高階思維取向下小學(xué)數(shù)學(xué)核心知識的教學(xué)實(shí)踐
——以“分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系”的教學(xué)為例

王燕濤

(江蘇省宜興市官林實(shí)驗(yàn)小學(xué)，江蘇 宜興 214200)

數(shù)學(xué)學(xué)科高度的抽象性和嚴(yán)密的邏輯性，使其在培養(yǎng)學(xué)生的思維能力方面具有天然的優(yōu)勢。而無論從數(shù)學(xué)知識的靜態(tài)呈現(xiàn)還是動態(tài)“發(fā)生”的角度看，沒有和思維無關(guān)的知識，也沒有離開知識的思維。可以說，思維是知識內(nèi)化于心的特殊能力，既源于知識又超越知識。鄭毓信教授也指出，數(shù)學(xué)知識應(yīng)該被看成是數(shù)學(xué)思維的載體，因?yàn)橹挥幸詳?shù)學(xué)思維的分析帶動具體知識內(nèi)容的教學(xué)，我們才能感受到數(shù)學(xué)思維的力量，更能通過具體數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)逐步學(xué)會數(shù)學(xué)的思維(1)鄭毓信：《小學(xué)數(shù)學(xué)教育的理論與實(shí)踐》，華東師范大學(xué)出版社2017年版。。因此，從數(shù)學(xué)知識中精選核心知識作為思維加工的材料，生成結(jié)構(gòu)聯(lián)結(jié)，形成以高階思維為取向的核心知識教學(xué)，對學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升大有裨益。

一、 釋義：核心知識與高階思維

(一) 核心知識

小學(xué)數(shù)學(xué)核心知識是指小學(xué)數(shù)學(xué)課程中那些處于基礎(chǔ)、主干和關(guān)鍵地位，適用和遷移范圍廣的數(shù)學(xué)知識，這些核心知識在知識體系和發(fā)展中具有內(nèi)在邏輯的連貫性和本質(zhì)內(nèi)涵的一致性，具有很強(qiáng)的生發(fā)、吸附、統(tǒng)攝、解釋和應(yīng)用功能(2)魏光明：《小學(xué)數(shù)學(xué)核心知識教學(xué)探索》，《教育視界》2021年第35期，第37-40頁。。它們具有統(tǒng)攝性，是一個(gè)教學(xué)活動的基軸與焦點(diǎn)，能把零碎的課堂知識串聯(lián)起來，使之融為一體、有機(jī)關(guān)聯(lián)；它們具有內(nèi)核性，是教學(xué)知識單元的細(xì)胞核；它們具有衍生性，是最具活性的一種知識類型，是一切其他課堂知識得以生發(fā)與依附的主根(3)龍寶新：《走向核心知識教學(xué):高效課堂教學(xué)的時(shí)代意蘊(yùn)》，《全球教育展望》2012年第3期，第19-24頁。。它們是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的主要載體。

分?jǐn)?shù)作為一個(gè)兼具多重意義的數(shù)學(xué)基本概念，就小學(xué)階段而言，側(cè)重從三個(gè)維度研究：一是基于份數(shù)定義，也就是把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的1份或幾份的數(shù)；二是基于商定義，也就是整數(shù)m除以整數(shù)n的商(n≠0)；三是基于比定義，也就是整數(shù)m與n之比(n≠0)(4)王燕濤：《著眼整體 分析比較 改進(jìn)教學(xué)》，《小學(xué)數(shù)學(xué)教育》2019年第22期，第4-7頁。。由此可見，在小學(xué)階段學(xué)生理解和建立完整的分?jǐn)?shù)概念的過程中，分?jǐn)?shù)的商定義即“分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系”，前接分?jǐn)?shù)的份數(shù)定義，后續(xù)分?jǐn)?shù)的比定義，是實(shí)現(xiàn)知識推進(jìn)并處于知識發(fā)展的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)處的核心知識，具體表現(xiàn)為：其一，它是將分?jǐn)?shù)從直觀認(rèn)識上升到理性認(rèn)識的橋梁；其二，它是將分?jǐn)?shù)從“相對量”的概念拓展到“數(shù)”的概念的重要平臺；其三，它是作為“部分——整體”關(guān)系拓展到“兩量之比”的紐帶。

(二) 高階思維

思維一直是教育研究的熱點(diǎn)問題之一，國內(nèi)外許多學(xué)者對其內(nèi)涵與本質(zhì)從不同角度進(jìn)行了詮釋。美國教育家布魯姆依據(jù)認(rèn)知水平的復(fù)雜程度的遞增原則，將思維過程具體化為六個(gè)教學(xué)目標(biāo)，其中識記、理解、應(yīng)用視為低階思維，而后三個(gè)認(rèn)知水平“分析、評價(jià)、創(chuàng)造”被視為高階思維(5)龍寶新：《走向核心知識教學(xué):高效課堂教學(xué)的時(shí)代意蘊(yùn)》，《全球教育展望》2012年第3期，第19-24頁。。我國江西師范大學(xué)鐘志賢教授則進(jìn)一步指出高階思維是高階能力的核心，主要指創(chuàng)新能力、問題求解能力、決策力和批判性思維能力(6)王燕濤：《著眼整體 分析比較 改進(jìn)教學(xué)》，《小學(xué)數(shù)學(xué)教育》2019年第22期，第4-7頁。。基于以上認(rèn)知，小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科中的高階思維，可以理解為面對主要知識領(lǐng)域(數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計(jì)與概率)，在認(rèn)知方面具有完善的知識結(jié)構(gòu)、良好的符號意識和空間觀念，較強(qiáng)的推理能力和數(shù)據(jù)分析能力；在思維品質(zhì)方面具有高度的靈活性、深刻的邏輯性、準(zhǔn)確的直覺性、有意識的批判性、豐富的獨(dú)創(chuàng)性。

根據(jù)蘇教版教材的編排，在認(rèn)識分?jǐn)?shù)的份數(shù)定義后緊接著學(xué)習(xí)“分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系”，有助于學(xué)生主動“創(chuàng)生”和“聯(lián)結(jié)”，形成科學(xué)的認(rèn)知方式和高階思維模型：其一，易于與原有知識建立廣泛聯(lián)系，不斷完善和擴(kuò)充認(rèn)知結(jié)構(gòu)，進(jìn)而對所學(xué)知識形成有廣度、有深度、有邏輯、有意義的結(jié)構(gòu)性認(rèn)知；其二，易于展開持續(xù)探究，通過變式識別與雙向建構(gòu)，建立自己的思維框架和思維方式；其三，易于在不斷反思與批判中精致分?jǐn)?shù)概念，確立新的思考方向，形成主動遷移和應(yīng)用的創(chuàng)造能力。

綜上所述，不論是核心知識還是高階思維均是為學(xué)生服務(wù)的，二者與學(xué)科核心素養(yǎng)的表現(xiàn)因子緊密聯(lián)系。高階思維取向下的核心知識教學(xué)，就是要讓核心知識成為一顆顆充滿思想的“種子”，著眼于數(shù)學(xué)思想方法和知識內(nèi)在邏輯進(jìn)行整體性設(shè)計(jì)，形成縱向連貫、橫向融通的“知識結(jié)構(gòu)”，利于學(xué)生形成結(jié)構(gòu)化思維方式；要將知識置于真實(shí)的問題情境中，并不斷遷移到新的情境中去，實(shí)現(xiàn)相同的方法在其他類似單元、問題中的遷移應(yīng)用，在方法的歸納、遷移、統(tǒng)整中自覺反思、批判，形成強(qiáng)大的遷移能力和靈活的創(chuàng)造能力，提升學(xué)生的綜合思維水平。

二、 思考：核心知識教學(xué)之困

在教材內(nèi)容展開過程中，小學(xué)數(shù)學(xué)核心知識往往蘊(yùn)含著反映數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)特征的基本概念、基本原理、基本思想方法、基本關(guān)系、基本問題等，它們相當(dāng)于知識框架與連接點(diǎn)，具有“開啟全新的內(nèi)容領(lǐng)域、聯(lián)結(jié)相關(guān)的教學(xué)段落、引領(lǐng)重要的思考方向、促進(jìn)適時(shí)的溝通融合”等獨(dú)特意蘊(yùn)和突出作用，指向的是數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)方法、思維方式，學(xué)科觀念和精神等。然而，在實(shí)際教學(xué)中，無論從教材內(nèi)容解讀、學(xué)科思維方式、教與學(xué)的方式等方面作出的探索和實(shí)踐，未能很好地呼應(yīng)核心知識的價(jià)值和功能。

(一) 教師之困：對核心知識的理解缺乏深度

就核心知識的“核心”要義來看，為了凸顯其價(jià)值和功能，須準(zhǔn)確把握核心知識的本質(zhì)特征及其內(nèi)隱的數(shù)學(xué)思想方法，契合知識間的內(nèi)在聯(lián)系，常常要重構(gòu)內(nèi)容結(jié)構(gòu)。而實(shí)際教學(xué)中，一些教師往往不能深入挖掘知識本質(zhì)，無法準(zhǔn)確地以核心知識凝聚教學(xué)內(nèi)容，形成知識結(jié)構(gòu)前延后續(xù)的綜合融通。

(二) 教學(xué)之困：對核心知識的教學(xué)缺乏有效設(shè)計(jì)

既然核心知識的基點(diǎn)和著力點(diǎn)指向于知識結(jié)構(gòu)體系，而知識結(jié)構(gòu)體系又更能對應(yīng)于系統(tǒng)的、多維度的能力和核心素養(yǎng)，那么教師在設(shè)計(jì)教學(xué)時(shí)就應(yīng)該基于數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)框架，強(qiáng)調(diào)知識結(jié)構(gòu)、認(rèn)知結(jié)構(gòu)與素養(yǎng)結(jié)構(gòu)的關(guān)聯(lián)，思考如何通過問題的引領(lǐng)，以及概念的形式、表征與應(yīng)用，實(shí)現(xiàn)核心知識向具有目標(biāo)綜合性、主體多元性以及過程活動性的核心任務(wù)轉(zhuǎn)換。而事實(shí)上，教師在設(shè)計(jì)從核心知識到核心任務(wù)的轉(zhuǎn)化過程時(shí)極易產(chǎn)生行為偏差。

(三) 學(xué)生之困：對核心知識的學(xué)習(xí)缺少認(rèn)同

核心知識作為基本概念、基本原理、基本關(guān)系、基本問題一般都是以顯性方式在教材中直接呈現(xiàn)，而作為基本思想、基本方法則是以隱性的方式支撐著知識的漸次展開，逐步生成知識的價(jià)值體系，是核心知識的靈魂。如果教師對核心知識的本質(zhì)內(nèi)涵解讀不深入，對其價(jià)值功能的凸顯未做整體性思考，學(xué)生對核心知識的學(xué)習(xí)往往就會只知其然卻不知其所以然，缺失對核心知識學(xué)習(xí)的認(rèn)同感。

在“分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系”學(xué)習(xí)中，分?jǐn)?shù)作為每份量，表示的是一個(gè)絕對的量，而作為相應(yīng)比率，表示的是一個(gè)相對的量?；赝暗膶W(xué)習(xí)經(jīng)歷，學(xué)生對分?jǐn)?shù)的認(rèn)識始于“份數(shù)定義”，無論是三年級上冊還是三年級下冊，乃至五年級下冊例1，學(xué)生對分?jǐn)?shù)的認(rèn)知始終停留在“相對量”的層面。而且，分?jǐn)?shù)的“商定義”本身具有二重性，也就是說既表現(xiàn)為一種操作過程，又表現(xiàn)為一種對象結(jié)果，學(xué)生真正理解分?jǐn)?shù)的“商定義”需要實(shí)現(xiàn)從過程到對象的轉(zhuǎn)變，期間學(xué)生一直會受前期學(xué)習(xí)的影響，對“同樣數(shù)量的物體在不同的單位‘1’中所表示的分?jǐn)?shù)不同”和“同一個(gè)分?jǐn)?shù)在不同的單位‘1’中表示的具體數(shù)量也不同”感到無法認(rèn)同。因此，學(xué)習(xí)這些內(nèi)容時(shí)，就需要教師在分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)每一個(gè)階段為學(xué)生瞻前顧后，做好長遠(yuǎn)打算，對知識進(jìn)行整體性設(shè)計(jì)，及早預(yù)留知識接口和聯(lián)結(jié)通道。

三、 實(shí)踐：簡約詳“核”，思維進(jìn)階

綜合小學(xué)數(shù)學(xué)核心知識和高階思維的特征，針對前期教學(xué)實(shí)踐中的一些困惑，在這里提出以高階思維作為核心知識教學(xué)的價(jià)值取向，其勢必要著眼于核心知識產(chǎn)出的學(xué)習(xí)效果來組織教學(xué)活動，提倡的是低耗高效的簡約教學(xué)?！昂喖s”不是簡單地壓縮和簡化知識，而是強(qiáng)調(diào)圍繞知識主線，通過對核心知識本質(zhì)內(nèi)涵的深度解讀，精心設(shè)計(jì)一站式核心任務(wù)，形成“學(xué)習(xí)序列性任務(wù)支架”，引導(dǎo)學(xué)生在逐步完成任務(wù)中，強(qiáng)化其作為學(xué)習(xí)活動主要責(zé)任人的角色，促其提升學(xué)習(xí)力，獲得思維的不斷進(jìn)階。下文將以“分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系”一課的教學(xué)實(shí)踐加以具體說明。

(一) 聚點(diǎn)構(gòu)架完善認(rèn)知，加強(qiáng)思維的深刻性

【教學(xué)片段1】

課始。

師：前面我們研究了分?jǐn)?shù)，這三幅圖中的涂色部分讓你想到了哪個(gè)數(shù)？

圖1

課終。

圖2

(二) 注重關(guān)聯(lián)搭建支架，提升思維的邏輯性

【教學(xué)片段2】

師：這些餅平均分給4個(gè)小朋友，每人分得總數(shù)的幾分之幾？(課件依次出示三個(gè)小組，每組各4人，第一組分8塊餅、第二組分4塊餅和第三組分1塊餅)

生：不一樣，因?yàn)轱灥目倝K數(shù)不一樣，第一組8÷4，每人分到2塊，第二組4÷4，每人分到1塊。

師：解決這兩個(gè)問題為什么都用除法呢？

生：因?yàn)檫@里面都有平均分，平均分就要用除法。

師：是呀，在平均分的前提下，要求每人分得多少塊，可用總塊數(shù)除以平均分的份數(shù)。

繼續(xù)看第三組的問題(出示例2)，這時(shí)每人分得的塊數(shù)還能用整數(shù)來表示嗎？(生齊聲表示不能)

師：這時(shí)每人又分得了多少塊呢？能列式解答嗎？

生：1÷4=0.25(塊)

師：根據(jù)平均分還是用除法，她想到結(jié)果用小數(shù)來表示。還可用其他形式的數(shù)來表示嗎？

師：解釋得很清楚，如果再配以圖說明就更加一目了然了。

(三) 多元表征核心知識，促進(jìn)思維的獨(dú)創(chuàng)性

【教學(xué)片段3】

1. 動手操作，形成經(jīng)驗(yàn)

出示例題3分餅問題，引導(dǎo)學(xué)生嘗試列式并初步對結(jié)果進(jìn)行猜測，并操作驗(yàn)證。

師：通過研究，每人分到了多少塊餅？

師：他采用了每次分一塊餅的做法研究問題，哪一小組還有不一樣的做法要展示呢？

圖3

課件動態(tài)展示如圖3所示的每一種分法，教師再次梳理。

2. 想象操作，完善思考

師：分餅活動中還有個(gè)小組碰到了特殊問題，因?yàn)樗麄兘M有5個(gè)人——把3塊餅平均分給5個(gè)小朋友，每人分得多少塊餅？

師：同意嗎？(生紛紛表示同意)怎么來說明你們的結(jié)果是合理的？

生：用圓片驗(yàn)證。

師：圓片剛剛都用完了。怎么辦？(生有的表示要剪，有的表示要畫)其實(shí)咱們雖然沒了圓片，但卻有了前一次分餅的經(jīng)驗(yàn)，借助于經(jīng)驗(yàn)同樣可以完成驗(yàn)證。想試試嗎？(生點(diǎn)頭)

展示要求：請大家看著屏幕上的三塊餅，選擇前面使用的一種分餅方法，在頭腦中分一分進(jìn)行驗(yàn)證，想好后，同桌之間互相交流一下。

師：想象出來的驗(yàn)證過程，厲害了，現(xiàn)實(shí)版的最強(qiáng)大腦。照這樣繼續(xù)想下去，4塊餅平均分給7個(gè)小朋友，每人分得幾塊餅？5塊餅平均分給9個(gè)人呢？

盡管本節(jié)課的重點(diǎn)是分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，但著眼點(diǎn)不能僅停留于關(guān)系的揭示，關(guān)鍵是應(yīng)引領(lǐng)學(xué)生通過探究關(guān)系的數(shù)學(xué)活動，理解分?jǐn)?shù)可以看作除法結(jié)果的這種商定義的合理性，挖掘其深廣度，活化對新知的理解。為此，教師利用實(shí)物、操作、圖像、語言、符號等，讓學(xué)生充分表達(dá)對這一定義的理解和感悟：首先是通過分餅的實(shí)際操作經(jīng)歷了用分?jǐn)?shù)表示商的過程，體會了為什么除法算式的結(jié)果可以用分?jǐn)?shù)表示，接著從實(shí)際操作轉(zhuǎn)為心理操作，并適時(shí)對操作環(huán)節(jié)進(jìn)行反思回顧、比較討論、抽象概括，學(xué)生有序地經(jīng)歷動作表征、圖像表征直至符號表征的過程，由此對分?jǐn)?shù)“商定義”的認(rèn)識才真正實(shí)現(xiàn)從“過程”到“對象”的轉(zhuǎn)變，實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)概念在原有基礎(chǔ)上創(chuàng)生和發(fā)展，促進(jìn)了思維的獨(dú)創(chuàng)性。

(四) 打通核心知識要義，注重思維的批判性

【教學(xué)片段4】

1. 解決問題，加深理解(三組分繩題略)

2. 引導(dǎo)比較，溝通聯(lián)系

圖4

生：第一次分的是1米，第二次分了2米，第三次分了3米，分的米數(shù)不一樣，所以每份的米數(shù)也不同。

3. 提升思考，積累經(jīng)驗(yàn)

圖5

圖6

圖7

實(shí)踐證明，通過探究、建構(gòu)、理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)“核心知識”，學(xué)生能更好地完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)，從而加深對數(shù)學(xué)的理解，改善學(xué)習(xí)狀態(tài)，培養(yǎng)創(chuàng)新精神，提升學(xué)科素養(yǎng)。如此，作為一線的教育工作者，我們應(yīng)積極實(shí)踐核心知識的教學(xué)，從而真正促進(jìn)學(xué)生思維向高階邁進(jìn)。