一道教科研聯(lián)盟函數(shù)題的破解

?安徽省利辛縣第一中學(xué) 李曉蘭

1 引言

導(dǎo)數(shù)法是處理直線與曲線的位置關(guān)系、函數(shù)的零點(diǎn)、方程的實(shí)根等相關(guān)問(wèn)題的基本方法.根據(jù)題目情境的巧妙設(shè)置，合理變形與轉(zhuǎn)化，通過(guò)函數(shù)的構(gòu)建，結(jié)合求導(dǎo)處理，借助函數(shù)的單調(diào)性等基本性質(zhì)，通過(guò)基本函數(shù)的圖象與性質(zhì)來(lái)合理轉(zhuǎn)化，巧妙破解，已經(jīng)成為高考、聯(lián)賽等命題的高頻考點(diǎn)之一，倍受關(guān)注．

2 問(wèn)題呈現(xiàn)

此題以含參的直線與曲線的位置關(guān)系為問(wèn)題情境來(lái)創(chuàng)設(shè)，借助導(dǎo)數(shù)來(lái)研究函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，通過(guò)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用數(shù)形結(jié)合、分類討論、參變分離或構(gòu)造方程法等思維方法來(lái)分析與處理，難度較大，創(chuàng)新新穎，具有很好的區(qū)分度．

3 問(wèn)題破解

方法1：數(shù)形結(jié)合法.

令函數(shù)g(x)=x-lnx-1，求導(dǎo)可得

當(dāng)0

當(dāng)x>1時(shí)，g′(x)>0，g(x)在區(qū)間(1，+∞)上單調(diào)遞增.

所以g(x)min=g(1)=0，故g(x)≥0在區(qū)間(0，+∞)上恒成立.

所以f(x)在區(qū)間(0，+∞)上單調(diào)遞增.

圖1

作出函數(shù)f(x)的大致圖象，如圖1所示.

點(diǎn)評(píng):破解的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)f(x)的圖象，數(shù)形結(jié)合來(lái)確定參數(shù)b的取值范圍．由于函數(shù)f(x)的圖象非熟知，結(jié)合導(dǎo)數(shù)法，利用求導(dǎo)處理并通過(guò)研究函數(shù)的單調(diào)性來(lái)大致確定函數(shù)的圖象，為破解問(wèn)題的數(shù)形結(jié)合思想提供圖形依據(jù)．?dāng)?shù)形結(jié)合法是處理此類問(wèn)題的常用方法，借助函數(shù)圖象為突破口，采用數(shù)形結(jié)合思想，比較巧妙．

方法2：分類討論法.

(1)當(dāng)b<0時(shí)，g′(x)有唯一零點(diǎn)x0，g(x)在區(qū)間(0，x0)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(x0，+∞)上單調(diào)遞增.

而當(dāng)x→0+時(shí)，g(x)→+∞；當(dāng)x→+∞時(shí)，g(x)→+∞.

所以g(x)min=g(x0)=x0-lnx0+1-k，而取k=1時(shí)，g(x)無(wú)零點(diǎn)，舍去.

(2)當(dāng)b=0時(shí)，g′(x)有唯一零點(diǎn)2，g(x)在區(qū)間(0，2)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(2，+∞)上單調(diào)遞增.

而當(dāng)x→0+時(shí)，g(x)→+∞；當(dāng)x→+∞時(shí)，g(x)→+∞.

所以g(x)min=g(2)=1-ln2-k，而當(dāng)k<1-ln2時(shí)，g(x)無(wú)零點(diǎn)，舍去.

而當(dāng)x→0+時(shí)，g(x)→-∞；當(dāng)x→+∞時(shí)，g(x)→+∞，滿足要求.

而當(dāng)x→0+時(shí)，g(x)→-∞；當(dāng)x→+∞時(shí)，g(x)→+∞.

所以,存在k∈R，使g(x1)>0，g(x2)<0，此時(shí)，g(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，舍去.

點(diǎn)評(píng):通過(guò)直線與曲線的位置關(guān)系對(duì)條件進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)化，巧妙構(gòu)建對(duì)應(yīng)的方程，通過(guò)方程的變形與轉(zhuǎn)化，構(gòu)建對(duì)應(yīng)的函數(shù)，通過(guò)求導(dǎo)處理，利用參數(shù)取值的分類討論，確定在每種情況下函數(shù)零點(diǎn)的情況，從而得以確定參數(shù)的取值范圍問(wèn)題．分類討論法能很好地處理雙參數(shù)問(wèn)題，尋找結(jié)論成立的條件，不重不漏，嚴(yán)格縝密，只是過(guò)程比較繁雜，討論細(xì)節(jié)較多，容易導(dǎo)致錯(cuò)誤，要引起注意．

方法3：參變分離法.

根據(jù)題意知，對(duì)任意實(shí)數(shù)k，都有唯一的x與之對(duì)應(yīng)，則可知函數(shù)g(x)是單調(diào)函數(shù).

令函數(shù)h(x)=x2-2x+2b，可知函數(shù)h(x)是開口向上的二次函數(shù).

點(diǎn)評(píng):通過(guò)直線與曲線的位置關(guān)系對(duì)條件進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)化，巧妙構(gòu)建對(duì)應(yīng)的方程，借助參變分離，構(gòu)建對(duì)應(yīng)的函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的定義以及單調(diào)性的定義，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，通過(guò)求導(dǎo)，借助二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，通過(guò)判別式小于等于0來(lái)建立不等式，進(jìn)而確定參數(shù)的取值范圍問(wèn)題．參變分離法是破解涉及函數(shù)參變量問(wèn)題中比較常用的一種技巧方法，利用參變分離進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)變問(wèn)題視角，巧妙分析與破解．

方法4：構(gòu)造方程法.

令函數(shù)h(x)=x2-2x+2b，可知函數(shù)h(x)是開口向上的二次函數(shù).

點(diǎn)評(píng):通過(guò)直線與曲線的位置關(guān)系對(duì)條件進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)化，巧妙構(gòu)建對(duì)應(yīng)的方程，通過(guò)方程的變形與轉(zhuǎn)化，構(gòu)建對(duì)應(yīng)的函數(shù)，通過(guò)求導(dǎo)處理，借助二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，通過(guò)判別式小于等于0來(lái)建立不等式，進(jìn)而得以確定參數(shù)的取值范圍問(wèn)題．構(gòu)造方程法合理綜合與分類討論法與參變分離法的優(yōu)點(diǎn)，巧妙組合，優(yōu)化過(guò)程，提升效益．

4 變式拓展

探究1：通過(guò)保留題目條件，適當(dāng)改變對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式與參數(shù)條件，可以得到以下對(duì)應(yīng)的變式問(wèn)題．

下面先證明g(x)<1恒成立.

假設(shè)?x0∈(0，+∞)，使得g(x0)≥1.因?yàn)閤→0+時(shí)，g(x)→-∞，且當(dāng)自變量x充分大時(shí)，g(x)<1，

所以存在x1∈(0，x0)，x2∈(x0，+∞)，使得g(x1)<1，g(x2)<1.

取k=max{g(x1)，g(x2)}<1，則y=k與y=g(x)至少有兩個(gè)交點(diǎn)，與題意矛盾.

由對(duì)任意k∈(-∞，1)，g(x)=k只有一個(gè)解，得g(x)為(0，+∞)上的遞增函數(shù).

因此b≥m(x)max=m(2)=-ln2，即b的取值范圍是[-ln2，+∞).

故填答案：[-ln2，+∞)．

5 教學(xué)啟示

5.1 方法總結(jié)，技巧歸納

通過(guò)研究函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，以導(dǎo)數(shù)為工具研究函數(shù)的單調(diào)性，多參數(shù)立意新穎，任意類恒成立問(wèn)題與基本概念密切聯(lián)系，深入淺出地考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等核心素養(yǎng)．關(guān)于本題的處理方法，我們經(jīng)常采用數(shù)形結(jié)合、分類討論、參變分離、構(gòu)造方程等方法，其中數(shù)形結(jié)合直觀，分類討論周密，參變分離快捷，構(gòu)造方程優(yōu)化，都是非常好的分析與處理此類問(wèn)題的基本方法．

5.2 考點(diǎn)剖析，能力提升

導(dǎo)數(shù)法是分析與解決函數(shù)的零點(diǎn)、方程的實(shí)根等相關(guān)問(wèn)題中比較常用的一種技巧方法，也是借助導(dǎo)數(shù)法來(lái)考查此類問(wèn)題的熱點(diǎn)與難點(diǎn)之一．通過(guò)函數(shù)的零點(diǎn)、方程的實(shí)根、直線與曲線之間的交點(diǎn)個(gè)數(shù)等不同情況來(lái)合理創(chuàng)設(shè)問(wèn)題，背景設(shè)置各異，變化多端，求解的形式與方法也各不相同．熟練掌握基本題型，把握問(wèn)題實(shí)質(zhì)，以不變應(yīng)萬(wàn)變，全面提升數(shù)學(xué)品質(zhì)，提高數(shù)學(xué)能力．Z