學(xué)生經(jīng)驗：數(shù)學(xué)解題教學(xué)的基石
——由“數(shù)列通項的放縮”教學(xué)引發(fā)的思考

?江蘇省太倉高級中學(xué) 周艷東

1 引言

最近，筆者觀摩了一堂高三二輪復(fù)習(xí)課.本節(jié)課是以微專題的形式進行的，主題為“數(shù)列通項的放縮”.眾所周知，數(shù)列通項的放縮一直是教學(xué)的難點、學(xué)生的痛點、高考的熱點.數(shù)列放縮形式多變，技巧性極強，以微專題的形式進行針對性的突破應(yīng)該是一種比較有效的教學(xué)手段，但整堂課下來，筆者發(fā)現(xiàn)困擾學(xué)生的問題依舊擺在那里，沒有得到根本性的解決.

2 教學(xué)過程簡介

上課教師首先引導(dǎo)學(xué)生回顧3個常用的數(shù)列通項放縮公式：

然后，進入例題講解環(huán)節(jié).

解題過程略.

解題過程略.

3 超出學(xué)生經(jīng)驗的技巧很難被掌握

4 學(xué)生經(jīng)驗是數(shù)學(xué)解題教學(xué)的基石

4.1 明確學(xué)生的已有經(jīng)驗

教師一般都有這樣的經(jīng)歷，很多好的解題方法講了很多遍、練了很多遍，但終究教不會，究其原因，就是這些解題方法已經(jīng)超出了學(xué)生的已有經(jīng)驗，單純的講解無法對知識的內(nèi)化起到積極的作用.解題并不是無源之水，無本之木，它應(yīng)該立足于學(xué)生的已有經(jīng)驗.

4.2 建立新經(jīng)驗和舊經(jīng)驗的聯(lián)系

經(jīng)驗具有正向和負(fù)向雙重效應(yīng).一方面，經(jīng)驗為學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)奠定了認(rèn)知基礎(chǔ)，促進新的經(jīng)驗的形成；另一方面，經(jīng)驗很容易造成思維定式，從而阻礙學(xué)生接受新的經(jīng)驗.解決的唯一辦法就是建立新經(jīng)驗和舊經(jīng)驗的聯(lián)系，從而幫助學(xué)生打破思維定式，使經(jīng)驗的遷移得到發(fā)生.

因此，本節(jié)課首先要解決的是建立起數(shù)列通項放縮與學(xué)生已有經(jīng)驗之間的聯(lián)系，從而讓學(xué)生感受到這些放縮技巧、公式并不是憑空產(chǎn)生的，而是在已有經(jīng)驗基礎(chǔ)上的延伸.

4.3 完善已有的經(jīng)驗

學(xué)生的已有經(jīng)驗直接決定了新知識與新方法的獲得速度與掌握程度，已有經(jīng)驗越豐富越好.因此，在解題教學(xué)中，教師要轉(zhuǎn)變理念，要把教學(xué)重心從傳授新的解題經(jīng)驗轉(zhuǎn)到完善已有的解題經(jīng)驗上.

其實，數(shù)列放縮的技巧性與思想性不是幾節(jié)課就可以完成的，它需要經(jīng)歷一個從熟悉到陌生、從特殊到一般的建構(gòu)過程.等差、等比數(shù)列是認(rèn)知基礎(chǔ)，累和、累乘是方法基礎(chǔ)，因此，首先需要對這些基礎(chǔ)性的經(jīng)驗進行完善，才能確保后續(xù)學(xué)習(xí)的順利進行.

比如，對于比較復(fù)雜的數(shù)列，累和法能用嗎？

例3已知an+1=2an+1，a1=1，求數(shù)列{an}的通項公式.

很多學(xué)生都想到套用公式an+1+λ=2(an+λ)進行求解，前提是要記住這個公式.但實際上可以直接利用累和法進行推導(dǎo)，an+1=2an+1，an=2an-1+1，兩個式子左右兩邊分別作差得an+1-an=2(an-an-1)，則an+1-an=2(an-an-1)=22(an-1-an-2)=…=2n-1(a2-a1)=2n，即an+1-an=2n，接下去就交給累和法了.

變式1：已知an+1=2an+n-1，a1=1，求數(shù)列{an}的通項公式.

累乘法也能進行類似的推廣.

看似簡單的運算技巧照樣能夠展現(xiàn)出巨大的威力，因此，我們沒必要刻意地去記憶這些放縮公式，不僅不好記，即使記住了，題目一變化，也用不上.

“學(xué)生經(jīng)驗”是數(shù)學(xué)解題教學(xué)的“基石”，在立足學(xué)生經(jīng)驗的基礎(chǔ)上使學(xué)生經(jīng)驗在“破”與“立”的動態(tài)平衡中得以匯聚與積淀，最終實現(xiàn)“學(xué)生經(jīng)驗”的升級躍遷，這才是解題教學(xué)的真諦所在.Z