振蕩激波作用下壁板的非線性動(dòng)力學(xué)特性分析

葉柳青　葉正寅

摘要： 沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)內(nèi)部的激波串往往存在振蕩特征，揭示此種狀態(tài)下壁板的氣動(dòng)彈性特性對(duì)結(jié)構(gòu)安全性具有重要指導(dǎo)作用?；趘on Kármán 大變形理論和當(dāng)?shù)匾浑A活塞流理論，采用?Galerkin 方法建立了振蕩激波作用下壁板的非線性動(dòng)力學(xué)方程，通過龍格?庫(kù)塔法對(duì)非線性動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行數(shù)值積分求解，在不同的系統(tǒng)參數(shù)（即激波強(qiáng)度、激波振蕩幅值以及振蕩頻率）下，取來流動(dòng)壓為分岔參數(shù)，研究壁板在振蕩激波作用下的分岔及混沌等復(fù)雜動(dòng)力學(xué)特性。計(jì)算結(jié)果表明：與激波位置固定情況相比，壁板在振蕩激波作用下表現(xiàn)出更加豐富的動(dòng)力學(xué)行為，其分岔特性更加復(fù)雜。極限環(huán)幅值隨著激波強(qiáng)度和振蕩幅值的增大而增大。激波的振蕩容易激發(fā)出混沌運(yùn)動(dòng)，并且通往混沌的道路為準(zhǔn)周期道路。激波強(qiáng)度的增大不會(huì)改變通往混沌的道路，而當(dāng)激波振蕩幅值大幅度提高時(shí)，不僅混沌區(qū)域顯著增大，通往混沌的道路不再是準(zhǔn)周期道路，而是經(jīng)歷更為復(fù)雜的過程進(jìn)入混沌。

關(guān)鍵詞： 極限環(huán);?混沌;?分岔;?振蕩激波;?當(dāng)?shù)鼗钊骼碚?/p>

中圖分類號(hào)： O322;?V215.3 ???文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A ???文章編號(hào)： 1004-4523（2022）02-0464-11

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2022.02.022

引 言

沖壓/超燃沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)¹是一類結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單的吸氣式發(fā)動(dòng)機(jī)，直接利用空氣作為燃料氧化劑，其推進(jìn)劑的比沖（用于衡量火箭或飛機(jī)發(fā)動(dòng)機(jī)效率的重要物理參數(shù)）比火箭發(fā)動(dòng)機(jī)高數(shù)倍，是下一代發(fā)動(dòng)機(jī)的首選。這類發(fā)動(dòng)機(jī)結(jié)構(gòu)形式主要為薄壁板結(jié)構(gòu)，其氣動(dòng)彈性主要表現(xiàn)為壁板顫振的方式。壁板顫振是壁板結(jié)構(gòu)在慣性力、彈性力和氣動(dòng)力耦合作用下產(chǎn)生的一種動(dòng)態(tài)失穩(wěn)現(xiàn)象。不同于機(jī)翼顫振導(dǎo)致結(jié)構(gòu)迅速的破壞，壁板顫振振動(dòng)的幅值一般受到結(jié)構(gòu)非線性的限制不會(huì)引發(fā)迅速的破壞，而更多的是造成結(jié)構(gòu)的疲勞損傷。雖然不同于機(jī)翼顫振一定會(huì)造成嚴(yán)重的飛行事故，但是劇烈的壁板顫振將會(huì)對(duì)壁板結(jié)構(gòu)的疲勞壽命甚至飛行器的飛行性能產(chǎn)生不利的影響。

壁板顫振系統(tǒng)的研究始于20世紀(jì)50年代，其分析內(nèi)容主要有兩方面：1）壁板的線性顫振邊界分析，即確定壁板顫振發(fā)生的臨界條件，并研究系統(tǒng)參數(shù)對(duì)壁板顫振臨界速度的影響規(guī)律;2）壁板顫振的非線性顫振響應(yīng)分析，即求解得到非線性顫振響應(yīng)的幅值和頻率，其中特別關(guān)注系統(tǒng)響應(yīng)性質(zhì)發(fā)生轉(zhuǎn)變的情況，如由周期性極限環(huán)顫振轉(zhuǎn)變?yōu)榛煦珙澱?。由于不同的振?dòng)形式，估計(jì)壁板疲勞壽命的算法不同，因此研究壁板非線性氣動(dòng)彈性系統(tǒng)中出現(xiàn)的各種復(fù)雜的響應(yīng)也是壁板顫振分析中一項(xiàng)非常重要的內(nèi)容。Dowell通過改變動(dòng)壓和面內(nèi)力，研究了簡(jiǎn)支板的混沌現(xiàn)象。結(jié)果表明，對(duì)于各向同性簡(jiǎn)支板，當(dāng)面內(nèi)力足夠大時(shí)，動(dòng)壓超過一定值就會(huì)出現(xiàn)混沌現(xiàn)象。不僅考慮熱應(yīng)力，還考慮隨著溫度的升高材料的機(jī)械性能發(fā)生改變，葉獻(xiàn)輝等研究了熱環(huán)境下二維壁板的非線性顫振特性，結(jié)果表明，系統(tǒng)呈現(xiàn)出豐富的動(dòng)力學(xué)行為，包括衰減振動(dòng)、極限環(huán)振動(dòng)、擬周期振動(dòng)和混沌振動(dòng)。楊智春等采用帶有曲率修正的一階活塞理論，對(duì)超音速氣流中受熱壁板的動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行研究。Wang等對(duì)黏彈性壁板在壁板兩面都受到氣動(dòng)力作用時(shí)的分岔特性和混沌響應(yīng)進(jìn)行了研究，結(jié)果表明，黏彈性阻尼可以有效地抑制混沌運(yùn)動(dòng)。

對(duì)于沖壓/超燃沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)來說，在發(fā)動(dòng)機(jī)內(nèi)部流場(chǎng)中存在著復(fù)雜的波系，因此有必要對(duì)激波作用的流場(chǎng)中薄壁板的氣動(dòng)彈性特性進(jìn)行研究。假定激波位置固定在二維壁板的中點(diǎn)不變，Visbal從數(shù)值的角度分別研究了無黏流場(chǎng)與黏性流場(chǎng)中受激波作用的二維壁板氣動(dòng)彈性問題。Brouwer等提出了用當(dāng)?shù)鼗钊骼碚搧眍A(yù)測(cè)有激波作用的流場(chǎng)中氣動(dòng)力的可行性。Ye等基于當(dāng)?shù)鼗钊骼碚?，建立了激波作用下壁板氣?dòng)彈性穩(wěn)定性的理論分析模型，推導(dǎo)出了受熱壁板發(fā)生氣動(dòng)彈性失穩(wěn)的邊界條件，并分析了激波強(qiáng)度、激波沖擊位置對(duì)臨界顫振動(dòng)壓的影響。采用雙向流固耦合算法，李映坤等研究了斜激波沖擊作用下曲壁板的氣動(dòng)彈性響應(yīng)特性。上述的研究都假定激波位置固定不變，但實(shí)際上，沖壓/超燃發(fā)動(dòng)機(jī)內(nèi)部的激波串往往存在振蕩特征。目前僅有少量的文獻(xiàn)考慮激波位置隨時(shí)間發(fā)生改變。Miller等基于von Kármán大變形板彎理論、CFD代理模型和熱傳導(dǎo)理論建立了基于流固熱的氣動(dòng)彈性分析模型，可對(duì)運(yùn)動(dòng)激波作用下的壁板氣動(dòng)彈性響應(yīng)進(jìn)行長(zhǎng)時(shí)間的計(jì)算。Brouwer等在流場(chǎng)中設(shè)置正弦振動(dòng)的激波發(fā)生器來產(chǎn)生振蕩激波，采用CFD和活塞流理論結(jié)合的方式進(jìn)行氣動(dòng)力建模，分別計(jì)算了振蕩激波主導(dǎo)流場(chǎng)中作用在二維和三維壁板上的非定常氣動(dòng)力。其中氣動(dòng)力的定常部分和非定常分量分別由CFD和活塞理論計(jì)算得到。結(jié)果發(fā)現(xiàn)計(jì)算得到的廣義氣動(dòng)力與非定常CFD的計(jì)算結(jié)果吻合較好，由此說明了此方法預(yù)測(cè)振蕩激波流場(chǎng)中氣動(dòng)力的可行性。Dennis等采用風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)對(duì)在快速移動(dòng)的激波作用下彈性壁板的氣動(dòng)彈性特性進(jìn)行了初步的研究，結(jié)果表明，與激波位置固定不變的情況相比，彈性壁板在快速移動(dòng)的激波作用下振動(dòng)幅值顯著提高。對(duì)于彈性壁板在振蕩激波作用下的分岔及混沌等復(fù)雜動(dòng)力學(xué)特性，還鮮有系統(tǒng)性的研究報(bào)道。

本文針對(duì)振蕩激波作用下壁板的非線性動(dòng)力學(xué)問題，基于von Kármán大變形理論及當(dāng)?shù)匾浑A活塞流理論，采用Galerkin方法建立了振蕩激波作用下二維壁板的非線性動(dòng)力學(xué)方程，通過龍格?庫(kù)塔法對(duì)非線性動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行數(shù)值積分求解，分析了系統(tǒng)參數(shù)（即激波強(qiáng)度、激波振蕩幅值以及激波振蕩頻率）對(duì)壁板分岔特性及混沌運(yùn)動(dòng)的影響。其中，為了準(zhǔn)確識(shí)別和分析壁板在振蕩激波作用下的非線性動(dòng)力學(xué)行為，使用相圖、Poincaré映射圖以及最大Lyapunov指數(shù)（Largest Lyapunov Exponent，?LLE）來進(jìn)行判斷和分析。研究工作不僅加深了對(duì)彈性壁板在振蕩激波作用下的非線性動(dòng)力學(xué)行為的理解，研究結(jié)論對(duì)超聲速飛行器壁板設(shè)計(jì)也有一定的參考價(jià)值。