王燕濤
(江蘇省宜興市官林實(shí)驗(yàn)小學(xué),江蘇 宜興 214200)
數(shù)學(xué)學(xué)科高度的抽象性和嚴(yán)密的邏輯性,使其在培養(yǎng)學(xué)生的思維能力方面具有天然的優(yōu)勢。而無論從數(shù)學(xué)知識的靜態(tài)呈現(xiàn)還是動態(tài)“發(fā)生”的角度看,沒有和思維無關(guān)的知識,也沒有離開知識的思維。可以說,思維是知識內(nèi)化于心的特殊能力,既源于知識又超越知識。鄭毓信教授也指出,數(shù)學(xué)知識應(yīng)該被看成是數(shù)學(xué)思維的載體,因?yàn)橹挥幸詳?shù)學(xué)思維的分析帶動具體知識內(nèi)容的教學(xué),我們才能感受到數(shù)學(xué)思維的力量,更能通過具體數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)逐步學(xué)會數(shù)學(xué)的思維(1)鄭毓信:《小學(xué)數(shù)學(xué)教育的理論與實(shí)踐》,華東師范大學(xué)出版社2017年版。。因此,從數(shù)學(xué)知識中精選核心知識作為思維加工的材料,生成結(jié)構(gòu)聯(lián)結(jié),形成以高階思維為取向的核心知識教學(xué),對學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升大有裨益。
小學(xué)數(shù)學(xué)核心知識是指小學(xué)數(shù)學(xué)課程中那些處于基礎(chǔ)、主干和關(guān)鍵地位,適用和遷移范圍廣的數(shù)學(xué)知識,這些核心知識在知識體系和發(fā)展中具有內(nèi)在邏輯的連貫性和本質(zhì)內(nèi)涵的一致性,具有很強(qiáng)的生發(fā)、吸附、統(tǒng)攝、解釋和應(yīng)用功能(2)魏光明:《小學(xué)數(shù)學(xué)核心知識教學(xué)探索》,《教育視界》2021年第35期,第37-40頁。。它們具有統(tǒng)攝性,是一個(gè)教學(xué)活動的基軸與焦點(diǎn),能把零碎的課堂知識串聯(lián)起來,使之融為一體、有機(jī)關(guān)聯(lián);它們具有內(nèi)核性,是教學(xué)知識單元的細(xì)胞核;它們具有衍生性,是最具活性的一種知識類型,是一切其他課堂知識得以生發(fā)與依附的主根(3)龍寶新:《走向核心知識教學(xué):高效課堂教學(xué)的時(shí)代意蘊(yùn)》,《全球教育展望》2012年第3期,第19-24頁。。它們是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維,提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的主要載體。
分?jǐn)?shù)作為一個(gè)兼具多重意義的數(shù)學(xué)基本概念,就小學(xué)階段而言,側(cè)重從三個(gè)維度研究:一是基于份數(shù)定義,也就是把單位“1”平均分成若干份,表示這樣的1份或幾份的數(shù);二是基于商定義,也就是整數(shù)m除以整數(shù)n的商(n≠0);三是基于比定義,也就是整數(shù)m與n之比(n≠0)(4)王燕濤:《著眼整體 分析比較 改進(jìn)教學(xué)》,《小學(xué)數(shù)學(xué)教育》2019年第22期,第4-7頁。。由此可見,在小學(xué)階段學(xué)生理解和建立完整的分?jǐn)?shù)概念的過程中,分?jǐn)?shù)的商定義即“分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系”,前接分?jǐn)?shù)的份數(shù)定義,后續(xù)分?jǐn)?shù)的比定義,是實(shí)現(xiàn)知識推進(jìn)并處于知識發(fā)展的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)處的核心知識,具體表現(xiàn)為:其一,它是將分?jǐn)?shù)從直觀認(rèn)識上升到理性認(rèn)識的橋梁;其二,它是將分?jǐn)?shù)從“相對量”的概念拓展到“數(shù)”的概念的重要平臺;其三,它是作為“部分——整體”關(guān)系拓展到“兩量之比”的紐帶。
思維一直是教育研究的熱點(diǎn)問題之一,國內(nèi)外許多學(xué)者對其內(nèi)涵與本質(zhì)從不同角度進(jìn)行了詮釋。美國教育家布魯姆依據(jù)認(rèn)知水平的復(fù)雜程度的遞增原則,將思維過程具體化為六個(gè)教學(xué)目標(biāo),其中識記、理解、應(yīng)用視為低階思維,而后三個(gè)認(rèn)知水平“分析、評價(jià)、創(chuàng)造”被視為高階思維(5)龍寶新:《走向核心知識教學(xué):高效課堂教學(xué)的時(shí)代意蘊(yùn)》,《全球教育展望》2012年第3期,第19-24頁。。我國江西師范大學(xué)鐘志賢教授則進(jìn)一步指出高階思維是高階能力的核心,主要指創(chuàng)新能力、問題求解能力、決策力和批判性思維能力(6)王燕濤:《著眼整體 分析比較 改進(jìn)教學(xué)》,《小學(xué)數(shù)學(xué)教育》2019年第22期,第4-7頁。。基于以上認(rèn)知,小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科中的高階思維,可以理解為面對主要知識領(lǐng)域(數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計(jì)與概率),在認(rèn)知方面具有完善的知識結(jié)構(gòu)、良好的符號意識和空間觀念,較強(qiáng)的推理能力和數(shù)據(jù)分析能力;在思維品質(zhì)方面具有高度的靈活性、深刻的邏輯性、準(zhǔn)確的直覺性、有意識的批判性、豐富的獨(dú)創(chuàng)性。
根據(jù)蘇教版教材的編排,在認(rèn)識分?jǐn)?shù)的份數(shù)定義后緊接著學(xué)習(xí)“分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系”,有助于學(xué)生主動“創(chuàng)生”和“聯(lián)結(jié)”,形成科學(xué)的認(rèn)知方式和高階思維模型:其一,易于與原有知識建立廣泛聯(lián)系,不斷完善和擴(kuò)充認(rèn)知結(jié)構(gòu),進(jìn)而對所學(xué)知識形成有廣度、有深度、有邏輯、有意義的結(jié)構(gòu)性認(rèn)知;其二,易于展開持續(xù)探究,通過變式識別與雙向建構(gòu),建立自己的思維框架和思維方式;其三,易于在不斷反思與批判中精致分?jǐn)?shù)概念,確立新的思考方向,形成主動遷移和應(yīng)用的創(chuàng)造能力。
綜上所述,不論是核心知識還是高階思維均是為學(xué)生服務(wù)的,二者與學(xué)科核心素養(yǎng)的表現(xiàn)因子緊密聯(lián)系。高階思維取向下的核心知識教學(xué),就是要讓核心知識成為一顆顆充滿思想的“種子”,著眼于數(shù)學(xué)思想方法和知識內(nèi)在邏輯進(jìn)行整體性設(shè)計(jì),形成縱向連貫、橫向融通的“知識結(jié)構(gòu)”,利于學(xué)生形成結(jié)構(gòu)化思維方式;要將知識置于真實(shí)的問題情境中,并不斷遷移到新的情境中去,實(shí)現(xiàn)相同的方法在其他類似單元、問題中的遷移應(yīng)用,在方法的歸納、遷移、統(tǒng)整中自覺反思、批判,形成強(qiáng)大的遷移能力和靈活的創(chuàng)造能力,提升學(xué)生的綜合思維水平。
在教材內(nèi)容展開過程中,小學(xué)數(shù)學(xué)核心知識往往蘊(yùn)含著反映數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)特征的基本概念、基本原理、基本思想方法、基本關(guān)系、基本問題等,它們相當(dāng)于知識框架與連接點(diǎn),具有“開啟全新的內(nèi)容領(lǐng)域、聯(lián)結(jié)相關(guān)的教學(xué)段落、引領(lǐng)重要的思考方向、促進(jìn)適時(shí)的溝通融合”等獨(dú)特意蘊(yùn)和突出作用,指向的是數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)方法、思維方式,學(xué)科觀念和精神等。然而,在實(shí)際教學(xué)中,無論從教材內(nèi)容解讀、學(xué)科思維方式、教與學(xué)的方式等方面作出的探索和實(shí)踐,未能很好地呼應(yīng)核心知識的價(jià)值和功能。
就核心知識的“核心”要義來看,為了凸顯其價(jià)值和功能,須準(zhǔn)確把握核心知識的本質(zhì)特征及其內(nèi)隱的數(shù)學(xué)思想方法,契合知識間的內(nèi)在聯(lián)系,常常要重構(gòu)內(nèi)容結(jié)構(gòu)。而實(shí)際教學(xué)中,一些教師往往不能深入挖掘知識本質(zhì),無法準(zhǔn)確地以核心知識凝聚教學(xué)內(nèi)容,形成知識結(jié)構(gòu)前延后續(xù)的綜合融通。
既然核心知識的基點(diǎn)和著力點(diǎn)指向于知識結(jié)構(gòu)體系,而知識結(jié)構(gòu)體系又更能對應(yīng)于系統(tǒng)的、多維度的能力和核心素養(yǎng),那么教師在設(shè)計(jì)教學(xué)時(shí)就應(yīng)該基于數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)框架,強(qiáng)調(diào)知識結(jié)構(gòu)、認(rèn)知結(jié)構(gòu)與素養(yǎng)結(jié)構(gòu)的關(guān)聯(lián),思考如何通過問題的引領(lǐng),以及概念的形式、表征與應(yīng)用,實(shí)現(xiàn)核心知識向具有目標(biāo)綜合性、主體多元性以及過程活動性的核心任務(wù)轉(zhuǎn)換。而事實(shí)上,教師在設(shè)計(jì)從核心知識到核心任務(wù)的轉(zhuǎn)化過程時(shí)極易產(chǎn)生行為偏差。
核心知識作為基本概念、基本原理、基本關(guān)系、基本問題一般都是以顯性方式在教材中直接呈現(xiàn),而作為基本思想、基本方法則是以隱性的方式支撐著知識的漸次展開,逐步生成知識的價(jià)值體系,是核心知識的靈魂。如果教師對核心知識的本質(zhì)內(nèi)涵解讀不深入,對其價(jià)值功能的凸顯未做整體性思考,學(xué)生對核心知識的學(xué)習(xí)往往就會只知其然卻不知其所以然,缺失對核心知識學(xué)習(xí)的認(rèn)同感。
在“分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系”學(xué)習(xí)中,分?jǐn)?shù)作為每份量,表示的是一個(gè)絕對的量,而作為相應(yīng)比率,表示的是一個(gè)相對的量?;赝暗膶W(xué)習(xí)經(jīng)歷,學(xué)生對分?jǐn)?shù)的認(rèn)識始于“份數(shù)定義”,無論是三年級上冊還是三年級下冊,乃至五年級下冊例1,學(xué)生對分?jǐn)?shù)的認(rèn)知始終停留在“相對量”的層面。而且,分?jǐn)?shù)的“商定義”本身具有二重性,也就是說既表現(xiàn)為一種操作過程,又表現(xiàn)為一種對象結(jié)果,學(xué)生真正理解分?jǐn)?shù)的“商定義”需要實(shí)現(xiàn)從過程到對象的轉(zhuǎn)變,期間學(xué)生一直會受前期學(xué)習(xí)的影響,對“同樣數(shù)量的物體在不同的單位‘1’中所表示的分?jǐn)?shù)不同”和“同一個(gè)分?jǐn)?shù)在不同的單位‘1’中表示的具體數(shù)量也不同”感到無法認(rèn)同。因此,學(xué)習(xí)這些內(nèi)容時(shí),就需要教師在分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)每一個(gè)階段為學(xué)生瞻前顧后,做好長遠(yuǎn)打算,對知識進(jìn)行整體性設(shè)計(jì),及早預(yù)留知識接口和聯(lián)結(jié)通道。
綜合小學(xué)數(shù)學(xué)核心知識和高階思維的特征,針對前期教學(xué)實(shí)踐中的一些困惑,在這里提出以高階思維作為核心知識教學(xué)的價(jià)值取向,其勢必要著眼于核心知識產(chǎn)出的學(xué)習(xí)效果來組織教學(xué)活動,提倡的是低耗高效的簡約教學(xué)?!昂喖s”不是簡單地壓縮和簡化知識,而是強(qiáng)調(diào)圍繞知識主線,通過對核心知識本質(zhì)內(nèi)涵的深度解讀,精心設(shè)計(jì)一站式核心任務(wù),形成“學(xué)習(xí)序列性任務(wù)支架”,引導(dǎo)學(xué)生在逐步完成任務(wù)中,強(qiáng)化其作為學(xué)習(xí)活動主要責(zé)任人的角色,促其提升學(xué)習(xí)力,獲得思維的不斷進(jìn)階。下文將以“分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系”一課的教學(xué)實(shí)踐加以具體說明。
【教學(xué)片段1】
課始。
師:前面我們研究了分?jǐn)?shù),這三幅圖中的涂色部分讓你想到了哪個(gè)數(shù)?
圖1
課終。
圖2
【教學(xué)片段2】
師:這些餅平均分給4個(gè)小朋友,每人分得總數(shù)的幾分之幾?(課件依次出示三個(gè)小組,每組各4人,第一組分8塊餅、第二組分4塊餅和第三組分1塊餅)
生:不一樣,因?yàn)轱灥目倝K數(shù)不一樣,第一組8÷4,每人分到2塊,第二組4÷4,每人分到1塊。
師:解決這兩個(gè)問題為什么都用除法呢?
生:因?yàn)檫@里面都有平均分,平均分就要用除法。
師:是呀,在平均分的前提下,要求每人分得多少塊,可用總塊數(shù)除以平均分的份數(shù)。
繼續(xù)看第三組的問題(出示例2),這時(shí)每人分得的塊數(shù)還能用整數(shù)來表示嗎?(生齊聲表示不能)
師:這時(shí)每人又分得了多少塊呢?能列式解答嗎?
生:1÷4=0.25(塊)
師:根據(jù)平均分還是用除法,她想到結(jié)果用小數(shù)來表示。還可用其他形式的數(shù)來表示嗎?
師:解釋得很清楚,如果再配以圖說明就更加一目了然了。
【教學(xué)片段3】
1. 動手操作,形成經(jīng)驗(yàn)
出示例題3分餅問題,引導(dǎo)學(xué)生嘗試列式并初步對結(jié)果進(jìn)行猜測,并操作驗(yàn)證。
師:通過研究,每人分到了多少塊餅?
師:他采用了每次分一塊餅的做法研究問題,哪一小組還有不一樣的做法要展示呢?
圖3
課件動態(tài)展示如圖3所示的每一種分法,教師再次梳理。
2. 想象操作,完善思考
師:分餅活動中還有個(gè)小組碰到了特殊問題,因?yàn)樗麄兘M有5個(gè)人——把3塊餅平均分給5個(gè)小朋友,每人分得多少塊餅?
師:同意嗎?(生紛紛表示同意)怎么來說明你們的結(jié)果是合理的?
生:用圓片驗(yàn)證。
師:圓片剛剛都用完了。怎么辦?(生有的表示要剪,有的表示要畫)其實(shí)咱們雖然沒了圓片,但卻有了前一次分餅的經(jīng)驗(yàn),借助于經(jīng)驗(yàn)同樣可以完成驗(yàn)證。想試試嗎?(生點(diǎn)頭)
展示要求:請大家看著屏幕上的三塊餅,選擇前面使用的一種分餅方法,在頭腦中分一分進(jìn)行驗(yàn)證,想好后,同桌之間互相交流一下。
師:想象出來的驗(yàn)證過程,厲害了,現(xiàn)實(shí)版的最強(qiáng)大腦。照這樣繼續(xù)想下去,4塊餅平均分給7個(gè)小朋友,每人分得幾塊餅?5塊餅平均分給9個(gè)人呢?
盡管本節(jié)課的重點(diǎn)是分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系,但著眼點(diǎn)不能僅停留于關(guān)系的揭示,關(guān)鍵是應(yīng)引領(lǐng)學(xué)生通過探究關(guān)系的數(shù)學(xué)活動,理解分?jǐn)?shù)可以看作除法結(jié)果的這種商定義的合理性,挖掘其深廣度,活化對新知的理解。為此,教師利用實(shí)物、操作、圖像、語言、符號等,讓學(xué)生充分表達(dá)對這一定義的理解和感悟:首先是通過分餅的實(shí)際操作經(jīng)歷了用分?jǐn)?shù)表示商的過程,體會了為什么除法算式的結(jié)果可以用分?jǐn)?shù)表示,接著從實(shí)際操作轉(zhuǎn)為心理操作,并適時(shí)對操作環(huán)節(jié)進(jìn)行反思回顧、比較討論、抽象概括,學(xué)生有序地經(jīng)歷動作表征、圖像表征直至符號表征的過程,由此對分?jǐn)?shù)“商定義”的認(rèn)識才真正實(shí)現(xiàn)從“過程”到“對象”的轉(zhuǎn)變,實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)概念在原有基礎(chǔ)上創(chuàng)生和發(fā)展,促進(jìn)了思維的獨(dú)創(chuàng)性。
【教學(xué)片段4】
1. 解決問題,加深理解(三組分繩題略)
2. 引導(dǎo)比較,溝通聯(lián)系
圖4
生:第一次分的是1米,第二次分了2米,第三次分了3米,分的米數(shù)不一樣,所以每份的米數(shù)也不同。
3. 提升思考,積累經(jīng)驗(yàn)
圖5
圖6
圖7
實(shí)踐證明,通過探究、建構(gòu)、理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)“核心知識”,學(xué)生能更好地完善認(rèn)知結(jié)構(gòu),從而加深對數(shù)學(xué)的理解,改善學(xué)習(xí)狀態(tài),培養(yǎng)創(chuàng)新精神,提升學(xué)科素養(yǎng)。如此,作為一線的教育工作者,我們應(yīng)積極實(shí)踐核心知識的教學(xué),從而真正促進(jìn)學(xué)生思維向高階邁進(jìn)。