］用數(shù)學(xué)建模思想分別對(duì)平面幾何和立體幾何進(jìn)行教學(xué)改革研究。同時(shí)也有專家研究了如何把數(shù)學(xué)建模思想融入大學(xué)空間解析幾何課程教學(xué)中，有研究融入的必要性和一些融入的嘗試［3］，解析幾何教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想的可行性和必要性［4］，并做了一些嘗試。從教材選取和增加實(shí)踐學(xué)時(shí)角度研究［5］，以實(shí)際案例探討了數(shù)學(xué)建模思想在解析幾何中的應(yīng)用［6-7］等。上述研究都是出于數(shù)學(xué)建模解決實(shí)際問題的觀點(diǎn)，所以采取的措施不是增加實(shí)踐課時(shí)或者增加實(shí)際例子。筆者從數(shù)學(xué)模型本質(zhì)是尋找事物內(nèi)在規(guī)律的特點(diǎn)出發(fā)，在講授高?？臻g解析幾何內(nèi)容時(shí)，重點(diǎn)講授內(nèi)在規(guī)律的認(rèn)識(shí)和尋找，從而達(dá)到了數(shù)學(xué)建模思想融入空間解析幾何教學(xué)的目的，有利于培養(yǎng)學(xué)生的探究式學(xué)習(xí)習(xí)慣。

1 數(shù)學(xué)建模思想及其在大學(xué)解析幾何課程教學(xué)中的融入

隨著信息技術(shù)和大數(shù)據(jù)時(shí)代的來臨，學(xué)科之間交叉融合得更加深入和密切，作為基礎(chǔ)學(xué)科的數(shù)學(xué)在各個(gè)領(lǐng)域的應(yīng)用價(jià)值更加突顯。用數(shù)學(xué)的方法解決實(shí)際問題，首先要對(duì)需要解決的問題進(jìn)行簡化建立其模型，即數(shù)學(xué)模型，然后進(jìn)行數(shù)學(xué)的推理、計(jì)算和驗(yàn)證，并用所得結(jié)果對(duì)原來的實(shí)際問題作出判斷、控制或預(yù)測未來。對(duì)于廣大科技人員、工程技術(shù)人員來說，建立數(shù)學(xué)模型是溝通實(shí)際問題與他們掌握的數(shù)學(xué)工具之間聯(lián)系的一座必不可少的橋梁［8］。

數(shù)學(xué)模型是對(duì)于一個(gè)現(xiàn)實(shí)對(duì)象，為了一個(gè)特定目的，根據(jù)其內(nèi)在規(guī)律，作出必要的簡化假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到的一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)［8］。建立數(shù)學(xué)模型的全過程叫作數(shù)學(xué)建模［8］。筆者對(duì)數(shù)學(xué)模型的理解是，數(shù)學(xué)模型是所研究或解決的實(shí)際問題的內(nèi)在規(guī)律的數(shù)學(xué)表述。數(shù)學(xué)建模就是要尋找實(shí)際問題的內(nèi)在規(guī)律的過程。

數(shù)學(xué)建模是一種思維方式。筆者試圖在空間解析幾何教學(xué)中使用這種思維方式，培養(yǎng)學(xué)生尋求事物內(nèi)在規(guī)律的思維，使學(xué)生更好理解大學(xué)空間解析幾何課程的內(nèi)在規(guī)律，進(jìn)而掌握其基本原理和基本方法，培養(yǎng)空間想象力，從而提高學(xué)生解決實(shí)際問題的能力。

空間解析幾何課程作為高等學(xué)校數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的重要基礎(chǔ)課程，既是中學(xué)幾何課程的延伸，也是大學(xué)后續(xù)課程（高等幾何、微分幾何、拓?fù)鋵W(xué)等）學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，屬于數(shù)學(xué)的前三基（空間解析幾何、數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)）之一，是幾何學(xué)的一個(gè)分支，體現(xiàn)了數(shù)與形的結(jié)合，演繹法與解析法的結(jié)合。它為幾何學(xué)的學(xué)習(xí)和研究提供最一般的思想、方法和工具，即利用解析化思想，以向量和標(biāo)架為工具對(duì)幾何問題進(jìn)行代數(shù)化，進(jìn)行量化研究?？臻g解析幾何使得幾何學(xué)、代數(shù)學(xué)和分析學(xué)構(gòu)成一個(gè)有機(jī)的整體，為數(shù)學(xué)的各個(gè)分支之間的互相滲透、互相促進(jìn)奠定了基礎(chǔ)。它的直觀性的特點(diǎn)啟示了許多新思想、新原理的誕生?？臻g解析幾何通過培養(yǎng)學(xué)生的空間思維能力、空間想象力和邏輯推理能力，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基本方法。下面用實(shí)例說明如何培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)事物內(nèi)在規(guī)律的能力。

在文獻(xiàn)［9］中把曲線（曲面）方程看成是平面（空間）點(diǎn)的軌跡。所以把求曲線（曲面）方程看成是尋找平面（空間）上點(diǎn)的坐標(biāo)之間的內(nèi)在規(guī)律的過程，這樣可以把數(shù)學(xué)建模思想融入到求曲線（曲面）方程中。如文獻(xiàn)［9］在建立柱面方程的做法是：

從式（2）和式（3）消去參數(shù)x1,y1,z1得到一個(gè)三元方程F(x,y,z)=0，這就是以式（1）為準(zhǔn)線，母線的方向數(shù)為X,Y,Z的柱面方程。

很難看出這個(gè)方程是一個(gè)空間點(diǎn)的軌跡，沒有展現(xiàn)尋求事物內(nèi)在規(guī)律的做法。所以，要從培養(yǎng)學(xué)生尋求事物內(nèi)在規(guī)律的角度和數(shù)學(xué)建模思想的角度，把柱面也看成是空間點(diǎn)的軌跡，具體做法如下：

假設(shè)點(diǎn)M(x,y,z)是以式（1）為準(zhǔn)線，母線的方向數(shù)為X,Y,Z的柱面上的任意一點(diǎn)，根據(jù)柱面定義，過點(diǎn)M(x,y,z)一定存在一條母線，設(shè)該母線與準(zhǔn)線的交點(diǎn)為M1(x1,y1,z1)，則該母線方程為式（2），因?yàn)镸1(x1,y1,z1)在準(zhǔn)線上，所以滿足式（3），后續(xù)跟文獻(xiàn)［9］一樣。這樣得到的方程F(x,y,z)=0是柱面上任意點(diǎn)的坐標(biāo)x,y,z所滿足的方程，也就是點(diǎn)M(x,y,z)的軌跡。

錐面和旋轉(zhuǎn)曲面方程的做法也同樣處理。

2 舉例

試求與∑ε交于一個(gè)圓周的平面的法方向。

解假設(shè)點(diǎn)M(x,y,z)是外切柱面上的任意點(diǎn)，過M(x,y,z)的母線l與已知橢圓的切點(diǎn)為M1(x1,y1,z1)，則l的方程為