2021 年高考“古典概型與幾何概型”問題聚焦

■何 煒 劉大鳴(特級教師)

古典概型與幾何概型是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一,也是新高考的必考內(nèi)容。古典概型的基本事件都是有限的,其概率等于事件所包含的基本事件個數(shù)除以總的基本事件個數(shù)。幾何概型的基本事件通常不可計(jì)數(shù),只能通過一定的測度,如長度,面積,體積的比值來表示。下面聚焦2021年高考“古典概型與幾何概型”問題,希望對同學(xué)們的學(xué)習(xí)有所幫助。

一、利用枚舉法計(jì)數(shù),構(gòu)建古典概型求概率

例1 (2021年高考全國卷) 將3個1和2個0隨機(jī)排成一行,則2個0不相鄰的概率為( )。

A.0.3 B.0.5 C.0.6 D.0.8

解:用枚舉法排列計(jì)數(shù),用古典概型公式計(jì)算概率。

素養(yǎng):求古典概型概率的關(guān)鍵是求試驗(yàn)的基本事件的總數(shù)和事件A包含的基本事件的個數(shù),這就需要正確列出基本事件,基本事件的主要表示方法有列舉法、列表法和樹狀圖法。解答本題的關(guān)鍵是正確計(jì)數(shù),注意3個1和2個0分別為相同元素,不要誤用排列計(jì)數(shù)。

二、復(fù)雜事件的概率借助“互斥事件合理分類,相互獨(dú)立事件分步”求解

例2 (2021年新高考全國卷)有6個相同的球,分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6,從中有放回地隨機(jī)取兩次,每次取1個球,甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”,丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”,丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”,則( )。

A.甲與丙相互獨(dú)立

B.甲與丁相互獨(dú)立

C.乙與丙相互獨(dú)立

D.丙與丁相互獨(dú)立

解:弄清甲、乙、丙、丁事件的意義,再分別計(jì)算概率進(jìn)行判斷。

素養(yǎng):本題涉及相互獨(dú)立事件的判斷?！蔼?dú)立”與“互斥”的區(qū)別:兩事件互斥是指兩個事件不可能同時發(fā)生,兩事件相互獨(dú)立是指一個事件發(fā)生與否對另一事件發(fā)生的概率沒有影響(如有放回抽取模型)。兩事件相互獨(dú)立通常不互斥,兩事件互斥通常不獨(dú)立。若事件A,B互斥,則P(A+B)=P(A)+P(B),若事件A,B不互斥,則P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB),若事件A,B相互獨(dú)立,則P(AB)=P(A)P(B)。對于復(fù)雜概率的計(jì)算:一般要先設(shè)出事件,準(zhǔn)確地確定事件的性質(zhì),把問題化歸為古典概型、互斥事件、獨(dú)立事件、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)四類事件中的某一種;然后判斷事件是A+B還是AB事件,確定事件至少有一個發(fā)生,還是同時發(fā)生,分別運(yùn)用相加或相乘事件公式;最后選用相應(yīng)的求古典概型、互斥事件、條件概率、獨(dú)立事件、n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式求解。

三、一元變量的幾何概型構(gòu)建長度或角度比求解

素養(yǎng):幾何概型的特點(diǎn)是無限性和等可能性?；臼录梢猿橄鬄辄c(diǎn),盡管這些點(diǎn)是無限的,但它們所占據(jù)的區(qū)域都是有限的,因此可用“比例解法”求解幾何概型的概率。當(dāng)試驗(yàn)的結(jié)果等可能且構(gòu)成的區(qū)域?yàn)殚L度或面積或體積時,考慮使用幾何概型求解。

四、二元變量的幾何概型構(gòu)建面積比求解

解:二元變量的幾何概型構(gòu)建面積比,根據(jù)幾何概型的概率公式求解。

設(shè)在區(qū)間(0,1)與(1,2)上隨機(jī)取出的數(shù)分別為x,y,則試驗(yàn)的所有結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域Ω={(x,y)|0

圖1

素養(yǎng):求解二元變量幾何概型的關(guān)鍵是把所取的兩個數(shù)視作x,y,然后把點(diǎn)(x,y)看作點(diǎn)集區(qū)域,再利用面積測度求概率。解題時,弄清某事件對應(yīng)的面積與全部試驗(yàn)結(jié)果構(gòu)成的平面圖形,以便求解。