群的概念教學(xué)中幾個(gè)有限生成群的例子

摘 要：群的概念是抽象代數(shù)中的最基本的概念之一，在抽象代數(shù)課程的教學(xué)環(huán)節(jié)中融入一些有趣的群例，借助于這些較為具體的群例來(lái)解釋抽象的群理論，對(duì)于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣以及鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力等方面都會(huì)起到一定的積極作用。該文介紹了一種利用英文字母表在一定的規(guī)則下構(gòu)造的有限生成自由群的例子，即該自由群的同音商，稱為英語(yǔ)同音群。此外，該文結(jié)合線性代數(shù)中的矩陣相關(guān)知識(shí)，給出了有限生成群SL_2 （Z）以及同構(gòu)于二面體群D_3和三次對(duì)稱群S_3的若干有限生成群。

關(guān)鍵詞：群英語(yǔ)同音群矩陣群對(duì)稱群二面體群

中圖分類號(hào)：O151.2? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-3791（2022）03（a）-0000-00

Several Examples of Finitely Generated Groups

HUO Lijun

（School of Science， Chongqing University of Technology， Chongqing， 400054 China）

Abstract： The concept of group is one of the most basic concepts in abstract algebra. If we integrate some interesting examples of group into the teaching process of abstract algebra and use somespecific group examples to explain the abstract group theory， then it will have a positive effect on stimulating students' interest in learning and improving the students' mathematical thinking ability.In this paper， we introduce an example of finitely generated free group by using the English alphabet under some certain rules， which is called homophonic quotients of free groups， or briefly called English homophonic group. In addition， combined with the theory of matrix in linear algebra， we give a finitely generated groupSL_2 （Z）andseveralfinitely generated groups which isomorphic to the dihedral groupD_（3 ）andthesymmetric groupon 3 lettersS_3.

Key Words： Group; English homophonic group; Matrix group; Symmetric group; Dihedral group

1 引言及準(zhǔn)備知識(shí)

群是代數(shù)學(xué)中一個(gè)最基本的代數(shù)結(jié)構(gòu)，群的概念已有悠久的歷史，最早起源于19世紀(jì)初葉人們對(duì)代數(shù)方程的研究，它是阿貝爾、伽羅瓦等著名數(shù)學(xué)家對(duì)高次代數(shù)方程有無(wú)公式解問(wèn)題進(jìn)行探索的結(jié)果，有關(guān)群的理論被公認(rèn)為是19世紀(jì)最杰出的數(shù)學(xué)成就之一[1-2]。群是一個(gè)較為抽象的概念，然而這里所謂的“抽象”并非“具體”的反義詞，它實(shí)質(zhì)上是將研究對(duì)象的本質(zhì)提煉出來(lái)，加以高度概括進(jìn)而描述其特點(diǎn)。在概念教學(xué)中經(jīng)常舉一些群的例子使概念具象化，在這一重要的教學(xué)環(huán)節(jié)中列舉一些較為有趣的例子會(huì)使得課堂教學(xué)更為形象而生動(dòng)。該文將結(jié)合相關(guān)英語(yǔ)知識(shí)的學(xué)習(xí)以及線性代數(shù)中矩陣?yán)碚搧?lái)給出若干有限生成群，它們都是有限生成群的基本群例。

下面給出有限生成（自由）群、等價(jià)關(guān)系以及商群等基本概念。

定義1[3]：設(shè)G是群，M是G的任一子集，則稱G的所有包含M的子群的交為由M生成的子群，記為?M?，由有限多個(gè)元素生成的群叫做有限生成群。

定義2[4]：設(shè)S為任意集合，S^（-1）=＼{x^（-1） | x∈S＼}，集合S∪S^（-1）中有限個(gè)元素x_1，x_2，…，x_n連在一起即x_1 x_2…x_n叫做一個(gè)字，用F（S）表示所有這樣的字（包括空字1）組成的集合，即

這里當(dāng)n=0時(shí)，規(guī)定a_1 a_2…a_n=1。在F（S）中字x_1 x_2…x_n和y_1 y_2…y_m相等，如果n=m，且x_i=y_i，1≤?≤n，同時(shí)定義兩個(gè)字的運(yùn)算為

約定對(duì)任意a∈F（S），aa^（-1）=a^（-1） a=1，且1a=a1=a。此時(shí)F（S）中每個(gè)元素均有逆元，如a的逆元為a^（-1），從而F（S）對(duì)于上述運(yùn)算和約定成群，叫做集合S上的自由群，S叫做此自由群的基。如果S是有限集，則F（S）叫做有限生成自由群。

自由群有著重要的作用，每個(gè)群都是自由群的商群，每個(gè)有限生成群都是有限生成自由群的商群[4]。

定義3[4]：設(shè)A是集合，集合A×A的每個(gè)子集R叫做集合A上的一個(gè)關(guān)系，如果（a，b）∈R，便稱a和b有關(guān)系R，集合上的關(guān)系叫做等價(jià)關(guān)系如果它滿足自反性，對(duì)稱性和傳遞性。

特別地，如果A是一個(gè)乘法群，對(duì)A∕～中的元素a ?，b ?定義a ?b ?：=（ab） ?，則A關(guān)于等價(jià)關(guān)系～的商集A∕～也是一個(gè)群，稱為商群。

2 有限生成群的構(gòu)造舉例

2.1 同音群的構(gòu)造

在群的研究中，有限生成群是群論研究的重要對(duì)象之一。不同于以往常見(jiàn)的直接給出群例的方法，下面該文結(jié)合英語(yǔ)單詞介紹一個(gè)由英文字母表生成的群。設(shè)S是26個(gè)英文字母構(gòu)成的集合，F(xiàn)（S）是S上的有限生成自由群。如果兩個(gè)不同的英語(yǔ)單詞的音標(biāo)在字典里是相同的，那么就說(shuō)它們是同音的。在F（S）上如下定義一個(gè)關(guān)系：?jiǎn)卧~A和B是等價(jià)的，如果它們是同音的。例如：bee和be的發(fā)音相同，則bee=be，再由消去律，等式兩邊消去be得到e=1，這里1表示同音群F（S）的單位元。顯然英文單詞之間的同音關(guān)系滿足自反性、對(duì)稱性和傳遞性，進(jìn)而是一種等價(jià)關(guān)系。令G是自由群F（S）在此等價(jià)關(guān)系下的商，稱為英文同音群[5-6]，下面考察G的結(jié)構(gòu)。

眾所周知，即便是2生成元群在滿足一定的有限性條件時(shí)都可能有非常復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，那么在這樣的規(guī)定則下，在26個(gè)英文字母中有多少個(gè)等價(jià)的字母直接決定了該群的復(fù)雜程度。通過(guò)考察音標(biāo)相同的詞匯[7-9]，易得以下結(jié)論：

（1）plum=plumb[pl?m] ?b=1;

（2）four=for[f??r] ?u=1;

（3）son=sun [s?n] ?o=u=1;

（4）bee=be [bi?] ?e=1;

（5）wring=ring [r??] ?w=1;

（6）hour=our[a?r] ?h=1;

（7）knew=new[nu：] ?k=1;

（8）scent=sent [sent] ?c=1;

（9）yap=yapp [j?p] ?p=1;

（10）farther=father[?fɑ?e?r] ?r=1;

（11）primmer=primer[?pr?m?] ?m=1;

（12）would=wood[w?d] ?ul=o，再由o=u=1得l=1;

（13）threw=through[θru?] ?ew=ough，再由e=o=u=w=h=1可得g=1;

（14）jeans=genes[d?i：nz] ?j=g=1;

（15）hair=hare[her] ?ir=re?i=1;

（16）dye=die[da?] ?y=i=1;

（17）band=banned[b?nd]?ne=1， 再由e=1得n=1;

（18）sea=see[si?]?a=e=1;

（19）pique=peak [pi?k] ?ique=eak， 再由i=q=e=a=k=1可得q=1;

（20）sent=cent[sent] ?s=c=1;

（21）which=witch[w?t?] ?hi=it，再由i=1可得t=1;

（22）guessed=guest [ɡest]?sed=t，再由 s=e=1可得d=t=1;

（23）pries=prize[pra?z] ?es=ze?z=s=1;

（24）profit=prophet [?prɑ?f?t]?f=phe，進(jìn)一步由p=h=e =1可得f=1;

（25）由wax=whacks[w?ks]， 以及a=h=c=k=s=1得x=1;

（26）chivvy =chivy[?t??vi] ? v=1。

由上面的推理可知同音群G事實(shí)上就是以單位元為元素的群，即單位元群。

2.2 由矩陣構(gòu)造的有限生成群

在學(xué)習(xí)群的例子時(shí)，一般都會(huì)提到在數(shù)域F上的全體n階可逆矩陣在矩陣乘法下構(gòu)成一個(gè)矩陣群GL_n （F），稱為一般線性群，其中所有行列式為1的可逆陣組成的群SL_n （F）稱為特殊線性群。下面考察由兩個(gè)二階矩陣生成的群。

例：設(shè)Z為整數(shù)環(huán)，定義

S=（（0&1@-1&0）），T=（（1&1@0&1））

則S和T生成Z上的一個(gè)無(wú)限群，即特殊線性群SL_2 （Z）。事實(shí)上，易知T^k=（（1&k@0&amp;1）），任取SL_2 （Z）中的元素A=（（a&b@c&d）），如果cd≠0，由于矩陣A的行列式等于1，有（c，d）=1，由整數(shù)的帶余除法d=cq_1+r_1其中0≤r_1<|c|，則可對(duì)A進(jìn)行如下列變換：

其中b_1=b-aq_1，進(jìn)一步上式兩端右乘S得，（（a&b@c&d）） T^（〖-q〗_1 ） S=（（〖-b〗_1&a@〖-r〗_1&c））， 如果r_1≠0，則可以重復(fù)上面的步驟，因?yàn)椋╟，d）=1，（（a&b@c&d））總可以經(jīng)過(guò)以類似上面的初等變換化為（（1&b'@0&1）），又注意到（（1&b'@0&1））=T^b'，從而任意A∈SL_2 （Z）都可以寫(xiě)成有限多個(gè)S，S^（-1）和T的乘積，即SL_2 （Z）由S和T生成。

下面該文利用GL_2 （F）中的元素去構(gòu)造一個(gè)群，給出一個(gè)簡(jiǎn)單易懂的由兩個(gè)二階可逆矩陣生成的有限群。

例：令矩陣A=（（0&-1@1&-1）），B=（（1&-1@0&-1））∈GL_2 （F），現(xiàn)考察由A，B這兩個(gè)元素生成的群會(huì)是什么結(jié)構(gòu)。

定義該群的運(yùn)算為通常意義下矩陣的乘法運(yùn)算，單位元為GL_2 （F）中的單位矩陣I_2。通過(guò)計(jì)算容易得到：

即A，B的階分別是3和2，且A，B滿足關(guān)系：ABA=B，即B^（-1） AB=A^（-1）。從而該文得到由A，B生成的群是這樣一個(gè)6階群?A，B?={I_2 〖，A，A〗^2，B，AB，A^2 B=BA}。通過(guò)考察二面體群的結(jié)構(gòu)容易知道該群同構(gòu)于二面體群D_3。此外，較為熟知的三次對(duì)稱群S_3的生成元a=（123），b=（12）也滿足a^3=1，b^2=1，且b^（-1） ab=a^（-1），因此?A，B?和S_3也是同構(gòu)的，在同構(gòu)的意義下它們是相同的。

事實(shí)上，三次對(duì)稱群S_3的矩陣表示形式是多樣的，如根據(jù)二面體群D_3的幾何意義，S_3可以同構(gòu)于二階矩陣M，N生成的群?M，N?，其中

3 結(jié)語(yǔ)

在教學(xué)過(guò)程中，結(jié)合數(shù)學(xué)內(nèi)外的知識(shí)，將一些有趣味的數(shù)學(xué)活動(dòng)滲透到抽象代數(shù)的教學(xué)過(guò)程中，可以讓學(xué)生在潛移默化中體會(huì)抽象的數(shù)學(xué)思維方式，同時(shí)對(duì)于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣以及提升課堂有效性方面都要重要的意義。

參考文獻(xiàn)

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基金項(xiàng)目：重慶理工大學(xué)本科教育教學(xué)改革研究項(xiàng)目（項(xiàng)目編號(hào)：2018QN06）。

作者簡(jiǎn)介：霍麗君（1983—），女，博士，講師，主要從事代數(shù)學(xué)研究。