例談函數(shù)思想在數(shù)學解題中的幾種應用

□ 江蘇省邳州市新城中學 李 飛

高中數(shù)學中，函數(shù)幾乎貫穿于整個教學流程，且形式靈活、思維模式靈活。在實際學習過程中，不少學生或因為思維固化，或因為沒有掌握知識，或因為知識理解片面，導致學了不會用，或者只會用于單項訓練，使得函數(shù)學習和使用流于形式，達不到融會貫通、靈活使用的目的。針對該情況，以函數(shù)思想為基礎，簡單列舉函數(shù)思想在實際解題中的幾種應用，引發(fā)學生實際思考，在實際做題過程中深入理解，讓學生在實際做題過程中真正領會“悟”的過程，通過方程進行合理轉(zhuǎn)化，分類討論不同規(guī)則，記憶數(shù)列運算法則，通過數(shù)形結(jié)合運算確定范圍，對抽象問題進行賦值運算，幫助學生掌握解題思維，在實際做題過程中，能進行針對性地輔助練習。

一、聯(lián)通方程，科學轉(zhuǎn)化

如果函數(shù)貫穿了整個高中數(shù)學體系，那么方程就是函數(shù)的具體表現(xiàn)形式。在實際解題過程中，學生經(jīng)常會遇到方程和不等式之間存在轉(zhuǎn)化關系，不等式之間依據(jù)某些給定的條件存在轉(zhuǎn)化的情形，此時在規(guī)定定義域范圍內(nèi)，對方程或者不等式先進行轉(zhuǎn)化，再求解，這時不等式會通過已知的條件進行聯(lián)立，構(gòu)成了不等式組，解不等式組的過程就是求解最終結(jié)果的過程。

例如f（x）在其定義域（0，+∞）為減函數(shù)，如果存在a和b，且a，b∈（0，+∞），都存在式f（a/b）=f（a）-f（b）成立，f（4）=1，求解不等式 f（x+6）-f（1/x）＞2的解集。

此時不等式f（x+6）-f（1/x）＞2可以化簡為

繼續(xù)計算

又由于f（x）在其定義域（0，+∞）為減函數(shù)

聯(lián)立解方程式的結(jié)果為0＜x＜2

故不等式的解集為（0,2）

所以在函數(shù)中，求解不等式時可以將其默認為求解方程，注意不等式符號是否變化。通過將方程進行轉(zhuǎn)化，或者將不等式進行轉(zhuǎn)化，形成綜合求解計劃，計算出結(jié)果或者范圍。而在本題中，方程計算的過程是為了簡化參數(shù)的計算，不等式計算的過程，是為了求解最終參數(shù)的范圍。二者聯(lián)合，才能計算出最終結(jié)果。要求學生利用函數(shù)思想，學習交叉方程、不等式以及函數(shù)的知識，才能在實際解題過程中靈活應用，提高解題效率。

二、指向角域，分類討論

高中數(shù)學中存在一種習題模式，題目中是函數(shù)計算式，但在實際計算過程中，發(fā)現(xiàn)不僅需要對函數(shù)進行計算變換，同時要對其中的參數(shù)進行重新設定。在實際設定過程中，為了計算方便的同時不出現(xiàn)失誤，結(jié)合參數(shù)的實際定義域，限定在一定范圍內(nèi)，比如轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)，再進行后續(xù)分析，這種題目具有一定的隱藏性，需要學生提高警惕。

先對原式進行化簡

原式 =cos（kπ+π/4+x）+cos（kπ-π/4-x）（6）

（1）當k為奇數(shù)時，即k=2n+1時

式（6）=cos[（2n+1）π+π/4+x]+cos[（2n+1）π-π/4-x]

（2）當k為偶數(shù)時，即k=2n時

所以當對k進行不同定義時，出現(xiàn)了兩種截然不同的結(jié)果。

在三角函數(shù)的計算過程中，因為三角函數(shù)本身具有的周期性質(zhì)，需要結(jié)合已知條件，通過周期值結(jié)果相等進行簡化運算。三角函數(shù)具有周期性的同時還具有奇偶性，又可以借助奇偶性進行進一步化簡計算。周期、奇偶條件下的分類討論，構(gòu)成了三角函數(shù)解題的核心方法。分類討論作為數(shù)學函數(shù)思想的重要邏輯方法，可以訓練學生思維的全面性和創(chuàng)新性。所以在實際解題過程中，通過相近例題的培訓，訓練學生的數(shù)學思維。

三、數(shù)列運算，求解最值

相對函數(shù)的其他理論內(nèi)容及表現(xiàn)規(guī)則，數(shù)列的規(guī)律性是最強烈也是最明顯的。使用數(shù)列解題的前提要求是理解并記憶數(shù)列的通項公式、求和公式，并且牢記數(shù)列的單調(diào)性。高中數(shù)列只存在兩種形式，等差數(shù)列和等比數(shù)列，其他形式的數(shù)列均是在該基礎上的延伸。數(shù)列的變化要求學生具有良好的應變能力，學生有應變能力的前提是打好基礎，理解等差數(shù)列并不意味著數(shù)字一個比一個大，等比數(shù)列也不意味著數(shù)字呈幾何形式上漲，只有打好基礎才能在眾多繁雜數(shù)據(jù)中找到之最。

例如等差數(shù)列{an}，已知a1=-25，前9項的和S9等于前17項的和S17，問：這個數(shù)列前多少項的和最小？求出該值。

該題為基本的等差數(shù)列，一般有兩種計算方式，一種方法是列出通項公式或者求和公式，利用和相等計算出公式中的公差d，再使用求和公式計算最小值。另一種方法是不直接計算公差d，也不列相應的公式，僅通過S9=S17進行理論推導。

方法一：由a1=-25，S9=S17，計算出公差d=2

所以，通項公式：

意味著n在一定的取值范圍內(nèi)，an都是負數(shù)，當an取到負數(shù)的臨界點時，其前n項的和最小。

如果令an≤0，則計算出n的范圍為

所以n=13和n=14是數(shù)列臨界點，n=13，a13是數(shù)列的最后一個負數(shù)項，a14是數(shù)列的第一項正數(shù)，所以該數(shù)列前13項的和最小，利用求和公式，可計算出S13=-169。

方法二：因為S9=S17

所以

將式（4）帶入式（3）中，可得

a13+a14=0

因為a1=-25＜0，所以a13＜0，a14大于0

所以S13最小，再計算其和。

總結(jié)1）當公差d＜0時，前n項和有最大值；反之，當公差d＞0時，前n項和有最小值；2）求解前n項和的最值時，可以直接求，也可以利用數(shù)列的單調(diào)性求。

當然，數(shù)列的最值問題求解方法不僅限于此，有的數(shù)列前n項和構(gòu)成了二次函數(shù)，觀察二次函數(shù)開口方向，利用二次函數(shù)特點求解，有的需要通過建立不等式與左右鄰項比較求解。不管哪種方法，實際都是函數(shù)思想的具體應用。在函數(shù)的基礎上，利用數(shù)列本身的計算邏輯規(guī)則，才能快速直達解題重點，解出相應題目。

四、解析幾何，確定范圍

如果說數(shù)列是簡單的定點求解，那么解析結(jié)合就是數(shù)列基礎上的范圍搜尋。相對其他問題來說，這類問題具有很大的難度，不僅考查學生對每個點知識的掌握程度，同時考查知識的系統(tǒng)性和連續(xù)性，以及對知識應用的靈活性。要求學生在實際解題過程中，根據(jù)題意，首先尋找對應的知識體系，如橢圓焦點范圍，或者雙曲線范圍等等，通過幾何體本身固有性質(zhì)進行函數(shù)列示計算。

例如橢圓3x2+y2=λ，已知A、B是橢圓上兩點，AB中點為N（1,3），作線段AB的垂直平分線，與橢圓分別交于C和D。

（1）試確定λ的范圍；

（2）求直線AB的方程。

通用方法為，A和B都是橢圓上的點，所以λ必然在橢圓內(nèi)部，那么可以將λ的坐標點代入橢圓方程式進行不等式計算，從而計算范圍。

所以λ范圍為（12，+∞）

假設 A和 B的坐標分別為A（x1，y1），B（x2，y2）因為A和B是橢圓上兩點，

（x1-x2）（x1+x2）+（y1-y2）（y1+y2）=0 要 求 學生觀察式子，依據(jù)題意，x1≠x2，而AB中點N坐標已知，意味著（x1+x2）和（y1+y2）已知，剩下的就是直線AB的斜率，

點N在直線AB上，即可求出直線方程。

所以，幾何試題中某個點范圍的確定，不再是單純的函數(shù)計算，而是利用函數(shù)計算定點的范圍。函數(shù)作為一種工具，在幾何解題過程中起到連接作用，而其解題的本質(zhì)，依然回歸相應幾何圖形的性質(zhì)。要求學生在實際習題練習過程中，不要為了函數(shù)解題而去解題，幾何內(nèi)涵，才是靈活應用函數(shù)的根本。

五、抽象問題，遞推賦值

在實際數(shù)學解題中，會遇到一些函數(shù)題目，但是沒有具體的式子，即只能推理，不能直接計算。很多學生遇到這類題目直接表現(xiàn)出害怕沒有思路，其實這類題目相對其他題目更容易解答。這類題目一般圍繞的重點是方程本身定義域、值域、奇偶性、對稱性，利用函數(shù)的這些屬性進行簡單計算，其核心思想就是將抽象的函數(shù)具體化，從而快速解題。

假設有一個函數(shù)f（x），定義域為R，偶函數(shù)。圖像關于直線x=1對稱。對于定義域[0,1/2]內(nèi)的任意 x1和 x2，都使得方程 f（x1+x2）=f（x1）×f（x2）成立。

（1）如果存在 f（1）=2 成立，求 f（1/2），f（1/4）；

（2）試證明f（x）是周期函數(shù)。

該題是典型的抽象問題，計算的函數(shù)f（x）只有定義域和連接等式，沒有具體的實際式子，所以要求學生跳出具體函數(shù)式的思維枷鎖，將f（x）作為一個具體式子，直接計算。

（1）當定義域為 [0,1/2] 時，f（x1+x2）=f（x1）×f（x2）成立

意味著對于定義域的所有x，均存在f（x）為非負數(shù)

通過函數(shù)值的判定直接求得結(jié)果。

（2）該問中要求證明f（x）的周期函數(shù)，可要求學生先回憶函數(shù)的周期性質(zhì)，假設f（x）的周期為T，則 f（x）=f（x+T）。

回到原題，y=f（x）關于x=1對稱，所以衍生出新的等式，為 f（x）= f（2-x）。

在實數(shù)定義域內(nèi)，f（x）是偶函數(shù)，意味著f（x）=f（-x）

所以 f（-x）= f（2-x）=f（-x+2）

即可證明f（x）為周期函數(shù)，且其周期為2。

在實際解題過程中，抽象函數(shù)沒有具體的計算式，所以會讓學生覺得陌生而無從下手。然而從實際解題的方法和思維模式考慮，抽象函數(shù)因為沒有具體計算式，反而簡化了計算過程，利用函數(shù)的邏輯結(jié)構(gòu)，直接進行簡化計算。

在高中數(shù)學中，函數(shù)是一個知識龐大的體系，函數(shù)思想是高中數(shù)學最重要、最基本的思想之一。上文列舉了幾個簡單函數(shù)應用的題目，從題目中可以知道，每個題目并沒有用到函數(shù)的所有知識，而每個題目都是對函數(shù)某個或者某些知識點的升華，所以要求學生在日常學習中，掌握基礎知識，在習題演練過程中，學會全面分析題目，再借助題目中提到的知識習題進行綜合列式計算，不斷總結(jié)經(jīng)驗方法，才能真正理解數(shù)學。