基于超彈-黏彈本構(gòu)模型的橡膠材料有限元分析*

丁 軍，索雙富，張 琦，孟國(guó)營(yíng)

(1.華北科技學(xué)院 機(jī)電工程學(xué)院，河北 廊坊 065201；2.中國(guó)礦業(yè)大學(xué)(北京) 機(jī)電與信息工程學(xué)院，北京 100083；3.清華大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，北京 100084；4.大連理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，遼寧 大連 116000)

橡膠材料是一種典型具有超彈和黏彈雙重特性的材料，其體系復(fù)雜、組分多，且容易受到溫度、頻率等外界因素的影響，使得橡膠材料的本構(gòu)行為非常復(fù)雜[1-3]。目前，描述橡膠材料的本構(gòu)模型，主要可以分為兩大類：一類是基于統(tǒng)計(jì)熱力學(xué)或連續(xù)介質(zhì)學(xué)的超彈本構(gòu)模型；另一類是基于標(biāo)準(zhǔn)機(jī)械或分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的黏彈本構(gòu)模型。其中超彈本構(gòu)模型發(fā)展較早，理論成熟，大部分已成功應(yīng)用于商業(yè)化軟件中，也是目前很多分析計(jì)算主要采用的模型[4]，但是要準(zhǔn)確反映橡膠制品在外部因素下的力學(xué)響應(yīng)，還要考慮建立橡膠材料的黏彈本構(gòu)模型。眾多學(xué)者對(duì)橡膠材料的本構(gòu)模型的建立和選擇進(jìn)行了研究，張琦等[5]基于Mooney-Rivlin和Yeoh兩種超彈本構(gòu)模型，通過(guò)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與有限元計(jì)算結(jié)果的對(duì)比分析，發(fā)現(xiàn)不同的應(yīng)變范圍對(duì)不同超彈本構(gòu)模型有不同的適應(yīng)性。何松林等[6]通過(guò)理論分析和實(shí)驗(yàn)觀察，說(shuō)明分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)本構(gòu)模型比標(biāo)準(zhǔn)機(jī)械模型更適合描述橡膠材料的黏彈性。在橡膠材料應(yīng)用中，當(dāng)線性條件受到破壞時(shí)，如在大變形、高溫等情況，橡膠材料會(huì)表現(xiàn)出明顯的非線性黏彈特性，需要專門建立非線性黏彈本構(gòu)模型[7-8]。于海富等[9]結(jié)合Yeoh超彈模型和修正的Zener模型，建立了非線性的超彈-黏彈本構(gòu)模型，該模型能夠描述橡膠材料在不同應(yīng)變下的拉伸、回復(fù)、應(yīng)力松弛等復(fù)雜加載過(guò)程。

本文利用數(shù)值模擬技術(shù)與實(shí)驗(yàn)相結(jié)合，建立橡膠超彈-黏彈本構(gòu)模型，同時(shí)使用ABAQUS軟件對(duì)實(shí)驗(yàn)過(guò)程進(jìn)行有限元仿真，對(duì)比橡膠試件的仿真數(shù)據(jù)和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，驗(yàn)證所建立的超彈-黏彈本構(gòu)模型的準(zhǔn)確性。

1 橡膠材料單軸壓縮及應(yīng)力松弛實(shí)驗(yàn)

1.1 原料

本次實(shí)驗(yàn)采用直徑為13 mm、高為6 mm的丁腈橡膠圓柱形試樣，由模壓成型工藝制造。

1.2 儀器及設(shè)備

CMT5205型微機(jī)控制電子萬(wàn)能試驗(yàn)機(jī)：濟(jì)南美特斯公司；TS-1013型應(yīng)力松弛儀：蘇州天氏庫(kù)力公司。

1.3 實(shí)驗(yàn)方案

取3個(gè)橡膠試樣，進(jìn)行單軸壓縮，放置試件前，為減小試件與壓盤之間摩擦力，需仔細(xì)清洗上下壓盤，在上下壓盤涂一薄層潤(rùn)滑劑；實(shí)驗(yàn)前，要對(duì)每個(gè)試樣進(jìn)行機(jī)械調(diào)節(jié)，以消除Mullins效應(yīng)，實(shí)驗(yàn)時(shí)，分別將各個(gè)試樣壓縮到至少40%應(yīng)變。按照GB/T 1685—2008，在常溫下進(jìn)行壓縮應(yīng)力松弛的測(cè)定，為減少摩擦力，在上下壓盤涂有一薄層的潤(rùn)滑劑，并對(duì)試樣進(jìn)行機(jī)械調(diào)節(jié)，實(shí)驗(yàn)時(shí)，快速將橡膠試樣壓縮20%應(yīng)變，衰減2 h，記錄實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。

1.4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

通過(guò)試樣的壓縮載荷-位移曲線，計(jì)算得到相應(yīng)的應(yīng)力-應(yīng)變曲線，由此得到不同應(yīng)變下的應(yīng)力，如表1所示。為減小誤差，取3組試樣的應(yīng)力平均值進(jìn)行研究。同時(shí)由壓縮應(yīng)力松弛實(shí)驗(yàn)得到的力隨時(shí)間變化關(guān)系，將壓縮載荷除以試樣截面積，從而得到應(yīng)力松弛松弛曲線，如圖1所示。

表1 丁腈橡膠壓縮實(shí)驗(yàn)

時(shí)間/s

2 本構(gòu)模型建立與驗(yàn)證

利用單軸壓縮和應(yīng)力松弛實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，結(jié)合ABAQUS軟件，分別擬合得到超彈本構(gòu)和黏彈本構(gòu)方程，建立與實(shí)驗(yàn)一致的仿真模擬，通過(guò)仿真數(shù)據(jù)與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)比，驗(yàn)證所建模型的準(zhǔn)確性。

2.1 超彈本構(gòu)模型

在工程實(shí)際中，常用應(yīng)變能函數(shù)來(lái)表示橡膠材料超彈本構(gòu)關(guān)系，常見的模型有Mooney-Rivlin、Ogden、Yeoh、Vander Waals，減縮多項(xiàng)式模型等[10-12]。

其中Mooney-Rivlin模型應(yīng)用最為廣泛，其本構(gòu)關(guān)系如式(1)所示。

U=C10(I1-3)+C01(I2-3)

(1)

式中：U為應(yīng)變能密度；C10和C01為材料常數(shù)，I1、I2分別為第一和第二應(yīng)變不變量，二參數(shù)Mooney-Rivlin模型公式簡(jiǎn)短、參數(shù)個(gè)數(shù)少。

Yeoh模型形式也比較簡(jiǎn)單，且模擬大應(yīng)變時(shí)精度比較高，可通過(guò)單軸壓縮獲得材料參數(shù)。N=3時(shí)，其本構(gòu)關(guān)系如式(2)所示。

U=C10(I1-3)+C20(I1-3)2+

C30(I1-3)3

(2)

式中：U為應(yīng)變能密度；C10、C20、C30為材料常數(shù)；I1為1階應(yīng)變不變量。

Ogden模型具有較寬的應(yīng)變適用范圍，其應(yīng)變能函數(shù)如式(3)所示。

(3)

式中：U為應(yīng)變能密度；λ1、λ2、λ3均為主伸長(zhǎng)率；μi及αi均為材料常數(shù)，N為函數(shù)的階數(shù)。

本次選用以上三個(gè)常用的超彈本構(gòu)模型對(duì)單軸壓縮實(shí)驗(yàn)進(jìn)行擬合，利用ABAQUS軟件得到各本構(gòu)模型相應(yīng)參數(shù)，如表2所示，同時(shí)得到模型相應(yīng)擬合曲線，如圖2所示，并與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)比，比較各個(gè)模型的精度。

表2 丁腈橡膠三種超彈本構(gòu)模型參數(shù)

由圖2可見，在應(yīng)變?yōu)?～20%時(shí)，以上三種模型均具有較好的擬合效果；應(yīng)變?yōu)?0%～40%時(shí)，由Mooney-Rivlin模型擬合應(yīng)力-應(yīng)變曲線出現(xiàn)了較大的偏差，而Yeoh和Ogden模型擬合的應(yīng)力-應(yīng)變曲線與名義應(yīng)力-應(yīng)變曲線誤差較小，擬合程度較高。

應(yīng)變/%

2.2 黏彈本構(gòu)模型

橡膠材料黏彈性本構(gòu)模型是以彈簧和牛頓黏壺模型為基礎(chǔ)，通過(guò)改變兩者的個(gè)數(shù)來(lái)串聯(lián)或并聯(lián)構(gòu)建不同的本構(gòu)模型，比較典型的是Maxwell模型和Kelvin模型[13]，其結(jié)構(gòu)如圖3和圖4所示。但兩者在表達(dá)橡膠材料黏彈特性時(shí)，都存在一定不足。相比而言，廣義Maxwell模型通過(guò)并聯(lián)多個(gè)Maxwell模型[14]，能夠更好表達(dá)橡膠材料靜態(tài)黏彈特性，其結(jié)構(gòu)如圖5所示。

圖3 Maxwell模型

圖4 Kelvin模型

圖5 廣義Maxwell模型

在ABAQUS中，常用PRONY級(jí)數(shù)形式來(lái)描述廣義Maxwell模型，其中以無(wú)量綱剪切的松弛模量表示的Prony級(jí)數(shù)為式(4)。

(4)

對(duì)應(yīng)力-時(shí)間試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行歸一化處理之后，在ABAQUS中進(jìn)行黏彈參數(shù)擬合，得到黏彈參數(shù)，如表3所示。

表3 丁腈橡膠黏彈本構(gòu)模型參數(shù)

2.3 模型驗(yàn)證

2.3.1 有限元仿真

建立與實(shí)驗(yàn)條件一致的分析項(xiàng)目，創(chuàng)建直徑為13 mm、高度為6 mm的三維圓柱形橡膠模型，如圖6所示。添加超彈-黏彈材料屬性，超彈Yeoh和Ogden模型對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合都較好，但只有單軸實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)時(shí)，一般不選擇Ogden模型，本次選用表2中Yeoh模型參數(shù)，而對(duì)于黏彈參數(shù)，選用表3擬合的PRONY級(jí)數(shù)參數(shù)。建立兩個(gè)分析步：第一個(gè)分析步為靜力分析，模擬圓柱狀橡膠試件的單軸壓縮加載過(guò)程，壓縮圓柱狀試件高度的20%，即1.2 mm：第二個(gè)分析步為黏性，分析步時(shí)間為1 200 s，在此分析步中，保持恒定的位移載荷。

圖6 有限元模型

2.3.2 仿真結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比

提取圓柱形橡膠試樣參考點(diǎn)的真實(shí)應(yīng)力-時(shí)間數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化成名義應(yīng)力-時(shí)間數(shù)據(jù)，與應(yīng)力松弛實(shí)驗(yàn)得到的應(yīng)力-時(shí)間衰減曲線對(duì)比，如圖7所示。由圖7可以看出，有限元仿真結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合度高，驗(yàn)證了建立的超彈-黏彈本構(gòu)模型的可行性。

時(shí)間/s

3 結(jié) 論

(1)建立橡膠材料超彈-黏彈本構(gòu)模型，利用ABAQUS擬合單軸壓縮和應(yīng)力松弛實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，分別得到超彈和黏彈本構(gòu)參數(shù)，并建立與實(shí)驗(yàn)同等條件的仿真，對(duì)比驗(yàn)證應(yīng)力-時(shí)間關(guān)系曲線，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與模擬數(shù)據(jù)兩者的誤差較小，驗(yàn)證了所建本構(gòu)模型的準(zhǔn)確性。

(2)通過(guò)超彈本構(gòu)模型擬合曲線，表明Mooney-Rivlin模型適合橡膠材料的小變形行為，Yeoh和Ogden模型在橡膠整個(gè)變形范圍范圍內(nèi)都有很好的擬合度。