小學(xué)數(shù)學(xué)符號思維的培養(yǎng)策略

李金靈

(湖州師范學(xué)院教師教育學(xué)院 浙江 湖州 313000)

1.培養(yǎng)數(shù)學(xué)符號思維的重要性

羅素在《西方哲學(xué)史》中對符號進(jìn)行了描述，他說道：“數(shù)學(xué)的真理，正如柏拉圖所說，乃是與知覺無關(guān)的；它是非常奇特的一種真理，并且僅只涉及符號?！盵2]由此可見，數(shù)學(xué)符號可謂在數(shù)學(xué)中發(fā)揮了重要的作用。數(shù)學(xué)離不開數(shù)學(xué)符號，數(shù)學(xué)的形成和發(fā)展都與符號息息相關(guān)。學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的道路上會不斷接觸數(shù)學(xué)符號，理解數(shù)學(xué)符號，培養(yǎng)符號思維是十分必要的。第一，數(shù)學(xué)符號具有高度的概括性和抽象性。符號是信息高度凝練的產(chǎn)物，數(shù)學(xué)符號亦是如此。利用一個(gè)或幾個(gè)數(shù)學(xué)符號便能表示一系列復(fù)雜的數(shù)學(xué)信息，每個(gè)數(shù)學(xué)符號都是不同數(shù)學(xué)信息高度概括的產(chǎn)物。第二，數(shù)學(xué)符號在表征數(shù)學(xué)信息和數(shù)學(xué)關(guān)系中起到了關(guān)鍵的作用。每一個(gè)數(shù)學(xué)符號包含著特定的含義，傳達(dá)著不同的數(shù)學(xué)信息，數(shù)學(xué)信息和數(shù)學(xué)關(guān)系的呈現(xiàn)依靠數(shù)學(xué)符號來傳遞。學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的道路中會遇到諸多數(shù)學(xué)符號，它們貫穿于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的整個(gè)過程，在數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域、空間與圖形領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。第三，數(shù)學(xué)符號是一種國際化語言。由于數(shù)學(xué)符號本身的國際通用性，來自不同國家和地區(qū)的人們都能理解它的含義，獲取數(shù)學(xué)符號中傳遞的意思。即使語言背景不同，對數(shù)學(xué)符號的認(rèn)知也是相同的。第四，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要培養(yǎng)學(xué)生的符號思維。理解不同符號的意義與作用，根據(jù)符號理解數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系，運(yùn)用符號解決一系列問題能夠幫助學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中培養(yǎng)良好的數(shù)學(xué)符號思維。

在義務(wù)教育階段，小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的中包含了十大核心思維，符號意識便是其中之一?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》中指出要注重發(fā)展學(xué)生的符號意識，具體包括：能理解并運(yùn)用符號表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律；能使用符號進(jìn)行運(yùn)算和推理，得到一般性的結(jié)論[3]。建立符號意識，培養(yǎng)符號思維不僅有助于學(xué)生理解符號的深層次意義，而且鍛煉了數(shù)學(xué)表達(dá)與思考的能力，培養(yǎng)了學(xué)生的抽象概括能力。但是在教學(xué)中，教師往往只意識到教授數(shù)學(xué)符號的含義和作用，卻忽略了符號思維的培養(yǎng)。

2.小學(xué)數(shù)學(xué)教材中符號的分類與特點(diǎn)

2.1 小學(xué)數(shù)學(xué)符號的分類。數(shù)學(xué)符號內(nèi)容豐富，邵光華根據(jù)其表示的意義將符號分為六類，分別為元素符號、運(yùn)算符號、關(guān)系符號、結(jié)合符號、約定符號、縮記符號[4]，每一類符號都有著不同的含義，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中起到了不同的作用。

2.1.1 元素符號。元素符號常用于表示數(shù)或幾何圖形。在小學(xué)階段，出現(xiàn)的元素符號主要有阿拉伯?dāng)?shù)字，表示數(shù)的字母，表示常數(shù)的字母，表示幾何圖形或線段、直線的字母。這些元素符號起到了直觀地、簡潔地呈現(xiàn)數(shù)與幾何圖形的作用，因而廣泛地應(yīng)用于數(shù)學(xué)信息的表達(dá)。

2.1.2 運(yùn)算符號。運(yùn)算符號指進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算時(shí)所使用的一系列符號。小學(xué)階段常用的運(yùn)算符號包括“+”、“-”、“×”、“÷”四種，運(yùn)算符號連接了數(shù)字之間的關(guān)系，在列式計(jì)算中起到了連結(jié)數(shù)字的作用，在解決問題中起到了將數(shù)學(xué)信息用算式的方式呈現(xiàn)的作用。

2.1.3 關(guān)系符號。關(guān)系符號是一類表示數(shù)學(xué)對象之間關(guān)系的符號。用于數(shù)值大小比較的數(shù)學(xué)符號有“=”、“≈”、“<”、“>”，用于表示位置關(guān)系的數(shù)學(xué)符號有“∥”、“⊥”，(1，2)能用兩個(gè)數(shù)判斷位置關(guān)系，含有未知數(shù)的等式可以表示數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系。

2.1.4 結(jié)合符號。結(jié)合符號是一類能改變運(yùn)算順序的符號，表示將某些數(shù)學(xué)對象先進(jìn)行結(jié)合后運(yùn)算的符號。小學(xué)階段出現(xiàn)的結(jié)合符號是小括號，用于在算式中改變計(jì)算順序。有了小括號的幫助，學(xué)生在列式計(jì)算時(shí)可以進(jìn)行簡便計(jì)算，提高學(xué)生的運(yùn)算速度和運(yùn)算能力。

2.1.5 約定符號。約定符號規(guī)定了某些符號表示的特定含義。例如長度單位有“mm”、“cm”、“dm”、“m”、“km”，面積單位有“cm2”、“dm2”、“m2”、“km2”，體積單位有“cm3”、“dm3”、“m3”，質(zhì)量單位有“g”、“kg”、“t”，這些符號都是用于表示特定的含義。

2.1.6 縮記符號?？s記符號表示某些符號的縮寫形式，也是符號的簡便表示方法。小學(xué)階段常見的縮記符號主要有兩類，一類是循環(huán)小數(shù)的表示，用點(diǎn)表示小數(shù)點(diǎn)后面數(shù)字的循環(huán)；另一類是乘號的省略形式，6和a相乘可以表示為6a，乘號可以省略不寫。

筆者根據(jù)以上六類符號的分類依據(jù)，對人教版小學(xué)數(shù)學(xué)一年級至六年級中常出現(xiàn)的符號進(jìn)行了整理與分類，具體見表1。

表1 人教版小學(xué)數(shù)學(xué)符號表

2.2 小學(xué)數(shù)學(xué)符號的特點(diǎn)。第一，數(shù)學(xué)符號具有較高的概括性，是一種具有高度抽象性的數(shù)學(xué)語言。數(shù)學(xué)符號的高度概括性也決定了它的簡潔性，用言語表示的一句話往往只需要使用一個(gè)或者幾個(gè)符號便能簡便地表示出來。第二，數(shù)學(xué)符號具有多樣性。數(shù)學(xué)符號根據(jù)不同的分類依據(jù)可分為不同的類別，除了本文列舉的一種分類方法之外，還可以選取不同的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，分類標(biāo)準(zhǔn)與方法是多樣的。此外，同一個(gè)數(shù)學(xué)符號也具有多樣性，即一個(gè)符號在不同情況中的擁有不同的含義。第三，數(shù)學(xué)符號具有抽象性。數(shù)學(xué)符號是在數(shù)學(xué)史的演變中逐漸形成的，許多符號來自拉丁文與希臘字母，數(shù)學(xué)符號的形狀大多與它具體指代的含義無直觀形象的聯(lián)系。在小學(xué)階段，學(xué)生的直觀思維程度較高，抽象思維程度較低，因而數(shù)學(xué)符號對于小學(xué)生來說具有一定的抽象性。

3.培養(yǎng)小學(xué)生數(shù)學(xué)符號思維的策略

3.1 體會數(shù)學(xué)符號的優(yōu)越性和符號意義的多樣性。學(xué)生在學(xué)習(xí)之初對符號的理解為漢字的替代物，并沒有理解符號的作用，體會它的優(yōu)越性。數(shù)學(xué)符號蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)信息，是具有一定概括性和普遍適用性的數(shù)學(xué)信息的抽象產(chǎn)物。正確理解符號概念有助于把握符號的本質(zhì)內(nèi)涵，理清數(shù)量之間的關(guān)系。數(shù)學(xué)注重于理解，教學(xué)的目的并非讓學(xué)生一字不落地復(fù)述出每一個(gè)符號的含義與作用，而是要理解它的本質(zhì)內(nèi)涵、適用條件等。教師需要引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中意識到符號的優(yōu)越性，體會符號的高度概括性和凝練性。當(dāng)學(xué)生體會到數(shù)學(xué)符號的作用時(shí)，便能激發(fā)并保持學(xué)生對符號探索的積極性，體會符號中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思維。

在大多數(shù)小學(xué)生的認(rèn)知中，一種符號只包含了一種意義，是一一對應(yīng)的，事實(shí)上并非如此。阿拉伯?dāng)?shù)字0～9是小學(xué)生最先接觸到的數(shù)學(xué)符號，在學(xué)生的認(rèn)知中，數(shù)字即物品的數(shù)量。但并非如此，數(shù)字不僅表示事物的數(shù)量，也可以用來指代具體的事物。例如數(shù)字“1”，既可以表示某個(gè)物品的數(shù)量為1，也可以用來指代一個(gè)物品或一堆物品。在分?jǐn)?shù)中，“1”指代的是單位“1”，也就是學(xué)生在部分與整體意義中理解的整體。由此可見，同一種符號在不同的情境中表達(dá)著不同的意義，傳遞著不同的信息。符號的含義并非具有單一性，在不同的情境中包含著不同的含義，需要根據(jù)具體的情境進(jìn)行判斷。

3.2 考慮學(xué)生認(rèn)知發(fā)展水平，采取合適的教學(xué)語言。不同學(xué)段的學(xué)生擁有不同的認(rèn)知發(fā)展水平，隨著學(xué)段的上升，學(xué)生的認(rèn)知水平不斷得到發(fā)展。教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況，適當(dāng)?shù)卣{(diào)整教學(xué)語言，在教學(xué)中選擇合適的教學(xué)語言促進(jìn)學(xué)生符號思維的發(fā)展，這是十分重要的。低年級的學(xué)生認(rèn)知發(fā)展水平處于起步的階段，教師在教學(xué)過程中應(yīng)采用通俗易懂的語言去解釋符號的含義，在具體例子的解釋中促進(jìn)低年級學(xué)生理解數(shù)學(xué)符號的意義與作用。隨著年級的增長，學(xué)生認(rèn)知發(fā)展到了一定的水平，教師應(yīng)使用概括性較高的語言去描述和概括符號的含義。除了教授之外，教師還可以引導(dǎo)學(xué)生自主對數(shù)學(xué)符號進(jìn)行主動探究與總結(jié)，在探究中理解符號的意義與作用，在實(shí)踐中體會符號表示的數(shù)量關(guān)系。

3.3 教學(xué)遵循循序漸進(jìn)性，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)符號的形成過程。符號思維的培養(yǎng)要遵循循序漸進(jìn)性，在逐步的探究中得到發(fā)展。實(shí)踐是培養(yǎng)符號思維的重要途徑之一，符號思維的形成與實(shí)踐息息相關(guān)。教師應(yīng)在教學(xué)中尋找合適的時(shí)機(jī)引導(dǎo)學(xué)生對符號進(jìn)行探究，在探索中形成符號意識，發(fā)展符號思維。具有探索性的例題是幫助學(xué)生培養(yǎng)符號思維的載體，例如一些探索規(guī)律題“找規(guī)律，填一填：1.1×1.1=，11.1×11.1=，111.1×111.1=，1111.1×1111.1=，11111.1×11111.1=......”針對該類型的探究題，學(xué)生在觀察中可以發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，再用符號表示規(guī)律并且進(jìn)行驗(yàn)證。首先，學(xué)生通過觀察可以發(fā)現(xiàn)算式中乘數(shù)的規(guī)律，即每個(gè)數(shù)位上的數(shù)字都是1，并且算式依次增加了一個(gè)數(shù)位。其次，引導(dǎo)學(xué)生嘗試運(yùn)用符號表示算式中的規(guī)律，得出一般結(jié)論。最后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生驗(yàn)證得到的規(guī)律是否成立，進(jìn)一步體會符號的作用與意義。在這三個(gè)環(huán)節(jié)中，教師應(yīng)不斷引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究，實(shí)現(xiàn)從直觀算式到抽象規(guī)律的形成過程。學(xué)生在探究中經(jīng)歷了符號的作用和意義，才能促進(jìn)學(xué)生符號思維的發(fā)展，形成用符號解決問題的意識。

3.4 創(chuàng)設(shè)問題情境，在協(xié)作中共建數(shù)學(xué)符號思維。問題情境的創(chuàng)設(shè)有利于激發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，學(xué)生帶著疑問中融入數(shù)學(xué)探索。教師在此基礎(chǔ)上闡述與明確探索的主題，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考，建構(gòu)并闡述自己的觀點(diǎn)，這是學(xué)生自主建構(gòu)知識的過程。學(xué)生的學(xué)習(xí)包括個(gè)體認(rèn)知和社會認(rèn)知，在教學(xué)中教師往往會忽略學(xué)生之間的協(xié)作建構(gòu)而注重學(xué)生與知識之間的個(gè)體建構(gòu)，即在教學(xué)中忽略了社會建構(gòu)的作用。社會建構(gòu)是促進(jìn)學(xué)生知識理解的重要途徑，在社會協(xié)作中，學(xué)生在協(xié)作學(xué)習(xí)中進(jìn)行社會化互動，即通過協(xié)作交流共同探索符號的意義，理解符號表示的數(shù)量關(guān)系。學(xué)生在個(gè)體建構(gòu)的過程中產(chǎn)生對數(shù)學(xué)符號的理解和疑問，社會建構(gòu)利于學(xué)生呈現(xiàn)自己的觀點(diǎn)與不足，學(xué)生之間可針對彼此的觀點(diǎn)進(jìn)行補(bǔ)充或提出質(zhì)疑，促進(jìn)認(rèn)知沖突的解決，最終促進(jìn)符號思維的發(fā)展。該策略的目的是利用協(xié)作對話的交互作用，使學(xué)生持續(xù)改進(jìn)自己對于符號的觀點(diǎn)，從而實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)的深層次的轉(zhuǎn)變，促進(jìn)符號思維的發(fā)展。