具有破產重組條款公司最優(yōu)紅利分配問題

林建偉， 林 琦

(1.莆田學院 數學與金融學院， 福建 莆田 351100；2.金融數學福建省高校重點實驗室， 福建 莆田 351100)

0 引言

紅利分配是公司財務管理的一個核心問題。公司所采取的紅利分配策略會直接影響公司未來的經營狀況和融資能力， 同時也會深刻影響投資者的投資決策。 紅利分配問題最早由De Finetti提出， 他認為選擇最優(yōu)紅利策略的標準是: 公司通過這一紅利分配策略將使得自己從初始時刻至破產時刻(公司資產盈余降為零)期間公司所獲得的紅利貼現(xiàn)值總和最大； 并在公司資產盈余演化過程服從離散布朗運動條件下， 證明了公司的最優(yōu)紅利分配策略為障礙策略[1]。 De Finetti 的工作具有開創(chuàng)性意義， 之后許多學者在該工作的基礎上做進一步的推廣。 Jeanblanc-Picque 等在公司資產盈余演化過程服從布朗運動條件下考慮了公司最優(yōu)紅利分配問題[2]； Avram 等在公司資產盈余演化過程服從Levy 過程下研究了公司最優(yōu)紅利分配問題， 同時考慮了固定交易費對于最優(yōu)紅利分配策略的影響[3-4]； Akyildirim 等在隨機利率背景下考慮了公司最優(yōu)紅利分配問題[5]；Reppen 等在公司資產盈余演化過程服從帶有隨機收益率布朗運動模型下研究了公司最優(yōu)紅利分配問題[6]。 在實證研究方面， 劉瓊芳分析了民生財政與社會分紅理論的內在契合性[7]； 張英婕等探討了國有企業(yè)紅利分配與資本收益收取的關系[8]。 但上述研究都假定公司僅在公司資產盈余降為零時破產， 且不考慮公司破產重組的可能。 實際上， 公司碰到財務危機時， 往往在公司資產盈余降為零之前申請破產保護， 對公司的資產進行重組， 以期重整。 鑒于此， 文章將在文[2]的基礎上， 基于自我協(xié)商破產重組模式， 推廣考慮具有正的破產邊界下公司最優(yōu)紅利分配問題。

1 最優(yōu)紅利分配問題的數學模型

1.1 基本假定

Ⅰ市場無風險利率為常數r。

Ⅱ公司為股份制公司， 假定公司投資人由一個大股東和一個小股東構成， 公司運行期間大小股東按股權比例獲得紅利收益。

Ⅲ在概率測度空間(Ω，F(xiàn)t{ }t≥0，F(xiàn)，Q)上， 公司的資產盈余演化過程Xt服從:

式(1)中，x≥0 表示公司的初始資產盈余，μ，σ分別表示公司資產盈余的收益率和波動率，Wt表示標準的布朗運動，Zt表示紅利的累積過程。

ⅣZt演化過程服從:

式(2)中，q ＝q(x)，Z0＝Z0(x) 是任意一個可測函數， 分別表示為單位時間內紅利支付率和初始紅利支付額， 兩者滿足限制條件為0≤q(x)≤K ＜∞， 0 ≤Z0(x) ≤x，K為最大的紅利支付率。

Ⅴ最優(yōu)紅利分配策略選擇標準: 大股東有權選擇紅利分配策略， 其選擇的最優(yōu)紅利分配策略旨在保證公司從初始時刻至破產時刻期間公司所獲得的紅利貼現(xiàn)值總和和剩余公司資產盈余貼現(xiàn)值兩部分之和最大。

Ⅵ自我協(xié)商破產重組模式: 當公司財務面臨困難時， 大股東有權在公司資產盈余降為零之前， 即降到B(0 ≤B≤x) 時提前申請破產保護，同時大小股東自我協(xié)商對公司資產進行重組， 以期擺脫困境， 提高公司投資者的青睞程度， 并將公司向投資者出售獲得B元。

1.2 數學模型

基于上述基本假定， 對于任意給定的B(0 ≤B≤x) ， 公司的破產時間τ定義為:

且規(guī)定t≥τ， dXt ＝dZt ＝0。

基于基本假定Ⅴ關于最優(yōu)紅利分配策略選擇標準的界定和破產時間定義(3)， 公司最優(yōu)紅利分配問題的數學模型表示為:

式(4)中，V(x) 表示在最優(yōu)紅利分配策略下的值函數，q，Z0為隨機控制變量，V(x；q，Z0) 表示在給定一種紅利分配策略下的值函數。

為了進一步簡化問題， 數學模型(4)可等價轉化為:

注意到V0(x) 為解決問題的關鍵， 其特征為Z0≡0。

2 值函數的求解和最優(yōu)紅利分配策略

2.1 值函數V0(x) 滿足的H 問題

基于數學模型(5)， 運用動態(tài)規(guī)劃原理， 可推出值函數V0(x) 滿足的H 問題(HJB 方程和定解條件)。 通常記為滿足H 問題的解， 然后通過驗證定理證明就是值函數V0(x) 。滿足的H 問題為:

式(7)中，在x ＝b上滿足的3 個連接條件分別解釋為在b點連續(xù)、 光滑通過和二階導數連續(xù)。

運用微分方程的方法和分析的技巧， 對ˉH問題(7)進行求解， 得到如下結果。

定理1對于任意給定參數r，μ，σ， 當B時， 存在唯一b*(B ＜b*＜∞) ， 使得解的解析表達式為:

其中，

K*為關于K方程A1(K)＋A2(K)＋Br(s1- s2)＝0 唯一的正根，

b*為關于b方程唯一大于B的根。

證基于H 問題(7)， 當x ＞b時， 由V~(x)所滿足的方程， 可知能表示為:由于有界， 當x→∞時， 可推出C1＝0。

當B ＜x ＜b時， 由所滿足的方程，可知V~(x) 能表示為:

這 里

再由邊界條件， 可得A1(K)es1(B-b)＋A2(K)es2(B-b)＋Br(s1- s2)＝0。

接下來的關鍵問題是要考慮什么條件下上述關于b的方程存在唯一大于B的根。

首先， 分析A1(K)，A2(K) 的性質， 可驗證:

即μs2- r ＜A1(K) ≤0， 0＜r - μs1＜A2(K) ≤

其 次， 記f(b；K，B)＝ A1(K)es1(B-b)＋A2(K)es2(B-b)＋Br(s1-s2) ， 根 據A1(K) ≤0，A2(K)＞0，s1＞0，s2＜0， 可驗證＞0。 為了使得方程f(b；K，B)＝0 在(B， ∞)上存在唯一的根， 其充要條件為f(B；K，B)＜0， 即A1(K)＋A2(K)＋Br(s1- s2)＜0。

最 后， 記(K)＝ A1(K)＋ A2(K)＋Br(s1- s2) ， 根據A1(K)，A2(K) 的性質， 可驗證

由公式(8)， 當x≥b*時，當B≤x ＜b*時，

現(xiàn)在將證明0(x) ， 且給出最優(yōu)紅利分配策略。 把結果形成如下定理。

定理2對于任意給定參數r，μ，σ， 當就是所要求的V0(x) ， 且獲得最優(yōu)紅利分配策略為:Z0(x)＝0，x≥0 和這里，K*，b*的定義見定理1。

證對于應用It? 公式， 可得:

由的表達式(8)， 可驗證｜V~′(x)｜有界， 根據鞅的性質， 可知

讓

因此，≥V(x；q， 0) 。 由于q(x) 的任意性， 可證≥V0(x) 。

另 外， 取q(x)＝ q*(x) ， 對 于應用It? 公式， 可得:

因此，(x；q*， 0)， 即≤V0(x) 。綜上， 證明了0(x) ， 且獲得的最優(yōu)紅利分配策略為q*(x) 。 定理2 證明完畢。

2.2 值函數V(x)和最優(yōu)紅利分配策略

根據式(5) 和0(x) ， 可得:

記f1(y)(x - y)， 0 ≤y≤x，f1′(y)＝1(x - y) 。

當B≤x ＜b*時，(x) ≥1，f1′(y) ≤0，因此， 此時選擇Z0(x)＝0 時， 達到最大值， 即V(x)。

當x≥b*時，≤1，f1′(y) ≥0， 0 ≤y≤x -b*， 因此， 此時選擇Z0(x)＝x -b*時，達到最大值； 同理f1′(y) ≤0，x -b*≤y≤x，因此， 此時也選擇Z0(x)＝x - b*時， 達到最大值； 總之， 選擇Z0(x)＝x -b*時， 達到最大值，V(x)＝x - b*(b*) 。

把上面分析結果形成定理如下。

定理3對于任意給定參數r，μ，σ， 當B ＜時， 存在唯一b*(B ＜b*＜∞) ， 使得最優(yōu)紅利分配策略為:

這里，K*，b*的定義和解的表達式見定理1。

注: 當B ＝0 時， 定理3 的結論退化為文[2]的結果。

3 結論

本文考慮到股東在公司資產盈余下降到零之前有權提前申請破產保護和進行自我協(xié)商破產重組特征， 在公司資產盈余演化過程服從布朗運動模型下， 利用隨機控制的理論和方法， 建立了具有正的破產邊界下公司最優(yōu)紅利分配策略的數學模型。 運用動態(tài)規(guī)劃原理， 獲得了數學模型中值函數所滿足的H 問題(HJB 方程和定解條件)，并利用微分方程方法和分析的技巧， 獲得了H問題解存在時破產邊界和紅利支付率上限所滿足的限制條件， 進而求解出H 問題解的解析表達式。 最后， 采用It? 公式和鞅的性質， 證明了H問題的解就是值函數的解， 并給出了最優(yōu)紅利分配策略。