一道三角函數(shù)求值題的多角度分析

?湖北省十堰市房縣第一中學(xué) 陳清先

1 引言

三角函數(shù)值的求解是近年高考數(shù)學(xué)中的一個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題，此類問(wèn)題往往情境創(chuàng)設(shè)簡(jiǎn)單新穎，設(shè)置方式變化多端形式各樣，難度適中．此類問(wèn)題的特點(diǎn)就是背景設(shè)置多變，三角公式眾多，切入點(diǎn)多樣，破解方法多種，對(duì)各層次學(xué)生能力的考查都有一定的體現(xiàn)，可以很好地考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算與邏輯推理能力，充分體現(xiàn)高考的選拔性與區(qū)分度．

2 問(wèn)題呈現(xiàn)

此題條件簡(jiǎn)捷，短小精悍，難度適中，以三角形的內(nèi)角的取值范圍來(lái)確定對(duì)應(yīng)角的取值限制，通過(guò)相關(guān)角的正弦值和余弦值的和式來(lái)創(chuàng)設(shè)題目條件，在此背景下求解相應(yīng)角的正切值問(wèn)題．此題主要借助情境創(chuàng)設(shè)，結(jié)合題目條件，綜合考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，三角形的基本性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)綜合考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等核心素養(yǎng)．

3 問(wèn)題破解

思維視角一：三角函數(shù)思維

方法1：方程法.

故選擇答案：A．

點(diǎn)評(píng):結(jié)合條件中同角三角函數(shù)的正弦值和余弦值的和式進(jìn)行兩邊平方處理，結(jié)合平方關(guān)系的變形與轉(zhuǎn)化，得到對(duì)應(yīng)積式的值，并結(jié)合條件確定角A的取值限制，利用聯(lián)立方程組求解相應(yīng)的角的正弦值和余弦值，利用商數(shù)關(guān)系來(lái)確定對(duì)應(yīng)角的正切值．方程思維是破解同角三角函數(shù)問(wèn)題中比較常見(jiàn)的思維方式，注意點(diǎn)就是把握角的取值范圍的限制對(duì)三角函數(shù)值的影響．

方法2：同構(gòu)法.

點(diǎn)評(píng):結(jié)合條件中同角三角函數(shù)的正弦值和余弦值的和式進(jìn)行兩邊平方處理，結(jié)合平方關(guān)系的變形與轉(zhuǎn)化，得到對(duì)應(yīng)積式的值，并結(jié)合條件確定角A的取值限制，結(jié)合同角三角函數(shù)的正弦值和余弦值的差式的平方的求解，通過(guò)聯(lián)立方程組求解相應(yīng)的角的正弦值和余弦值，利用商的關(guān)系來(lái)確定對(duì)應(yīng)角的正切值．合理同構(gòu)，利用同角三角函數(shù)的正弦值和余弦值的和式與差式互為對(duì)偶式，在進(jìn)行求值與運(yùn)算時(shí)經(jīng)常通過(guò)同構(gòu)來(lái)確定目的．

方法3：齊次化法.

故選擇答案：A．

點(diǎn)評(píng):結(jié)合條件中同角三角函數(shù)的正弦值和余弦值的和式進(jìn)行兩邊平方處理，結(jié)合平方關(guān)系的變形與轉(zhuǎn)化，得到對(duì)應(yīng)積式的值，并結(jié)合條件確定角A的取值限制，通過(guò)對(duì)應(yīng)積式的齊次化處理，轉(zhuǎn)化為涉及tanA的二次方程，結(jié)合方程的求解與條件的限制來(lái)確定對(duì)應(yīng)角的正切值．齊次化處理，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為所要求解的三角函數(shù)值的方程問(wèn)題，通過(guò)方程的求解與條件的限制來(lái)分析與處理．

思維視角二：解析幾何思維

方法4：數(shù)形直觀法.

圖1

解析：如圖1所示，建立平面直角坐標(biāo)系Oxy，設(shè)P(cosA，sinA)，其中∠A=∠POM.

而A為三角形的內(nèi)角，則點(diǎn)P在第二象限內(nèi).

故選擇答案：A．

點(diǎn)評(píng):通過(guò)建立平面直角坐標(biāo)系，結(jié)合三角函數(shù)的定義，將三角函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線與圓的交點(diǎn)問(wèn)題，利用平面幾何與解析幾何的性質(zhì)確定角A的取值范圍，利用正切函數(shù)的單調(diào)性來(lái)確定tanA的取值范圍，結(jié)合各選項(xiàng)中的值直接得以分析與判斷．?dāng)?shù)形直觀法是在平面直角坐標(biāo)系的背景中，結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系，數(shù)形結(jié)合，通過(guò)解析幾何思維的直觀轉(zhuǎn)化來(lái)實(shí)現(xiàn)．

方法5：解三角形法.

解析：如圖1所示，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，設(shè)P(cosA，sinA)，其中∠A=∠POM.

而A為三角形的內(nèi)角，則知點(diǎn)P在第二象限內(nèi).

故選擇答案：A．點(diǎn)評(píng):通過(guò)建立平面直角坐標(biāo)系，結(jié)合三角函數(shù)的定義，將三角函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線與圓的交點(diǎn)問(wèn)題，通過(guò)平面幾何知識(shí)的直觀分析，確定對(duì)應(yīng)角與邊的大小，通過(guò)正弦定理的過(guò)渡與轉(zhuǎn)化，結(jié)合同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、三角恒等變換公式的應(yīng)用來(lái)確定對(duì)應(yīng)角的正切值．解三角形法可以將三角函數(shù)問(wèn)題平面幾何化，綜合平面幾何、解三角形、三角函數(shù)等相關(guān)知識(shí)來(lái)綜合與應(yīng)用．

4 教學(xué)啟示

4.1 熟記基本公式，掌握通技通法

借助三角函數(shù)知識(shí)來(lái)處理此類問(wèn)題，破解的關(guān)鍵就是熟練掌握三角函數(shù)中的基本公式，涉及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、誘導(dǎo)公式、三角恒等變換公式等．在具體破解時(shí)，結(jié)合題目條件對(duì)三角函數(shù)式進(jìn)行切化弦、化同名、化同角等常規(guī)處理，掌握基本的通技通法，巧妙轉(zhuǎn)化，靈活應(yīng)用．

4.2 回歸定義本源，拓展思維方式

建立在三角函數(shù)定義基礎(chǔ)上的三角函數(shù)問(wèn)題，往往可以借助三角函數(shù)定義的回歸，結(jié)合定義本源，通過(guò)平面幾何、平面解析幾何等相關(guān)知識(shí)來(lái)構(gòu)建，從而在平面幾何、平面解析幾何等知識(shí)基礎(chǔ)上進(jìn)行拓展與延伸，或數(shù)形結(jié)合，或坐標(biāo)轉(zhuǎn)化，借助圖形特征或代數(shù)運(yùn)算來(lái)處理，實(shí)現(xiàn)思維方式的拓展與提升．Z