分?jǐn)?shù)階微分方程多點邊值問題正解的存在性

趙 微，李 立，李 娜，王 沖，郭 銳，白旭亞

(1.大慶師范學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，黑龍江 大慶 163712；2.黑龍江職業(yè)技術(shù)學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 163300)

分?jǐn)?shù)階微分方程是數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域中的一個熱門課題。學(xué)者們已討論了不同類型的分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題解的相關(guān)問題。(1)參見江衛(wèi)華、董倩：《Conformable分?jǐn)?shù)階微分方程三點共振邊值問題解的存在性》，《吉林大學(xué)學(xué)報》(理學(xué)版)2021年4期等。由于分?jǐn)?shù)階微分方程能廣泛地應(yīng)用于流體力學(xué)、非牛頓力學(xué)等領(lǐng)域，所以對分?jǐn)?shù)階微分方程及其邊值問題進(jìn)行深入探討，有著重要的理論及實際意義。

文中主要考慮如下分?jǐn)?shù)階微分方程多點邊值問題

(1)

的正解存在性，其中ηi∈(0,1)，0<η1<η2<…<ηm-2<1，βi∈[0,+∞)。

首先構(gòu)造出上述問題的格林函數(shù)，推導(dǎo)其相關(guān)的性質(zhì)；其次，通過計算相應(yīng)錐上的凸泛函不動點指數(shù)，得到了分?jǐn)?shù)階微分方程多點邊值問題(1)至少存在一個正解的結(jié)論。對于分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題正解的研究，多數(shù)運用錐拉伸與壓縮定理、Leggett-Williams不動點定理、上下解、Banach壓縮映射原理等方法，文中所用的方法不同于以往文獻(xiàn)。

1 準(zhǔn)備工作

下面先介紹一些文中所需要用到的定義和引理。

定義1 函數(shù)y:(0,+∞)→R的ν>0階Riemann-Liouville積分定義如下

其中右邊是在(0,+∞)上逐點定義的。(2)參見趙微：《一類分?jǐn)?shù)階微分方程m點邊值問題的正解》，《湖南師范大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報》2018年第3期。

定義2 函數(shù)y:(0,+∞)→R的ν>0階Riemann-Liouville微分定義如下為

其中N=[α]+1，右邊是在(0,+∞)上逐點定義的。(3)參見趙微：《一類分?jǐn)?shù)階微分方程m點邊值問題的正解》。

引理1 假設(shè)u∈C(0,1)∩L[0,1]有ν>0階導(dǎo)數(shù)屬于C(0,1)∩L[0,1]，則

Ci∈R,i=1,2,…,N，其中N大于或等于ν的最小整數(shù)。

其次進(jìn)行下述假設(shè)：

(H3)f:[0,+∞)→[0,+∞)連續(xù)。

引理2 給定g∈C[0,1]，邊值問題

(1)

其中

證明 應(yīng)用引理1，將上述微分方程轉(zhuǎn)化為等價的積分方程

由u(0)=u′(0)=u″(0)=…=u(n-2)(0)=0,得出C2=C3=…-Cn=0。

整理計算得到

于是

引理3p(s)滿足：

(i)p(s)在[0,1]上單調(diào)不減且恒正；

(ii)存在M≥m≥0使得任意s∈[0,1]，有ms+p(0)≤p(s)≤Ms+p(s)，其中

證明 (i)因為

引理4G(t,s)滿足下面不等式：

證明 (i)當(dāng)0

當(dāng)0

(ii)當(dāng)0

當(dāng)0

令

(2)

引理5 若滿足(H1)—(H3)，那么由(2)定義的算子A∶P1→P1是全連續(xù)的。

證明 由引理4及算子A的定義知，

于是

所以A∶P1→P1，且A(P1)?P1。再由Arzela-Ascoli定理知，算子A∶P1→P1全連續(xù)。

定義3 如果錐P上的泛函ρ∶P→R，對于?x,y∈P，t∈[0,1]滿足

ρ(tx+(1-t)y)≤tρ(x)+(1-t)ρ(y)，

則稱ρ是錐P上的凸泛函。(4)參見趙微：《奇異四階微分方程m點邊值問題正解的存在性》，《西南師范大學(xué)學(xué)報》(自然科學(xué)版)2020年第10期。

2 定理

設(shè)

顯而易見有h0≥hτ>0。

定理1 若(H1)—(H3) 滿足，且有0

(1)f(u(s))≤h0-1u,?u≤bl-1hτ-1；

(2)f(u(s))≥hτ-1u,?ahτ-1l≤u≤ahτ-1l-1。

則上述分?jǐn)?shù)微分方程邊值問題(1)至少存在一個正解。

對于?u∈{θ}，

假設(shè)A在P1∩?Ω1上沒有不動點，則有i(A,P1∩Ω1,P1)=1。(5)參見趙微：《奇異四階微分方程m點邊值問題正解的存在性》，《西南師范大學(xué)學(xué)報》(自然科學(xué)版)2020年第10期。

設(shè)Ω2={u∈C[0,1]|ρ1(u)

如果u∈P1∩?Ω2，則ρ2(u)=a且u≤al-1hτ-1，由于

所以

假設(shè)A在P1∩?Ω2上沒有不動點，可得i(A,P1∩?Ω2,P1)=0。

定理2 若(H1)—(H3)滿足，且有0

(2)f(u(s))≥hτ-1u,?blhτ-1l≤u≤bl-1hτ-1；

(3)f(u(s))≤ah0-1u,?u≤al-1，

則分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題(1)至少存在一個正解。

證明 因為

bl-1hτ-1≤al2hτ2h0-1l-1hτ-1=alhτh0-1

對于?u≤bl-1hτ-1，有

hτ-1u≤hτ-1bl-1hτ-1=(hτ-1)2al2hτ2h0-1l-1=alh0-1

令

于是，ρi∶P1→[0,+∞)是一致連續(xù)凸泛函，且ρi(θ)=0(i=1,2)。又?u∈P1{θ}，有

令Ω1={u∈C[0,1]|ρ2(u)

ρ1(u)≤u≤bl-1hτ-1

假設(shè)A在P1∩?Ω1和P1∩?Ω2上沒有不動點,

如果u∈P1∩?Ω1，則b=ρ2(u)≤uhτ，且進(jìn)一步則有

所以i(A,P1∩Ω1,P1)=0；

如果u∈P1∩?Ω2，則

i(A,P1∩Ω2,P1)=1，(7)參見趙微：《奇異四階微分方程m點邊值問題正解的存在性》，《西南師范大學(xué)學(xué)報》(自然科學(xué)版)2020年第10期。

綜上可得：i(A,P1∩(Ω2Ω1),P1)=1。

于是對于上述分?jǐn)?shù)階微分方程多點邊值問題(1)而言，至少有一個正解。

3 結(jié) 語

文中通過構(gòu)造分?jǐn)?shù)階微分方程多點邊值問題的格林函數(shù)，推導(dǎo)格林函數(shù)的相應(yīng)性質(zhì)，通過計算相應(yīng)錐上的凸泛函不動點指數(shù)，得到了一類分?jǐn)?shù)階微分方程的多點邊值問題(1)至少有一個正解存在的兩個充分條件，所用方法不同于以往文獻(xiàn)。