二階橢圓型方程的超定問題

阮其華

( 莆田學(xué)院 數(shù)學(xué)與金融學(xué)院， 福建 莆田 351100 )

0 引言

二階橢圓型方程的超定問題是指二階橢圓型方程同時(shí)滿足Dirichlet 邊界條件和Neumann 邊界條件的這類問題。 對(duì)于一個(gè)偏微分方程， 如果區(qū)域的邊界附加了太多的條件， 問題通常是不適定的， 并且方程解的存在性對(duì)區(qū)域的形狀有很強(qiáng)的要求。 因此， 研究二階橢圓型方程的超定問題， 就是研究在什么條件下方程的解存在。 若方程的解存在， 那么區(qū)域是什么形狀。

設(shè)Ω是?n中光滑連通的有界區(qū)域， 考慮Ω中滿足Dirichlet 和Neumann 邊界條件的Poisson方程， 即:

其中:v表示邊界?Ω的單位外法向向量，c是常數(shù)。

已知， 滿足Dirichlet 或Neumann 邊界條件的Poisson 方程的解存在， 但是同時(shí)滿足Dirichlet 和Neumann 邊界條件的解一般不存在， 除非區(qū)域Ω有特殊的形狀。 在文[1]中， Serrin 對(duì)Poisson 方程的超定問題進(jìn)行了開創(chuàng)性的研究， 證明了該超定問題的解存在， 當(dāng)且僅當(dāng)Ω是球形且u是徑向函數(shù)。

近年來超定問題已成為偏微分方程研究的一個(gè)熱點(diǎn)問題， 一些物理問題和現(xiàn)象可以用超定方程來描述。 在文[1-2]中， 學(xué)者給出了超定問題的物理解釋， 即: Dirichlet 問題描述了一種黏性的不可壓縮流體在給定截面的直管中做平行的直線運(yùn)動(dòng)。 如果建立直角坐標(biāo)系(x，y，z)， 規(guī)定z軸為管道方向， 這時(shí)沿管道的流速u是關(guān)于x和y的函數(shù)， 并且滿足Δu ＋k ＝0(其中k是與液體黏度和密度有關(guān)的常數(shù))。 Serrin 的研究結(jié)果說明， 在附加Dirichlet 邊界條件和Neumann 邊界條件(即管壁上所有點(diǎn)在單位區(qū)域上的切向壓力為常數(shù)， 表示為μuv， 其中μ是黏度) 當(dāng)且僅當(dāng)管的橫截面是圓形， 此時(shí)水管才不易破裂。

Serrin 的研究結(jié)果極大地促進(jìn)了超定問題的研究， 這里分3 個(gè)方面來介紹二階橢圓型方程超定問題的發(fā)展。 首先， 在研究方法方面， Serrin主要利用移動(dòng)平面法來證明， 隨后Weinberger通過定義一個(gè)適當(dāng)?shù)妮o助函數(shù)給出非常簡單的證明[3]， 還有如域?qū)?shù)法和牛頓不等式法等其他證明方法[4-5]； 其次， 在研究區(qū)域方面， 一些學(xué)者將區(qū)域進(jìn)行擴(kuò)展， 如涉及缺乏邊界正則性的區(qū)域[6]、 外域[7]和環(huán)形域[8]等； 再次， 在研究方程方面， 一些學(xué)者將方程進(jìn)行擴(kuò)展， 如比Poisson 方程更一般的退化橢圓型方程[9]、 拋物線型方程[10]和帶權(quán)Laplacian 方程[11]等， 關(guān)于帶權(quán)Laplacian 方程的相關(guān)研究可見文[12]。 然而也有一些學(xué)者研究非常數(shù)邊界條件的超定問題， 如Neumann 邊界條件非常數(shù)的超定問題[13]、 涉及邊界曲率的超定問題[14]和常曲率空間中的超定問題[15]。 Bianchini 等在文[4]的基礎(chǔ)上， 研究各向異性p-拉普拉斯方程的Serrin 型問題[16]。 有關(guān)超定問題的文獻(xiàn)非常多， 在此不一一列出。

本文主要介紹二階橢圓型方程超定問題的一些最新研究動(dòng)態(tài)， 分3 個(gè)部分來介紹二階橢圓型方程超定問題的發(fā)展， 分別為: 平面上一類超定問題[17]、 一類加權(quán)Poisson 方程的超定問題[11]和p-扭轉(zhuǎn)剛性問題的形狀優(yōu)化[18]。

1 關(guān)于平面上一類超定問題

本節(jié)介紹解的Laplacian 算子不等于-1， 而是等于一般的函數(shù)- f(u)， 并且在邊界上同時(shí)滿足Dirichlet 和Nuemann 邊界條件的超定問題， 即:

在文[19]中， Lakhdar 研究了平面上一類超定問題， 并給出了解存在的必要條件， 但這個(gè)條件要求比較高。 這里考慮降低文[19]中的條件， 得到相應(yīng)超定問題解存在的必要條件。

定理1[17]設(shè)Ω是平面上光滑連通的有界區(qū)域，是超定問題(2) 的經(jīng)典解， 如果f ＞0，f′≤0 并且表示Ω的面積，那么Ω是一個(gè)圓。

定理1 推廣了文[19]中的結(jié)論， 利用定理1 可以得到如下推論:

推論1[17]設(shè)Ω是平面上光滑連通的有界區(qū)域，是超定問題(2) 的經(jīng)典解， 如果f ＞0，f′≤0 并且uf(u) ≥c2＋1，那么Ω是一個(gè)圓。

定理2[17]設(shè)Ω是平面上光滑連通的有界區(qū)域，是超定問題(2) 的經(jīng)典解， 如果f(u) ≤f(0) 并且邊界的平均曲率H表示邊界的弧長， 那么Ω是一個(gè)圓。

2 一類加權(quán)Poisson 方程的超定問題

本節(jié)介紹如下加權(quán)Poisson 方程的超定問題:

其中加權(quán)Laplacian 算子定義為Δω ＝Δ ＋?logω·?，ω∈C2，γ(?n＼ 0) 表示階數(shù)為α ＞0 的齊次正函數(shù)， 即: ?ω·x ＝αω(例如，ω ＝｜x ｜α)。

以下介紹加權(quán)Poisson 方程超定問題的若干研究結(jié)果。

定理3[11]設(shè)Ω是?n中邊界光滑的連通有界區(qū)域， 若超定問題(3) 有解u∈C2(Ω)， 則區(qū)域Ω是以原點(diǎn)o為球心的球。

當(dāng)u是徑向?qū)ΨQ解時(shí)， ?ω·x ＝αω蘊(yùn)含因此，得到如下推論:

推論2[11]設(shè)Ω是?n中邊界光滑的連通有界區(qū)域， 若超定問題(3) 有徑向解u∈C2(Ω)，則區(qū)域Ω是以原點(diǎn)o為球心的球。

下面給出超定問題(3) 的一個(gè)存在性結(jié)果:

定理4[11]設(shè)Ω是?n中以R為半徑、o為球心的球， 則是超定問題(3)的解。

作為定理4 的應(yīng)用， 可得到Ω中加權(quán)調(diào)和函數(shù)的一個(gè)平均值性質(zhì)。 若Ω中函數(shù)h∈C2(Ω)滿足Δωh ＝0， 則稱其為加權(quán)調(diào)和函數(shù)。 如果加權(quán)函數(shù)ω為常數(shù)， 那么加權(quán)調(diào)和函數(shù)即為調(diào)和函數(shù)。 加權(quán)調(diào)和函數(shù)具有與調(diào)和函數(shù)相似的性質(zhì)，例如， 歐式空間中的每一個(gè)有界調(diào)和函數(shù)都是一個(gè)常數(shù)[21]。

定理5[11]設(shè)在Ω ＝B(0，R)中加權(quán)函數(shù)ω滿足?ω·x ＝αω， 則對(duì)任意加權(quán)調(diào)和函數(shù)h∈C2(Ω)， 下面的平均值性質(zhì)成立， 即:

最后討論Neumann 邊界條件非常數(shù)的超定問題。 設(shè)Ω??n為內(nèi)部嚴(yán)格包含原點(diǎn)的有界區(qū)域， 對(duì)任意表示歐式空間中x與原點(diǎn)的距離函數(shù)。 在文[22]中， Tewodros 證明若如下超定問題有解u∈C2(Ω)，

其中c是常數(shù)， 則區(qū)域Ω是一個(gè)球形。 上述證明主要是基于極大值原理和Poho?aev 恒等式[23]。這里不使用極大值原理， 而是使用了一些初等不等式和分部積分公式來證明上述結(jié)果同樣適用于加權(quán)Poisson 方程的超定問題。

定理6[11]設(shè)Ω是?n中邊界光滑的連通有界區(qū)域， 考慮如下超定問題:

其中c是常數(shù)， 如果問題(5) 有解u∈C2(Ω)，那么區(qū)域Ω是一個(gè)球形。

3 關(guān)于p-扭轉(zhuǎn)剛性問題的形狀優(yōu)化

設(shè)Ω是?n中具有光滑邊界的連通有界區(qū)域， 考慮如下的p-扭轉(zhuǎn)剛性問題:

定義1設(shè)φ∈(Ω)是任意具有緊支集的光滑函數(shù)， 稱u∈，p(Ω) 是問題(6) 的弱解當(dāng)且僅當(dāng)

已知p-扭轉(zhuǎn)剛性問題(6) 有唯一解u∈C1，α， 這里α∈(0， 1)， 具體可見文[24]。 一般地， 在?u ＝0 處u不是C2(Ω) 的。

定義2設(shè)A是?n中具有光滑邊界的所有連通有界區(qū)域集合， 若

則稱J(D) 是關(guān)于區(qū)域D的泛函， 簡稱域泛函。這里對(duì)每個(gè)D∈A，uD∈W1，p(D)∩C1(ˉD)是p-扭轉(zhuǎn)剛性問題(6) 的解。

考慮最優(yōu)化問題:

2014 年Farjudian 等研究了定義在光滑有界的體積約束區(qū)域Aε ＝{D??n:D為滿足體積上p-扭轉(zhuǎn)剛性問題的另一個(gè)域泛函， 定義為:他們推廣了Talenti 在文[26]中的經(jīng)典結(jié)果。

當(dāng)p ＝2 時(shí)， Choulli 等在文[5]中利用域?qū)?shù)和Alexandrov 在文[27]中的定理給出了超定問題(8) 的另一個(gè)證明:

即D0是域泛函J(D)的最優(yōu)形狀當(dāng)且僅當(dāng)超定問題(8)有解， 那么由Serrin 的研究結(jié)果知，D0是球形。 事實(shí)上， 這個(gè)結(jié)果可以由文[5]直接推出， 因?yàn)樵趐 ＝2 時(shí)， 文[5]的證明對(duì)任意D∈A，J(D)≥0 成立。 若存在區(qū)域D0使得J(D0)＝0 使得其中I表示單位矩陣， 因此， 所以根據(jù)Drichlet 邊界條件知D0是球形。

研究p-扭轉(zhuǎn)剛性問題(6)的最優(yōu)區(qū)域， 不是簡單地從p ＝2 推廣到更一般的情況， 因?yàn)楫?dāng)p≠2 時(shí)， 不能從J(D0) 推出等式?2u ＝-所以不能使用p ＝2 時(shí)獲得的最優(yōu)區(qū)域的辦法。 為了克服這個(gè)困難， 需引進(jìn)輔助函數(shù)， 利用Bernstein 的方法證明該函數(shù)在邊界上是常數(shù)，那么由Dirichlet 邊界條件可知在邊界上是常數(shù)。

在文[9]中， Garofalo 等證明了如下p-扭轉(zhuǎn)剛性超定問題:

下面介紹得到關(guān)于p-扭轉(zhuǎn)剛性問題的一些結(jié)果。

定理7[18]設(shè)D0是?n中具有光滑邊界的連通有界區(qū)域， 假設(shè)u(x) ∈W1，p(D0) ∩C1(ˉD0)是在Ω ＝D0中p-扭轉(zhuǎn)剛性問題(6)的解， 那么D0是域泛函J(D)在A中的最優(yōu)形狀當(dāng)且僅當(dāng)u(x)是超定問題(9) 在Ω ＝D0中的解。

根據(jù)Garofalo 等在文[9]中的結(jié)果， 得到如下推論:

推論3[18]域泛函J(D)在A中的最優(yōu)形狀是球形。

超定問題(9) 最早由Garofalo 等在文[9]中利用Weinberger 的方法證明。 目前為止超定問題(9) 還沒有其他的證明方法。 這里利用文[5]中域?qū)?shù)的方法， 給出了超定問題(9) 的另一個(gè)證明， 并得到如下結(jié)果:

定理8[18]設(shè)Ω ＝D0是?n中具有光滑邊界的連通有界區(qū)域， 如果超定問題(9) 有解u∈W1，p(D0) ∩C1(ˉD0)， 那么D0是球形。