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    拉格朗日點(diǎn)與多星模型問題探討

    2022-05-11 08:44:44陳揚(yáng)輝李文波
    物理之友 2022年3期
    關(guān)鍵詞:體系質(zhì)量模型

    陳揚(yáng)輝 李文波

    (1. 福建省廈門集美中學(xué),福建 廈門 361021;2. 福建省廈門第一中學(xué),福建 廈門 361001)

    1 引言

    歷年高考物理針對萬有引力定律的考查都較為全面,各類天體模型不斷推陳出新,其中包含三星體系、四星體系的多星體系問題討論也在考試中多次出現(xiàn),往往讓準(zhǔn)備不足的考生手足無措?,F(xiàn)以高中物理知識體系為基礎(chǔ),闡述面對該類型問題的有效求解手段,也為即將迎考的考生提供本類題型的解題思路。

    2 拉格朗日點(diǎn)的位置與特征

    關(guān)于多星體系的萬有引力考題,可能會借助拉格朗日點(diǎn)作為背景知識考查。那拉格朗日點(diǎn)是什么,有何特點(diǎn)?

    簡化的模型如圖1所示,S為太陽,E為地球,在地球繞太陽周期運(yùn)動過程中,存在L1~L5五個位置,由于太陽和地球引力的共同作用,這五個位置上的天體繞S(太陽)做圓周運(yùn)動的周期和E(地球)的運(yùn)行周期相同,五個位置即為拉格朗日點(diǎn)。其中L1~L3與太陽和地球每一時(shí)刻都在同一條線上,由數(shù)學(xué)家歐拉推導(dǎo)得出,L4、L5與太陽和地球在每一時(shí)刻都構(gòu)成等邊三角形,由數(shù)學(xué)家拉格朗日推導(dǎo)得出,后來人們習(xí)慣上將這五個點(diǎn)統(tǒng)稱為拉格朗日點(diǎn)。人們在天文觀測中還發(fā)現(xiàn),在拉格朗日點(diǎn)L4、L5位置往往聚集大量小型天體,在該位置的天體的運(yùn)行軌道具有很好的穩(wěn)定性。

    圖1

    五個拉格朗日點(diǎn)的推導(dǎo)是建立在以太陽為中心的基礎(chǔ)上,由太陽和地球的萬有引力提供向心力,在5個位置天體的運(yùn)行周期和地球運(yùn)行周期相同。本文不再具體介紹關(guān)于拉格朗日點(diǎn)的推導(dǎo),在高考中以拉格朗日點(diǎn)作為背景考查多星問題就再適合不過了。

    3 雙星模型的特征和等效質(zhì)量

    宇宙中有超過一半的恒星是以雙子星形式存在的,雙子星相互繞行最典型的特點(diǎn)是兩顆星球具有相同的角速度和周期。筆者先以雙星體系為例,如圖2所示,雙子星A、B質(zhì)量分別為2m和m,相距L,互相繞行做圓周運(yùn)動,求解A、B星的質(zhì)心位置和繞行周期。

    圖2

    4 拉格朗日點(diǎn)和三星模型的關(guān)聯(lián)

    在拉格朗日點(diǎn)上繞行的天體與地球具有相同的運(yùn)行周期,這是在以太陽為中心、其他天體繞太陽做圓周運(yùn)動的條件下證明的結(jié)論。

    借助雙星模型中質(zhì)心的概念有助于我們理解三星問題,針對不易理解的拉格朗日點(diǎn)L4、L5,課堂討論的問題如下:如圖3所示,雙子星A、B質(zhì)量分別為2m、m,在萬有引力作用下互相繞行做勻速圓周運(yùn)動,距離為a。在拉格朗日點(diǎn)C處有一個質(zhì)量為m′的探測器,m′相對于m可以忽略,三者具有相同的運(yùn)行周期,求解C處探測器的運(yùn)行周期T。

    圖3

    由以上結(jié)論可以看出:探測器運(yùn)行周期和雙星運(yùn)行周期相同。在教學(xué)中借助雙星體系來講解拉格朗日點(diǎn)L4、L5的位置在等邊三角形頂點(diǎn)的原因,學(xué)生對此更易接受。類比A星相當(dāng)于太陽,B星相當(dāng)于地球,由于太陽質(zhì)量遠(yuǎn)大于地球質(zhì)量,則等效質(zhì)點(diǎn)O的位置非??拷?,地太系統(tǒng)從嚴(yán)格意義上來也是雙星系統(tǒng)。在等邊三角形頂點(diǎn)的拉格朗日點(diǎn)L4、L5上運(yùn)行的天體同時(shí)受A、B天體的萬有引力作用,繞三者質(zhì)心做圓周運(yùn)動,學(xué)生對L4、L5處天體運(yùn)行的穩(wěn)定性也較易理解。

    5 三星模型特征與等效質(zhì)量的拓展

    繼續(xù)討論三星模型下拉格朗日點(diǎn)L4、L5處天體質(zhì)量是否會影響整個三星體系的繞行。如圖4所示,假設(shè)在探測器C(L4處)的位置,我們遷入一顆質(zhì)量同為m的天體D,構(gòu)成三星體系相互繞行,求解天體D的運(yùn)行周期。

    圖4

    由以上結(jié)果可見:加入天體D質(zhì)量足夠大,新構(gòu)成的三星體系則會影響原先雙星系統(tǒng)的質(zhì)心位置和運(yùn)行周期,加入的天體質(zhì)量越大,新組成的三星系統(tǒng)的運(yùn)行周期則越小。

    6 結(jié)語

    拉格朗日點(diǎn)和多星模型對高中生而言都是較為抽象和生疏的,但歷年高考題型常會推陳出新。筆者利用等效質(zhì)心的概念將多星系統(tǒng)簡化為學(xué)生熟練的雙星問題,結(jié)合拉格朗日點(diǎn)為學(xué)生梳理脈絡(luò)、化繁為簡,快速尋找解題的切入點(diǎn),提高解題效率。

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