概率問題常見典型考題賞析

■朱云飛

概率是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,也是高考的必考內(nèi)容。高考主要考查隨機(jī)事件與概率,考查事件的相互獨(dú)立性以及概率與頻率等。下面就概率問題常見典型考題進(jìn)行舉例分析,供大家學(xué)習(xí)與提高。

題型1:隨機(jī)事件的表示

理解隨機(jī)現(xiàn)象、樣本點(diǎn)和樣本空間的概念,理解隨機(jī)事件的概念,在實(shí)際問題中,能正確求出事件包含的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù),并會(huì)寫出相應(yīng)的樣本空間。

例1 拋擲紅、藍(lán)兩枚骰子的試驗(yàn),用(x,y)表示結(jié)果,其中x表示紅色骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù),y表示藍(lán)色骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)。

(1)寫出這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間。

(2)寫出這個(gè)試驗(yàn)的結(jié)果的個(gè)數(shù)。

(3)指出事件A={(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)}的含義。

(4)寫出“點(diǎn)數(shù)之和大于8”這一事件的集合表示。

解:(1)這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間Ω為{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}。

(2)這個(gè)試驗(yàn)的結(jié)果的個(gè)數(shù)為36。

(3)事件A的含義為拋擲紅、藍(lán)兩枚骰子,擲出的點(diǎn)數(shù)之和為7。

(4)記事件B=“點(diǎn)數(shù)之和大于8”,則B={(3,6),(4,5),(4,6),(5,4),(5,5),(5,6),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}。

題型2:隨機(jī)事件的含義

解答此類問題,應(yīng)先理解事件中樣本點(diǎn)的意義,再觀察事件中樣本點(diǎn)的規(guī)律,才能確定隨機(jī)事件的含義。

例2 柜子里有3雙不同的鞋,隨機(jī)抽取2只,用A1,A2,B1,B2,C1,C2分別表示3雙不同的鞋,其中下標(biāo)為奇數(shù)表示左腳,下標(biāo)為偶數(shù)表示右腳。指出下列隨機(jī)事件的含義。

(1)事 件M= {A1B1,A1B2,A1C1,A1C2,A2B1,A2B2,A2C1,A2C2,B1C1,B1C2,B2C1,B2C2}。

(2)事件N={A1B1,B1C1,A1C1}。

(3)事件P= {A1B2,A1C2,A2B1,A2C1,B1C2,B2C1}。

解:(1)事件M的含義是“從3雙不同鞋中隨機(jī)抽取2只,取出的2只鞋不成雙”。

(2)事件N的含義是“從3 雙不同鞋中隨機(jī)抽取2只,取出的2只鞋都是左腳”。

(3)事件P的含義是“從3 雙不同鞋中隨機(jī)抽取2只,取到的鞋一只是左腳,一只是右腳,但不成雙”。

題型3:事件的運(yùn)算

事件的運(yùn)算應(yīng)注意的兩個(gè)問題:一是要緊扣運(yùn)算的定義,二是要全面列舉同一條件下的試驗(yàn)可能出現(xiàn)的全部結(jié)果,必要時(shí)可利用Venn圖或列出全部的試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析。在一些比較簡單的題目中,需要判斷事件之間的關(guān)系時(shí),可以根據(jù)常識(shí)來判斷。如果遇到比較復(fù)雜的題目,需要嚴(yán)格按照事件之間關(guān)系的定義來推理。

例3 在擲骰子的試驗(yàn)中,可以定義許多事件。例如,事件C1={出現(xiàn)1 點(diǎn)},事件C2={出現(xiàn)2 點(diǎn)},事件C3={出現(xiàn)3 點(diǎn)},事件C4={出現(xiàn)4點(diǎn)},事件C5={出現(xiàn)5點(diǎn)},事件C6={出現(xiàn)6點(diǎn)},事件D1={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不大于1},事件D2={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于3},事件D3={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于5},事件E={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于7},事件F={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)},事件G={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)}。根據(jù)上述定義的事件,回答下列問題。

(1)請列舉出符合包含關(guān)系、相等關(guān)系的事件。

(2)利用和事件的定義,判斷上述哪些事件是和事件。

解:(1)事件C1,C2,C3,C4發(fā)生,則事件D3必發(fā)生,所以C1?D3,C2?D3,C3?D3,C4?D3。

同理可得:事件E包含事件C1,C2,C3,C4,C5,C6;事件D2包含事件C4,C5,C6;事件F包含事件C2,C4,C6;事件G包含事件C1,C3,C5。

易知事件C1與事件D1相等,即事件C1=D1。

(2)因?yàn)槭录﨑2={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于3}={出現(xiàn)4點(diǎn)或出現(xiàn)5 點(diǎn)或出現(xiàn)6 點(diǎn)},所以D2=C4∪C5∪C6(或D2=C4+C5+C6)。同理可得:D3=C1∪C2∪C3∪C4,E=C1∪C2∪C3∪C4∪C5∪C6,F=C2∪C4∪C6,G=C1∪C3∪C5。

題型4:互斥事件與對(duì)立事件

互斥事件與對(duì)立事件的判斷是針對(duì)兩個(gè)事件而言的。一次試驗(yàn)中,兩個(gè)互斥事件有可能都不發(fā)生,也可能有一個(gè)發(fā)生,但不可能兩個(gè)都發(fā)生;兩個(gè)對(duì)立事件必有一個(gè)發(fā)生,但是不可能兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生,也不可能兩個(gè)事件同時(shí)不發(fā)生。所以兩個(gè)事件互斥,它們未必對(duì)立;反之,兩個(gè)事件對(duì)立,它們一定互斥。

例4 某縣城有甲、乙兩種報(bào)紙供居民訂閱,記事件A為“只訂甲報(bào)”,事件B為“至少訂一種報(bào)紙”,事件C為“至多訂一種報(bào)紙”,事件D為“不訂甲報(bào)”,事件E為“一種報(bào)紙也不訂”。判斷下列每組事件是不是互斥事件;如果是,再判斷它們是不是對(duì)立事件。

(1)A與C;(2)B與E;(3)B與D;(4)B與C;(5)C與E。

解:(1)由于事件C“至多訂一種報(bào)紙”中包括“只訂甲報(bào)”,即事件A與事件C有可能同時(shí)發(fā)生,故A與C不是互斥事件。

(2)事件B“至少訂一種報(bào)紙”與事件E“一種報(bào)紙也不訂”是不可能同時(shí)發(fā)生的,故B與E是互斥事件。又事件B與事件E必有一個(gè)發(fā)生,故B與E是對(duì)立事件。

(3)事件B“至少訂一種報(bào)紙”中包括“只訂乙報(bào)”,即有可能“不訂甲報(bào)”,也就是說事件B和事件D有可能同時(shí)發(fā)生,故B與D不是互斥事件。

(4)事件B“至少訂一種報(bào)紙”中的可能情況為“只訂甲報(bào)”“只訂乙報(bào)”“訂甲、乙兩種報(bào)”。事件C“至多訂一種報(bào)紙”中的可能情況為“一種報(bào)紙也不訂”“只訂甲報(bào)”“只訂乙報(bào)”。也就是說事件B與事件C可能同時(shí)發(fā)生,故B與C不是互斥事件。

(5)由(4)的分析知,事件E“一種報(bào)紙也不訂”是事件C中的一種可能情況,所以事件C與事件E可能同時(shí)發(fā)生,故C與E不是互斥事件。

題型5:古典概型

解古典概型問題時(shí),要牢牢抓住它的兩個(gè)特點(diǎn)和計(jì)算公式。這類問題的解法多樣,技巧性強(qiáng),解題時(shí)需要注意兩個(gè)問題:試驗(yàn)必須具有古典概型的兩大特征,即有限性和等可能性;計(jì)算基本事件個(gè)數(shù)時(shí),要做到不重不漏,可借助坐標(biāo)系、表格或樹狀圖等列出所有基本事件。

例5 同時(shí)投擲兩個(gè)骰子,向上的點(diǎn)數(shù)分別記為a,b,則方程2x2+ax+b=0有兩個(gè)不等實(shí)根的概率為( )。

解:因?yàn)榉匠?x2+ax+b=0有兩個(gè)不等實(shí)根,所以Δ=a2-8b>0。

同時(shí)投擲兩個(gè)骰子,向上的點(diǎn)數(shù)分別記為a,b,則共包含36個(gè)樣本點(diǎn)。

題型6:概率的基本性質(zhì)

當(dāng)事件A與B互斥(A∩B=?)時(shí),P(A∪B)=P(A)+P(B),這稱為互斥事件的概率加法公式。一般地,如果A1,A2,…,Am是兩兩互斥的事件,則P(A1∪A2∪…∪Am)=P(A1)+P(A2)+…+P(Am)。若A,B為對(duì)立事件,則P(A)=1-P(B)。求復(fù)雜事件的概率的兩種方法:將所求事件轉(zhuǎn)化成彼此互斥事件的并事件;先求其對(duì)立事件的概率,再求所求事件的概率。

解:設(shè)“從中任意取出2 粒都是黑子”為事件A,“從中任意取出2 粒都是白子”為事件B,“從中任意取出2 粒恰好是同一色”為事件C,則C=A∪B,且事件A與B互斥。

題型7:相互獨(dú)立事件的判斷

對(duì)于事件A,B,若滿足P(A∩B)=P(AB)=P(A)P(B),則稱事件A,B相互獨(dú)立,簡稱A,B獨(dú)立。所謂獨(dú)立事件就是某事件發(fā)生的概率與其他任何事件都無關(guān),用集合的概念解釋即集合之內(nèi)所有事件發(fā)生的可能性范圍互不相交。通過式子P(AB)=P(A)P(B)來判斷兩個(gè)事件是否獨(dú)立,若上式成立,則事件A,B相互獨(dú)立,這也是定量判斷。

例7 一個(gè)家庭中有若干個(gè)小孩,假定生男孩和生女孩是等可能的,令事件A={一個(gè)家庭中既有男孩又有女孩},B={一個(gè)家庭中最多有一個(gè)女孩}。對(duì)下述兩種情形,討論事件A與B的獨(dú)立性。

(1)家庭中有兩個(gè)小孩。

(2)家庭中有三個(gè)小孩。

由此可知,P(AB)≠P(A)P(B),所以事件A,B不相互獨(dú)立。

(2)有三個(gè)小孩的家庭,男孩、女孩的所有可能情形為Ω={(男,男,男),(男,男,女),(男,女,男),(男,女,女),(女,男,男),(女,男,女),(女,女,男),(女,女,女)},即8個(gè)基本事件。

題型8:相互獨(dú)立事件概率的綜合應(yīng)用

求較復(fù)雜事件概率的方法:列出題中涉及的各事件,用適當(dāng)?shù)姆?hào)表示;弄清事件之間的關(guān)系(兩事件是互斥還是對(duì)立,或是相互獨(dú)立),列出關(guān)系式;根據(jù)事件之間的關(guān)系,準(zhǔn)確選取概率公式進(jìn)行計(jì)算。當(dāng)直接計(jì)算符合條件的事件的概率較復(fù)雜時(shí),可先間接計(jì)算對(duì)立事件的概率,再求出符合條件的事件的概率。

因?yàn)镻(C)>P(B)>P(A),所以丙獲得合格證書的可能性最大。

題型9:頻率與概率的關(guān)系

在實(shí)際問題中,常用事件發(fā)生的頻率作為概率的估計(jì)值。在用頻率估計(jì)概率時(shí),要注意試驗(yàn)次數(shù)n不能太小,只有當(dāng)n很大時(shí),頻率才會(huì)呈現(xiàn)出規(guī)律性,即在某個(gè)常數(shù)附近波動(dòng),且這個(gè)常數(shù)就是概率。

例9 某公司在過去幾年內(nèi)使用某種型號(hào)的燈管1000支,該公司對(duì)這些燈管的使用壽命(單位:h)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表1所示。

表1

(1)求各組的頻率。

(2)根據(jù)上述統(tǒng)計(jì)結(jié)果,估計(jì)燈管使用壽命不足1500h的概率。

解:(1)由表可知頻率依次是0.048,0.121,0.208,0.223,0.193,0.165,0.042。

題型10:隨機(jī)模擬法估計(jì)概率

隨機(jī)數(shù)模擬試驗(yàn)估計(jì)概率時(shí),先要確定隨機(jī)數(shù)的范圍和用哪些數(shù)代表不同的試驗(yàn)結(jié)果?？梢詮囊韵氯齻€(gè)方面考慮:當(dāng)試驗(yàn)的樣本點(diǎn)等可能時(shí),樣本點(diǎn)總數(shù)即為產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的范圍,每個(gè)隨機(jī)數(shù)代表一個(gè)樣本點(diǎn);研究等可能事件的概率時(shí),用按比例分配的方法確定表示各個(gè)結(jié)果的數(shù)字個(gè)數(shù)及總個(gè)數(shù);當(dāng)每次試驗(yàn)結(jié)果需要n個(gè)隨機(jī)數(shù)表示時(shí),要把n個(gè)隨機(jī)數(shù)作為一組來處理,此時(shí)一定要注意每組中的隨機(jī)數(shù)字能否重復(fù)。

例10 某種心臟手術(shù),成功率為0.6,現(xiàn)采用隨機(jī)模擬方法估計(jì)“3 例心臟手術(shù)全部成功”的概率。先利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生0～9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù),由于成功率是0.6,故我們用0,1,2,3 表示手術(shù)不成功,4,5,6,7,8,9 表示手術(shù)成功;再以每3 個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組,作為3 例手術(shù)的結(jié)果。經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生如下10組隨機(jī)數(shù):812,832,569,683,271,989,730,537,925,907。

由此估計(jì)“3例心臟手術(shù)全部成功”的概率為( )。

A.0.2 B.0.3

C.0.4 D.0.5