考慮力學(xué)約束的核石墨表面變形場(chǎng)測(cè)量研究

王璐，易亞楠，劉廣彥，馬沁巍，馬少鵬

（1. 北京理工大學(xué) 宇航學(xué)院，北京 100081；2. 上海交通大學(xué) 船舶海洋與建筑工程學(xué)院，上海 200240）

高溫氣冷堆是第4 代先進(jìn)核電技術(shù)的代表，具有安全性和發(fā)電效率高等優(yōu)點(diǎn)[1]. 核石墨作為慢化劑、結(jié)構(gòu)材料和反射層廣泛應(yīng)用于高溫氣冷堆的各種基礎(chǔ)建設(shè)中[2?3]，因此對(duì)核石墨力學(xué)性能的研究具有重要意義. 對(duì)于材料構(gòu)件受載變形的測(cè)量分析，目前普遍采用應(yīng)變片等接觸式方法進(jìn)行測(cè)量，然后基于測(cè)量的離散點(diǎn)信息再進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析. 過(guò)少的測(cè)量點(diǎn)往往會(huì)產(chǎn)生較大的測(cè)量噪聲，而且應(yīng)變片實(shí)施起來(lái)工序繁瑣，不利于工程大批量測(cè)試要求[4]. 為了更好地對(duì)核石墨材料變形狀態(tài)進(jìn)行分析，研究非接觸、高性能、便捷的測(cè)量方法至關(guān)重要.

數(shù)字圖像相關(guān)（digital image correlation, DIC）[5]方法又稱為數(shù)字散斑相關(guān)方法(digital speckle correlation method，DSCM)，是一種基于圖像分析的非接觸變形場(chǎng)測(cè)量方法. DIC 利用數(shù)字相機(jī)記錄試件表面的散斑圖像，然后對(duì)散斑圖像進(jìn)行相關(guān)分析獲得試件表面的變形場(chǎng). DIC 方法以其對(duì)測(cè)試環(huán)境要求低、實(shí)施簡(jiǎn)單、測(cè)量范圍易調(diào)節(jié)等優(yōu)勢(shì)[6]而被廣泛接受并應(yīng)用. 劉劉等[7]基于數(shù)字圖像相關(guān)技術(shù)實(shí)現(xiàn)了多孔氣凝膠基復(fù)合材料彈性力學(xué)常數(shù)的識(shí)別. 曾祥福等[8]基于三維數(shù)字圖像相關(guān)技術(shù)對(duì)鋁板及石墨圓柱試件動(dòng)載下的材料力學(xué)行為進(jìn)行了研究. DIC 方法對(duì)于簡(jiǎn)單表面的簡(jiǎn)單變形（如伸縮變形）的測(cè)量精度基本滿足工程測(cè)量的需求. 然而，在很多實(shí)際工況下，局部變形場(chǎng)（應(yīng)變高度集中區(qū)，如剪切帶[9]、試件缺口附近[10?11]和裂紋尖端[12]）的位移測(cè)量誤差可達(dá)到百分之幾十像素甚至整像素[13]. 這導(dǎo)致使用者很難判斷測(cè)量結(jié)果的可靠性. 核反應(yīng)堆中的構(gòu)件往往結(jié)構(gòu)復(fù)雜，存在大量溝槽結(jié)構(gòu)，局部具有應(yīng)力集中效應(yīng)，因此常規(guī)子區(qū)DIC 方法難以滿足測(cè)量要求. 大多復(fù)雜形狀試件或結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能以及破壞過(guò)程與其邊界的應(yīng)變狀態(tài)有重要的關(guān)聯(lián). 如圓環(huán)受壓結(jié)構(gòu)，它的破壞往往是從圓環(huán)邊界開(kāi)始的[14]. 因此復(fù)雜形狀試件或結(jié)構(gòu)邊界的變形成為很多實(shí)驗(yàn)的觀測(cè)重點(diǎn). 在多數(shù)實(shí)際工況下，局部變形場(chǎng)無(wú)法通過(guò)應(yīng)變片測(cè)量，因?yàn)閼?yīng)變片尺寸內(nèi)高梯度的應(yīng)變會(huì)被平均. 此時(shí)，采用DIC 方法雖然能夠測(cè)量這些高應(yīng)變梯度區(qū)的局部變形場(chǎng)，但由于子區(qū)DIC 僅能計(jì)算獲得子區(qū)中心點(diǎn)的變形信息[15]，因此無(wú)法直接計(jì)算獲得邊界處的變形信息. 網(wǎng)格DIC[16?17]可以實(shí)現(xiàn)包含邊界的全場(chǎng)測(cè)量，但由于其計(jì)算過(guò)程復(fù)雜、運(yùn)行效率低下，難以滿足工程上大規(guī)模測(cè)試的要求.

為了準(zhǔn)確地獲得核石墨構(gòu)件表面變形場(chǎng)，本文發(fā)展了一種考慮力學(xué)約束的DIC 方法（mechanicsconstrained，DIC），以下簡(jiǎn)稱為MC-DIC 方法. MC-DIC方法保留了子區(qū)DIC 計(jì)算便捷的優(yōu)勢(shì)，針對(duì)其無(wú)法實(shí)現(xiàn)邊界測(cè)量、測(cè)量結(jié)果不具有空間連續(xù)性等問(wèn)題進(jìn)行了改進(jìn). 文章通過(guò)模擬實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了算法的有效性，并將其成功地應(yīng)用于真實(shí)核石墨圓環(huán)對(duì)徑壓縮試件全場(chǎng)變形測(cè)量.

1 MC-DIC 基本原理

MC-DIC 的計(jì)算流程主要分為兩部分：子區(qū)DIC計(jì)算與考慮力學(xué)約束的位移場(chǎng)空間重構(gòu). 首先采用子區(qū)DIC 進(jìn)行相關(guān)計(jì)算獲得試件表面位移場(chǎng)和相關(guān)系數(shù)場(chǎng)；其次通過(guò)相關(guān)系數(shù)[18]確定高精度位移點(diǎn)（以下簡(jiǎn)稱信賴點(diǎn)）；之后采用8 節(jié)點(diǎn)等參單元在試件表面構(gòu)建網(wǎng)格，單元與單元之間通過(guò)節(jié)點(diǎn)連接形成力學(xué)約束；然后基于信賴點(diǎn)實(shí)現(xiàn)全部單元節(jié)點(diǎn)位移的反演；最后基于得到的單元節(jié)點(diǎn)位移實(shí)現(xiàn)整個(gè)變形場(chǎng)的重構(gòu)，從而實(shí)現(xiàn)試件表面變形場(chǎng)的求解. 流程圖如圖1 所示.

圖1 MC-DIC 計(jì)算流程圖Fig. 1 Flow chart of MC-DIC

相關(guān)系數(shù)計(jì)算如下所示

式中：f(x,y) 與g(x+u,y+v)分別為變形前后各像素點(diǎn)的灰度值；與為變形前后計(jì)算子區(qū)內(nèi)的灰度平均值；u，v為子區(qū)中心點(diǎn)的位移；2N為參考圖像子區(qū)的寬度.

圖1 中黑色方形代表非信賴點(diǎn)，即相關(guān)系數(shù)較低的像素點(diǎn)；灰色圓形代表信賴點(diǎn)，即相關(guān)系數(shù)較高的像素點(diǎn)；黑色圓點(diǎn)代表網(wǎng)格節(jié)點(diǎn). 在傳統(tǒng)子區(qū)DIC計(jì)算過(guò)程中，由于各種因素的影響，許多散斑點(diǎn)往往無(wú)法實(shí)現(xiàn)很好地匹配，尤其是試件邊界附近，使得這些計(jì)算點(diǎn)的相關(guān)系數(shù)較低. 考慮到試件表面的變形場(chǎng)必然服從力學(xué)約束，因此通過(guò)信賴點(diǎn)再加上力學(xué)先驗(yàn)約束即可求解出高質(zhì)量的全場(chǎng)變形. 相關(guān)系數(shù)（式（1））表征了該點(diǎn)位移計(jì)算的置信度，相關(guān)系數(shù)越大（越接近1），表明該位移值計(jì)算得越準(zhǔn)確. 為了獲得高精度的表面變形場(chǎng)，本文選取相關(guān)系數(shù)C>0.95的計(jì)算點(diǎn)作為信賴點(diǎn). 考慮到已有大量關(guān)于子區(qū)DIC 原理介紹的文獻(xiàn)，此處僅重點(diǎn)介紹位移場(chǎng)空間重構(gòu)的基本原理.

MC-DIC 空間位移場(chǎng)重構(gòu)借鑒了有限單元法的思想，將試件表面劃分為若干個(gè)單元，單元與單元之間通過(guò)節(jié)點(diǎn)連接，保證了計(jì)算區(qū)域位移的連續(xù)性，符合試件表面真實(shí)位移的空間分布[19]. 由于節(jié)點(diǎn)位于單元的邊界，因此將單元節(jié)點(diǎn)布置于試件邊界處時(shí)即可計(jì)算試件邊界處的變形. MC-DIC 以每個(gè)單元節(jié)點(diǎn)的位移作為參數(shù)空間，將單元內(nèi)的信賴點(diǎn)通過(guò)形函數(shù)與各自單元的8 個(gè)節(jié)點(diǎn)建立位移約束關(guān)系，基于已知信賴點(diǎn)位移通過(guò)優(yōu)化的方式反演出所有節(jié)點(diǎn)的位移，之后再基于節(jié)點(diǎn)位移重構(gòu)出單元中所有像素點(diǎn)的位移，如圖2. 考慮到實(shí)際構(gòu)件中單元形狀的不規(guī)則性，此處采用了有限單元法中等參元的思想，將每個(gè)單元從全局坐標(biāo)系xoy中映射到局部坐標(biāo)系ξoη中，2 個(gè)坐標(biāo)系的數(shù)學(xué)關(guān)系如下

圖2 8 節(jié)點(diǎn)等參單元中全局坐標(biāo)系和局部坐標(biāo)系的關(guān)系Fig. 2 Relationship of global and local coordinates in the 8-node quadrilateral elements

式中：ξ和η為局部坐標(biāo)系的橫縱坐標(biāo)軸；x和y為全局坐標(biāo)系坐標(biāo)軸，Ni(ξ,η)為單元內(nèi)第i個(gè)節(jié)點(diǎn)的形函數(shù)，與有限元法的形函數(shù)相同.

在全局坐標(biāo)系xoy中，像素點(diǎn)(x,y)的位移可以用局部坐標(biāo)系ξoη中相對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(ξ,η)來(lái)表示，即

式中：u和v分別為節(jié)點(diǎn)沿橫軸和縱軸方向的位移；Ω為計(jì)算區(qū)域；m為單元編號(hào)；i為單元內(nèi)節(jié)點(diǎn)編號(hào).

目標(biāo)函數(shù)可表達(dá)為

式中：t和h分別為子區(qū)DIC 計(jì)算得到的信賴點(diǎn)和與之對(duì)應(yīng)的重構(gòu)位移點(diǎn)；M為目標(biāo)區(qū)域信賴點(diǎn)的數(shù)量.因此，位移場(chǎng)的求解最終可以轉(zhuǎn)化為求解Jloss全局最小值問(wèn)題，此處可以采用NR 算法[20]、LM 算法[21]和遺傳算法[22]等，完成求解后可一次性獲得全場(chǎng)變形.

2 模擬實(shí)驗(yàn)

為驗(yàn)證上述MC-DIC 方法的有效性，首先進(jìn)行了開(kāi)孔方板壓縮模擬實(shí)驗(yàn)，模型示意圖及網(wǎng)格劃分如圖3 所示，線載荷密度為1.4×107N /pixel，楊氏模量E=1010Pa，泊松比v=0.33. 實(shí)驗(yàn)以式（6）作為目標(biāo)函數(shù)，采用LM算法進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算，當(dāng)Jloss的改變量小于10?6或待優(yōu)化參數(shù)變化量小于10?3時(shí)候迭代終止.實(shí)驗(yàn)所用的參考圖像來(lái)源于真實(shí)的散斑圖像，圖像采用8 bit 編碼，灰度介于0～255 之間. 變形圖像通過(guò)參考圖像使用立方插值生成，每個(gè)整像素點(diǎn)的位移由開(kāi)孔壓縮理論解（式（7）～（9））生成

圖3 開(kāi)孔方板模型示意圖及MC-DIC 網(wǎng)格布置圖Fig. 3 The geometry of open-hole specimen and meshing scheme in MC-DIC

式中：

分別采用子區(qū)DIC 和MC-DIC 求解位移場(chǎng)，子區(qū)DIC 的相關(guān)窗設(shè)置為9 pixels，計(jì)算結(jié)果圖4 所示.圖4（a）為采用式（7）～（9）生成的理論解；圖4（b）為采用子區(qū)DIC 方法計(jì)算得到的位移場(chǎng)；圖4（c）為MC-DIC 計(jì)算得到的位移場(chǎng)，其選用相關(guān)系數(shù)0.95 的點(diǎn)作為信賴點(diǎn). 圖4（d）為MC-DIC 計(jì)算得到的位移場(chǎng)，但其選用相關(guān)系數(shù)C>0 的點(diǎn)作為信賴點(diǎn)，即所有DIC 計(jì)算點(diǎn)都參與空間重構(gòu). 從圖中可以看出，圖4（b）所示位移場(chǎng)不光滑且不具有連續(xù)性，尤其是在模型邊界處變形更為明顯. 圖4（c）與圖4（a）最為接近，位移場(chǎng)光滑并具有連續(xù)性. 圖4（d）計(jì)算得到的位移場(chǎng)也光滑并具有連續(xù)性，但由于采用所有計(jì)算點(diǎn)進(jìn)行重構(gòu)，大量低匹配度的位移點(diǎn)嚴(yán)重影響了重構(gòu)效果.為了更加直觀地展示出不同方法的計(jì)算效果，圖5 給出了圖3 黑線處計(jì)算得到的像素點(diǎn)位移（從左至右）. 從圖中可以看出DIC、MC-DIC(C>0.95)與理論解在非邊界區(qū)域計(jì)算結(jié)果較為吻合，考慮信賴點(diǎn)的MC-DIC(C>0.95)在邊界區(qū)域的計(jì)算結(jié)果與理論解更為接近. 這表明MC-DIC 方法在考慮信賴點(diǎn)的情況下可以很好地實(shí)現(xiàn)材料全場(chǎng)變形測(cè)量.

圖4 不同方法計(jì)算得到的位移場(chǎng)Fig. 4 Displacement fields obtained by different methods

圖5 不同方法計(jì)算得到的圖3 黑線處位移Fig. 5 Displacement obtained by different methods (blackline in Fig.3)

3 實(shí) 驗(yàn)

為了獲得核石墨構(gòu)件表面高精度變形場(chǎng)，本節(jié)采用MC-DIC 方法對(duì)其表面變形場(chǎng)進(jìn)行測(cè)量. 圖6 與表1 給出了核石墨圓環(huán)構(gòu)件的尺寸和材料參數(shù)，實(shí)驗(yàn)采用WDW-50E 試驗(yàn)機(jī)，利用位移加載方式，加載速度為0.05 mm/min，CCD 相機(jī)的分辨率為1 628×1 236. 試驗(yàn)采用50 mm 長(zhǎng)焦鏡頭來(lái)捕捉目標(biāo)區(qū)域的散斑圖像，采集幀率為1 fps(圖7). 試件的表面噴涂不規(guī)則的散斑用于追蹤像素點(diǎn)的位移量. 獲得的圖片采用VIC-2D 進(jìn)行處理，子區(qū)大小為47 pixels，計(jì)算步長(zhǎng)為10.

圖6 核石墨圓環(huán)對(duì)徑壓縮實(shí)驗(yàn)示意圖及MC-DIC 網(wǎng)格布置圖Fig. 6 Diametrical compression test diagram of the nuclear graphite ring and meshing scheme in MC-DIC

圖7 核石墨圓環(huán)對(duì)徑壓縮試驗(yàn)布置Fig. 7 Experimental setup of nuclear graphite diametrical compression test

表1 核石墨圓環(huán)尺寸及材料參數(shù)Tab. 1 Ring specimen dimensions and mechanical properties of nuclear graphite

圖8 展示了子區(qū)DIC 與MC-DIC 計(jì)算得到核石墨圓環(huán)表面位移場(chǎng). 從圖8 中可以看出MC-DIC 計(jì)算結(jié)果（圖8（c）8（d））更加平滑，其包含了圓環(huán)邊界的變形信息. 子區(qū)DIC 無(wú)法獲得邊界變形信息，由于計(jì)算位移點(diǎn)之間并沒(méi)有力學(xué)約束，因此計(jì)算得到的位移場(chǎng)并不連續(xù). 由于子區(qū)DIC 無(wú)法計(jì)算出核石墨邊界處的變形信息，因此無(wú)法通過(guò)子區(qū)DIC 計(jì)算結(jié)果準(zhǔn)確獲得材料的力學(xué)參數(shù)，例如拉伸破壞應(yīng)變和抗拉強(qiáng)度等.

圖8 不同方法計(jì)算得到的核石墨圓環(huán)位移場(chǎng)Fig. 8 Displacement fields of nuclear graphite ring calculated by different methods

為了更加直觀地感受2 種方法計(jì)算的效果，圖9給出了圖6 黑色標(biāo)記處的三維形貌圖. 從圖中可以直觀地看出，相比于子區(qū)DIC 計(jì)算結(jié)果凹凸不平，MC-DIC 計(jì)算結(jié)果更為平滑，更具有連續(xù)性.

圖9 不同方法計(jì)算得到的圖6 黑色標(biāo)記處三維形貌圖(水平位移場(chǎng)U)Fig. 9 3D Morphology map (horizontal displacement field) obtained by different methods

4 結(jié) 論

本文在子區(qū)DIC 的基礎(chǔ)上發(fā)展了一種考慮力學(xué)約束的變形測(cè)量方法，通過(guò)模擬實(shí)驗(yàn)對(duì)算法的準(zhǔn)確性進(jìn)行了驗(yàn)證，并成功地應(yīng)用到真實(shí)核石墨試件表面變形場(chǎng)的測(cè)量中，得到如下主要結(jié)論：

①與傳統(tǒng)子區(qū)DIC 相比，考慮力學(xué)約束的MCDIC 計(jì)算結(jié)果具有空間連續(xù)性，符合材料真實(shí)變形行為，可以更好地實(shí)現(xiàn)材料表面高精度變形場(chǎng)測(cè)量.

②基于MC-DIC 方法可以實(shí)現(xiàn)材料邊界變形測(cè)量.

③MC-DIC 方法可以推廣到其他材料變形的測(cè)量中，為材料的大批量試驗(yàn)及保證測(cè)試數(shù)據(jù)可靠性提供了方便和保障.